第九章　第44课时　专题强化：电场中的图像问题　电场中的功能关系 讲义 -2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦电场中的图像问题与功能关系核心考点，按φ-x、E-x、Ep-x/Ek-x图像类型及功能关系逻辑架构知识体系，通过考点梳理（图像斜率、面积意义等）、方法指导（电势能与动能分析）、真题训练（2024-2025年高考题及改编题）等环节，帮助学生构建电场问题分析框架。 讲义突出科学思维与能量观念培养，如通过φ-x图像斜率判断电场强度方向、E-x图像面积计算电势差，结合功能关系中动能定理与电势能变化推导。设置基础巩固到综合应用分层练习，配合例题精讲与即时反馈，有效提升学生解题能力，为教师精准把控复习节奏提供实用指导。

第44课时　专题强化：电场中的图像问题　电场中的功能关系 目标要求　1.掌握电场中的几种常见图像。2.掌握静电力做功的计算方法及电场中常用的功能关系。 考点一　电场中的图像问题 1.φ-x图像(电场方向与x轴平行) (1)电场强度的大小等于φ-x图线的切线斜率大小，沿x轴方向电场强度为零处，φ-x图线存在极值，其切线的斜率为零； (2)在φ-x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向； (3)在φ-x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB=qUAB，进而分析WAB的正负，然后做出判断。 试画出图中几种典型电场的φ-x图像(以无穷远处电势为零)。 (1)点电荷的φ-x图像； (2)两等量异种点电荷连线上的φ-x图像； (3)两个等量正点电荷的φ-x图像。 答案　 (1) (2) (3) 例1　(2025·海南卷·6)某静电场电势φ在x轴上分布如图所示，图线关于φ轴对称，M、P、N是x轴上的三点，OM=ON。有一电子从M点静止释放，仅受x方向的电场力作用，则下列说法正确的是(　　) A.P点电场强度方向沿x负方向 B.M点的电场强度小于N点的电场强度 C.电子在P点的动能小于在N点的动能 D.电子在M点的电势能大于在P点的电势能 答案　D 解析　由题图可知在x正半轴沿x正方向电势降低，则电场强度方向沿x正方向，故A错误；φ-x图像的斜率表示电场强度，图线关于φ轴对称，可知M点的电场强度大小等于N点的电场强度大小，方向相反，故B错误；电势均为正值，则电子在电势低处电势能大，故电子在P点的电势能小于在N点(M点)的电势能，根据能量守恒可知，电子在P点的动能大于在N点的动能，故C错误，D正确。 例2　试探电荷q在点电荷Q的电场中所具有电势能可以用Er=来计算(式中k为静电力常量，r为试探电荷与场源电荷间的距离)。真空中两个点电荷相距15 cm固定在x轴的两个点上，取无限远处的电势为零，x轴正方向上各点的电势随x的变化关系如图所示，下列说法正确的是(　　) A.两个点电荷可能带同种电荷 B.两个点电荷的电荷量大小之比为2∶1 C.x=5 cm处电场强度等于零 D.两个点电荷之间电势为零的位置坐标为x=-3 cm 答案　D 解析　由φ-x图像可知，该区域电势有正有负，则两个点电荷不可能带同种电荷，选项A错误；原点处的电势无限大，则原点位置放置一正电荷Q1，可知在x轴的负方向上放置电量为-Q2的负电荷，因φ-x图像的斜率表示电场强度，在x轴正方向电场强度方向先沿x轴正方向后沿x轴负方向，因x=5 cm的位置图像斜率不为零，则电场强度不为零；试探电荷q在x=5 cm处的电势能为零，则=，其中d=15 cm，可得=，选项B、C错误；设两个点电荷之间电势为零的位置距离原点为l，则由=，解得l=3 cm，可知该点坐标为x=-3 cm，选项D正确。 2.E-x图像 以电场强度沿x轴方向为例： (1)E>0表示电场强度沿x轴正方向，E<0表示电场强度沿x轴负方向。 (2)E-x图线与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”大小表示电势差大小，两点的电势高低需根据电场方向判定。 例3　(2025·江苏盐城市检测改编)某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系(E-x图像)如图所示，x轴正方向为电场强度正方向。一个带正电的点电荷仅在静电力作用下由静止开始沿x轴运动，在x轴上的a、b、c、d四点间隔相等，则(　　) A.点电荷由a运动到d的过程中加速度先增大后减小 B.b和d两点处电势相等 C.点电荷由a运动到d的过程中电势能先增大后减小 D.点电荷从b运动到a静电力做功W1等于从c运动到b静电力做功W2 答案　A 解析　点电荷由a运动到d的过程中，由题图可以看出电场强度先增大后减小，故静电力先增大后减小，加速度先增大后减小，选项A正确；从a向右电场强度沿x轴负方向，则从b到d处电势升高，选项B错误；从a到d电势升高，正电荷的电势能一直增大，选项C错误；根据E-x图线与x轴围成的“面积”表示电势差，结合题图可知，a和b之间的电势差小于b和c之间的电势差，根据公式WAB=UABq可知，正点电荷从b运动到a静电力做功W1小于从c运动到b静电力做功W2，选项D错误。 3.Ep-x图像、Ek-x图像 (1)Ep-x图像 由静电力做功与电势能变化关系F电x=Ep1-Ep2=-ΔEp知Ep-x图像的切线斜率k=。 ①其绝对值等于静电力大小。 ②正负代表静电力的方向：若斜率为正，说明电势能增加，静电力沿x轴正方向做负功，静电力方向沿x轴负方向；若斜率为负，说明电势能减小，静电力沿x轴正方向做正功，静电力方向沿x轴正方向。 (2)Ek-x图像 当只有静电力对带电体做功，由动能定理F电x=Ek-Ek0=ΔEk知Ek-x图像的切线斜率k=，斜率绝对值表示静电力大小。 例4　在甲、乙电场中，电场方向均与x轴平行，某试探电荷-q(q>0)具有的电势能Ep沿x方向的变化分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是(　　) A.图甲中，试探电荷在O点受到的静电力为零 B.图甲中，电场强度沿x轴负方向 C.图乙中，x1处的电场强度小于x2处的电场强度 D.图乙中，x1处的电势高于x2处的电势 答案　D 解析　根据Ep-x图像的切线斜率的绝对值表示静电力的大小，题图甲中，试探电荷在O点受到的静电力不为零，A错误；沿x轴正方向，电势能增大，静电力做负功，又因试探电荷带负电，则电场强度沿x轴正方向，B错误；题图乙中x1处的斜率大于x2处的斜率，即Fx1>Fx2，故Ex1>Ex2，C错误；负电荷在电势越高处电势能越小，故题图乙中φx1>φx2，D正确。 例5　(2025·江苏省洪泽中学、清河中学联考改编)一带电粒子仅在静电力作用下沿x轴做直线运动，其动能Ek随位置x变化的关系如图所示，则其电势能Ep、加速度大小a、电场的电场强度大小E、电势φ分别与位置x的关系图，正确的是(　　) 答案　C 解析　根据功能关系有ΔEk=qEx，由图像可知k==qE，图像的斜率逐渐增大，则E逐渐增大，根据功能关系有ΔEp=-qEx，由Ep-x图像可知斜率k'==-qE，E逐渐增大，Ep-x图像斜率为负，斜率绝对值应逐渐增大，根据牛顿第二定律a=，可知E逐渐增大，加速度a逐渐增大，故A、B错误，C正确；根据电场强度与电势差关系式有φ=φ0-Ex，由φ-x图像可知斜率k″=-E，E逐渐增大，φ-x图像斜率绝对值应逐渐增大，故D错误。 考点二　电场中的功能关系 几种常见的功能关系： (1)合外力做功等于动能的变化，即W合=Ek2-Ek1=ΔEk(动能定理)。 (2)重力做功等于物体重力势能的变化，即WG=EpG1-EpG2=-ΔEp。 (3)静电力做功等于电势能的变化，即W电=Ep电1-Ep电2=-ΔEp电。 (4)弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，即W弹=Ep1-Ep2=-ΔEp弹。 (5)除了重力和弹簧弹力之外其他力做的总功等于物体机械能的变化，即W其他力=E机2-E机1=ΔE机。 说明：(1)动能定理可以把不同力对物体做的功联系起来。 (2)能量守恒定律可以把系统中参与变化的所有能量联系起来。 若只有静电力做功，电势能与动能之和保持不变；若只有静电力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变。 例6　(2024·山东卷·10改编)如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为s，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是(　　) A.OB的距离l= B.OB的距离l= C.从A到C，静电力对小滑块做功W=-mgs D.AC之间的电势差UAC= 答案　A 解析　由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则沿斜面方向根据受力分析有mgsin 30°=cos 30° 解得l=，故A正确，B错误； 设小滑块从A到C的过程，静电力对小滑块做的功为W，因为小滑块滑到C点时速度为零， 根据动能定理有W+mgssin 30°=0 解得W=-，故C错误； 根据电势差与静电力做功的关系可知AC之间的电势差UAC==-，故D错误。 例7　如图所示，在空间中存在竖直向上的匀强电场，质量为m、带电荷量为+q的物块从A点由静止开始下落，加速度为g，下落H到B点后与一轻弹簧接触，又下落h后到达最低点C，整个过程中不计空气阻力，且弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则带电物块在由A点运动到C点过程中，下列说法正确的是(　　) A.该匀强电场的电场强度为 B.带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为 C.带电物块电势能的增加量为mg(H+h) D.弹簧的弹性势能的增加量为 答案　D 解析　物块从静止开始下落时的加速度为g，根据牛顿第二定律得mg-Eq=ma=m·g，解得E=，故A错误；从A到C的过程中，系统除重力和弹力做功以外，只有静电力做功，且静电力做功为W=-Eq(H+h)=- 根据功能关系可知带电物块电势能的增加量为，机械能减少了，故B、C错误；从A到C过程中，对带电物块，根据动能定理有mg(H+h)-+W弹=0-0，解得弹簧弹力做功为W弹=-，根据功能关系可知弹性势能增加量为，故D正确。 课时精练 [分值：40分] 　[1~5题，每题4分] 1.(来自教材改编)如图甲所示，A、B是某点电荷电场中一条电场线上的两点，一个电子仅在静电力的作用下从A点运动到B点的v-t图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　) A.该点电荷为正电荷 B.电子在A点受到的静电力小于在B点受到的静电力 C.A点的电势高于B点的电势 D.电子在A点的电势能大于在B点的电势能 答案　D 解析　电子从A点运动到B点速度增大，则静电力做正功，静电力方向由A指向B，电场强度方向由B指向A，从A到B电子加速度减小，电子受到的静电力减小，从A到B电场强度减小，可知电子远离点电荷，说明点电荷在A点的左侧，可判断出该点电荷带负电，故A、B错误；电子所受静电力方向由A指向B，故电场线方向由B指向A，沿着电场线的方向电势逐渐降低，B点的电势高于A点的电势，故C错误；电子从A点运动到B点速度增大，则静电力做正功，电势能减小，即电子在A点的电势能大于在B点的电势能，故D正确。 2.光伏电站的核心部件由半导体材料制成。一半导体材料内部电场的电场强度E与位置x的关系如图所示，取O点的电势为零，电场强度正方向为x轴正方向，则该电场中N点到P点的电势φ随位置x变化的图像可能为(　　) 答案　C 解析　由E-x图像可知从N点到P点电场强度先增大后减小，根据E=可知，电势φ随位置x变化的图像的斜率表示电场强度，则φ-x图像的斜率绝对值从N点到P点先变大后变小。O点电场强度最大，则φ-x图像在O点的斜率绝对值最大，只有C选项的图像符合此规律。 3.(2025·江苏泰州市期中)如图甲所示，在某电场中建立x坐标轴，一个质子仅在静电力作用下沿x轴正方向运动，经过A、B、C三点，已知AB=BC。该质子的电势能Ep随坐标x变化的关系如图乙所示，则下列说法正确的是(　　) A.在x轴上电场强度方向沿x轴负方向 B.A、B间电势差等于B、C间电势差 C.A点电场强度小于B点电场强度 D.质子从A点运动到B点静电力做的功大于从B点运动到C点静电力做的功 答案　D 解析　质子从A点到C点电势能逐渐减小，可知电势逐渐降低，则在x轴上电场强度方向沿x轴正方向，A错误；Ep-x图像切线的斜率表示静电力，可知从A点到B点质子受静电力逐渐减小，电场强度逐渐减小，即A点电场强度大于B点电场强度，C错误；因从A点到B点的静电力大于从B点到C点的静电力，根据W=Fx可知，质子从A点运动到B点静电力做的功大于从B点运动到C点静电力做的功，根据W=qU可知，UAB>UBC，B错误，D正确。 4.(2025·江苏徐州市一模)空间内有一平行于x轴方向的电场，O、A、B、C、D为x轴上的点，AB=CD，O、D之间的电势φ随x变化的图像如图所示。一个带电粒子仅在静电力作用下，从O点由静止开始沿x轴向右运动，下列说法正确的是(　　) A.该粒子带负电 B.A、D间电场强度先增大后减小 C.A、B之间与C、D之间的电场强度方向一定相反 D.该粒子从A向D运动过程中，动能将逐渐增大 答案　C 解析　由题图知O点电势高于A点电势，故电场线方向为从O点指向A点，带电粒子仅在静电力作用下从O点由静止开始沿x轴向右运动，可判定该粒子带正电，故A错误；φ-x图像的斜率的绝对值表示电场强度的大小，其切线为零处电场强度也为零，故A、D间电场强度先减小后增大，故B错误；题图中A点电势高于B点电势，故A、B之间的电场强度方向沿x轴正方向，而C点电势低于D点电势，故C、D之间的电场强度方向沿x轴负方向，即A、B之间与C、D之间的电场强度方向一定相反，故C正确；该粒子从A向B运动过程中，由W=qU知，静电力做正功，电势能逐渐减小，动能逐渐增大，而从C向D运动过程中，静电力做负功，电势能逐渐增大，动能逐渐减小，故D错误。 5.如图所示，在水平向右的匀强电场中，质量为m的带电小球，以初速度v从M点竖直向上运动，通过N点时，速度大小为2v，方向与电场方向相反，不计空气阻力，则小球从M运动到N的过程(　　) A.动能增加mv2 B.机械能增加2mv2 C.重力势能增加mv2 D.电势能增加2mv2 答案　B 解析　小球动能的增加量为ΔEk=m(2v)2-mv2=mv2，A错误；小球在竖直方向上的分运动为匀减速直线运动，到N时竖直方向的速度为零，则M、N两点之间高度差为h=，小球重力势能的增加量为ΔEp=mgh =mv2，C错误；静电力对小球做正功，则小球的电势能减少，由能量守恒定律可知，小球减小的电势能等于重力势能与动能的增加量之和，则电势能的减少量为ΔEp'=mv2+mv2=2mv2，D错误；由功能关系可知，除重力外的其他力对小球所做的功在数值上等于小球机械能的增加量，即2mv2，B正确。 　[6~9题，每题4分] 6.(2024·黑吉辽·6)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中(　　) A.动能减小，电势能增大 B.动能增大，电势能增大 C.动能减小，电势能减小 D.动能增大，电势能减小 答案　D 解析　根据题意若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，可知电场力和重力的合力沿着虚线方向，又电场强度方向为水平方向，根据力的合成可知电场力方向水平向右；若小球的初速度方向垂直于虚线(如题图)，则其从O点出发运动到O点等高处的过程中重力对小球做功为零，电场力的方向与小球的位移方向相同，则电场力对小球做正功，小球的动能增大，电势能减小，故选D。 7.(八省联考·内蒙古·5)如图，一带正电小球甲固定在光滑绝缘斜面上，另一带正电小球乙在斜面上由静止释放。以释放点为原点，沿斜面向下为正方向建立x轴。在乙沿x轴加速下滑过程中，其动能Ek和机械能E随位置x变化的图像，可能正确的是(　　) 答案　D 解析　设两个带电小球间距为r，则F合=mgsin θ-k，在乙沿x轴加速下滑过程中，两个带电小球的间距r逐渐减小，合外力沿斜面向下逐渐减小，Ek-x图像的斜率表示合外力，则斜率逐渐减小，故A、B不符合题意；E-x图像的斜率绝对值表示库仑力的大小，即|k斜|=k，在乙沿x轴加速下滑过程中，库仑力逐渐增大，则E-x图像的斜率的绝对值逐渐增大，故C不符合题意，D符合题意。 8.(2024·湖南卷·5)真空中有电荷量为+4q和-q的两个点电荷，分别固定在x轴上-1和0处。设无限远处电势为0，x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是(　　) 答案　D 解析　方法一　从电场强度方向看电势的变化 设x=x0处电场强度为0，此处E1与E2等大反向=，得x0=1，即x=1处，E=0， 0<x<1，电场强度方向向左，x增大，φ增大， x>1，电场强度方向向右，x增大，φ减小，故D正确。 方法二　电势叠加法 根据点电荷周围的电势公式φ=k， 设x=x'处(x'>0)的电势为0， 得k+k=0 解得x'= 故可知当0<x<时，φ<0； 当x=时，φ=0， 当x>时，φ>0，故选D。 9.(2025·江苏前黄市检测)如图所示，一处于电场中的竖直金属板左侧面均匀涂有绝缘薄层，沿板表面建立竖直向下的y轴，电场强度大小随y轴方向均匀增大，关系为E=E0+ky(E0、k为常数)，OA=AB。将带电小物块放在A点时，物块恰好静止。现将该物块由原点O静止释放，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，则物块下滑过程中(　　) A.静电力做正功，物块的电势能减小 B.静电力不做功，物块机械能守恒 C.摩擦力不断增大，物块会在A、B间的某点停止运动 D.物块刚好在B点停下，之后不再上滑 答案　D 解析　带电小物块放在A点时，物块恰好静止，因为金属处于电场中，金属板会成为一个等势体，其表面任何一点处的电场线必然与表面垂直，故可知物块在A点所受静电力方向垂直于金属板，由力的平衡可得，水平方向静电力和弹力平衡qEA=FN，竖直方向最大静摩擦力与重力平衡Ffmax=μFN=mg，物块下滑全过程静电力与运动方向垂直，所以静电力不做功，摩擦力一直做负功，由功能关系可知小物块的机械能不守恒，故A、B错误；物块下滑过程中所受摩擦力Ff=μFN=μqE=μq(E0+ky) 则物块的合力F合=mg-Ff=mg-μq(E0+ky)=mg-μqE0-μqky 可作出物块下滑时受到的合力随下滑位移的关系，如图所示 F合-y图像的面积表示合力做功，由OA=AB可知从O点到B点合力做功为零，所以从O点由静止释放物块，根据动能定理可知物块刚好在B点速度减为零，物块在B点所受静电力大于在A点所受静电力，可知物块在B点的最大静摩擦力大于重力，故物块在B点速度减为零后，停止在B点，物块合力为零，速度为零，所以物块不再上滑，也不下滑，故C错误，D正确。 　[4分] 10.(2026·江苏盐城市检测)绝缘光滑水平面上有A、B、O三点，以O点为坐标原点，向右方向为正方向建立直线坐标轴x轴，A点坐标为-2 m，B点坐标为2 m，如图甲所示。A、B两点间的电势变化如图乙，左侧图线为四分之一圆弧，右侧图线为一条倾斜线段。现把一质量为m、电荷量为q的负点电荷以初速度v0由A点向右射出，则关于负点电荷沿直线运动到B点过程中，下列说法中正确的是(忽略负点电荷形成的电场)(　　) A.负点电荷由A点运动到O点过程中加速度越来越大 B.负点电荷由A运动到O点过程中，随着电势的升高电势能变化越来越快 C.负点电荷在AO段的运动时间小于在OB段的运动时间 D.当负点电荷分别处于- m和 m时，静电力的功率相等 答案　C 解析　根据E==，可知φ-x图像的斜率表示电场强度，由A点到O点斜率逐渐减小，电场强度逐渐减小，负点电荷受到的静电力逐渐减小，加速度逐渐减小，A错误； 根据===-Eq，电场强度逐渐减小，所以随着电势的升高电势能变化越来越慢，B错误； 由于A、B两点电势相等，所以UAB=0 电荷从A点运动到B点静电力做功为WAB=UAB(-q)=0 根据动能定理可知，A、B两点动能相等，速度相等，由于φ-x图像的斜率表示电场强度，可知由A点到O点电场强度减小，电荷受到的静电力减小，O点到B点电场强度不变，电荷受到的静电力不变，所以电荷从A点运动到B点先做加速度减小的加速运动，再做匀减速运动，如图 由于电荷从A点到O点和从O点到B点的位移相同，即v-t图像中两段图线与t轴所围的面积相等，可以看出电荷从A点到O点的运动时间小于从O点到B点的时间，C正确； 由于左侧图线为四分之一圆弧，所以负点电荷分别处于- m处时和 m处时，两段图像斜率的绝对值相等，电场强度大小相等，电荷受到的静电力大小相等，但是在- m处时的电势高于 m处时的电势，说明从O点到- m处的电势差小于从O点到 m处的电势差，根据运动的可逆性可以看作是从O点向两处的减速运动，根据动能定理有-qU左=m-m，-qU右=m-m，可知，- m处的速度大。根据P=Fv=Eqv，可知电荷位于- m处时，静电力的功率较大，D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $