第3章 不等式单元测试卷（暑假单元自测）新高一年级数学苏教版

**基本信息** 本卷为高中数学第3章不等式单元测试卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，考查不等式解集、恒成立、实际应用等核心知识，融合数学思维与模型意识，适配暑假复习强化。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|不等式解集（题1）、命题判断（题2）|基础概念辨析，考查抽象能力| |选择题（多选）|3/18|不等关系（题9）、解集分类（题10）|多角度推理，体现运算能力| |填空题|3/15|取值范围（题12）、正整数解（题13）|细节计算，培养空间观念| |解答题|5/77|实际应用（题18新能源汽车利润）、综合求解（题16函数不等式）|分层递进，强化模型意识与创新思维|

第3章 不等式单元测试卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 5．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 7．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 10．关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 11．已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的取值范围是 . 13．关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 16．（15分） 设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； 17．（15分） 已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 18．（17分） 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元． (1)求出y关于x的函数关系式； (2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）． 19．（17分） 已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式单元测试卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原不等式即为，即，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 2．下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 3．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式解集为. 故选：C 4．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由在R上有解，又开口向上， 所以，解得或，即或. 故选：B 5．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 6．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得． 7．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围. 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 8．设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】先利用基本不等式得到和的最小值，进而利用得到和的最小值，从而得到所求的最小值. 【详解】设． 因为为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，时取等号． 因为为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，当时取等号． ， 当，即时取“等号”， 所以M的最小值为3． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用特值法判断C，利用不等式性质判断ABD. 【详解】对A：因为，所以，所以，故A错误； 对B：， 因为，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确； 对C：取，，，不成立，故C错误； 对D：，因为，所以， 故原不等式成立，故D正确. 故选：BD. 10．关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 11．已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】应用基本不等式及应用常值代换分别计算判断各个选项即可. 【详解】对于A：，当且仅当时取“=”，A正确； 对于B： ，当且仅当时取“=”，B正确； 对于C：， 令，，则， ， 当且仅当，即，时取“=”， 的最小值为，C正确； 对于D： 当且仅当时取“=”，D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，先求出的取值范围，再通过同向不等式相加得到的范围，再由正数的可乘方性即可得出结果. 【详解】由不等式可乘性得，由同向可加性得，由正数的可乘方性得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论两根大小解不等式，结合题意分析求解即可. 【详解】对于不等式，可得不等式， 若，解得，无正整数解，不合题意； 若，不等式无解，不合题意； 若，解得，由题意可得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 【答案】 【分析】根据已知列出总运费，再应用判别式法计算求解即可. 【详解】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为． 由题意得，则总运费， 要使总费用最低，只需最小即可． 设，则， 得，则，得． 当时，总费用最低，则，得， 所以当地到地的距离为时，总运费最低． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 16．（15分） 设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值. （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集. 【详解】（1）函数，又有且只有一个元素， 则方程有且仅有一个根， 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设， 所以的取值集合为. （2）依题意，，整理得， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17．（15分） 已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】（1）由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. （2）当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．（17分） 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元． (1)求出y关于x的函数关系式； (2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）． 【答案】(1) (2)20万元 【分析】（1）根据已知条件，设出二次函数的顶点式，再结合题意列出式子即可求解； （2）结合（1）的结论，先求出，再结合基本不等式的公式即可求解. 【详解】（1）因为营运六年时总利润最大，最大为110万元， 所以二次函数的开口向下，且顶点坐标为， 所以设该函数为， 营运三年时总利润为20万元， 即，解得， 所以. 即. （2）由（1）知， 所以营运的年平均总利润为， 当且仅当，即时，等号成立， 故营运的年平均总利润的最大值为20万元. 19．（17分） 已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出，利用韦达定理结合，可求得实数的值； （2）分析可知，方程在区间上有个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $