第40讲 空间直线、平面的垂直——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“空间直线、平面的垂直”专题，依据课标要求系统梳理线线、线面、面面垂直的定义、判定定理与性质定理，对接高考评价体系分析近五年真题，明确“线面垂直判定”“二面角计算”等高频考点，归纳证明垂直关系、求空间角等核心题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“定理网络化+真题情境化+素养具象化”，如以2025年全国Ⅰ卷四棱锥题为例，示范用“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的化归思想解题，培养学生的空间观念和推理能力。设置“易错点清单”（如忽略线面垂直判定中“相交直线”条件）和“解题三步法”（作角、证明、计算），帮助学生掌握得分技巧，教师可据此实施精准复习，提升学生应试能力。

第7章 立体几何与空间向量 第40讲 空间直线、平面的垂直 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.掌握空间中线面垂直位置关系的定义、判定定理与有关性质;运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题.不论何种“垂直”都能化归到“线线垂直”. 2.会应用“化归思想”进行“线线垂直问题、线面垂直问题、面面垂直问题”的互相转化. 2 【知识要点】 1.直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的定义 (1)如果两条异面直线所成的角是　 　，则这两条异面直线垂直.  (2)如果一条直线和平面内　 　都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.  (3)两个平面相交，如果所成的二面角是　 　，那么这两个平面互相垂直.  直角 任意一条直线 直二面角 3 2.直线与平面、平面与平面垂直的判定定理 (1)直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条　 　直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.  即a⊂α，b⊂α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. (2)平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条　 　，那么这两个平面互相垂直.  即　 　⇒α⊥β.  相交 垂线 a⊥β，a⊂α 4 3.直线与平面、平面与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线　 　于一个平面，那么这两条直线平行.  即a⊥α，b⊥α⇒　 　.  (2)平面与平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于　 　的直线垂直于另一个平面.  即α⊥β，α∩β=l，　 　，a⊂α⇒a⊥β.  同垂直 a∥b a⊥l 它们交线 5 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(　　) (2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.(　　) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　) × × √ × × 6 2.[必修2p161T1]下列命题不正确的是(　　) A.如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ A [解析] 对于A，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内，也可能与平面β相交，A不正确. 7 3.(2025·山东临沂·模拟预测)已知l，m，n是直线，α是平面，且m⊂α，n∥α，则“l⊥m，l⊥n”是“l⊥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 B [解析] 由n∥α得:存在n'⊂α，满足n∥n'， 若l⊥α，则直线l垂直平面α中任意一条直线， ∵m⊂α，n'⊂α，∴l⊥m，l⊥n'，∴l⊥n，必要性成立; 若l⊥m，l⊥n'，m，n'是否相交不确定， ∴l⊥α不一定成立， ∴“l⊥m，l⊥n”是“l⊥α”的必要不充分条件.故选B. 8 4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　) A.若m⊥n，n∥α，则m⊥α B.若m∥β，β⊥α，则m⊥α C.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α D.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D [解析] 对于A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或者m∥α或者m，α相交，故A错误; 对于B，若m∥β，β⊥α，则m⊂α或者m∥α或者m，α相交，故B错误; 对于C，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊂α或者m∥α或者m，α相交，故C错误; 对于D，若m⊥β，n⊥β，则n∥m，又n⊥α，所以m⊥α，故D正确，故选D. 9 5.已知过平面α外一动点A的斜线l与平面α所成角为，并且斜线l交平面α于定点B，若动点A与平面α的距离为1，则斜线段AB在平面α上的射影所扫过的图形面积是　　　　　　.  3π [解析] 如图，过点A作平面α的垂线，垂足为C，连接BC， 所以线段BC为线段AB在平面α上的射影，∠ABC为斜线l 与平面α所成的角，则∠ABC=，又AC=1，所以BC=， 故射影扫过的图形是半径为的圆面，其面积为3π. 10 考点1 直线与平面垂直的判定与性质 角度1.直线与平面垂直的判定 例1　(1)(2025·天津·二模)(多选)已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A.m∥α，n⊥α⇒m⊥n B.α⊥β，α∩β=n，m⊥n⇒m⊥β C.m⊥α，m⊥n⇒n∥α D.n∥m，n⊥α⇒m⊥α AD 11 [解析] 对于A:当m∥α时，满足∃m'⊂α，使得m∥m'，又n⊥α，所以n⊥m'，所以m⊥n，故A正确; 对于B:当m⊂α或m∥α时，满足α⊥β，α∩β=n，m⊥n⇒m⊥β，否则不成立，故B错误; 对于C:满足m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，故C错误; 对于D:由n∥m，n⊥α⇒m⊥α，故D正确.故选AD. 12 (2)如图，四棱锥P-ABCD中，面ABCD是正方形. ①若BP⊥平面ADP，求证:AD⊥平面ABP; ②若AB=PB=AP，求证:AB⊥PC. 13 ①若BP⊥平面ADP，求证:AD⊥平面ABP; [解析] ①因为BP⊥平面ADP，AD⊂平面ADP，所以BP⊥AD， 因为AD⊥AB，AB∩BP=B，AB，BP⊂平面ABP，所以AD⊥平面ABP. 14 ②若AB=PB=AP，求证:AB⊥PC. [解析] ②∵面ABCD是正方形，∴BC⊥AB， ∵AB=PB=AP，∴AB2+PB2=AP2， ∴AB⊥PB， 又因为BC∩PB=B，且BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AB⊥平面PBC， ∵PC⊂平面PBC，∴AB⊥PC. 15 [小结]证明线面垂直的方法主要有: ①利用线面垂直的定义:a与α内任意直线垂直⇒a⊥α; ②利用判定定理:⇒l⊥α. ③利用第二个判定定理:a∥b,a⊥α⇒b⊥α; ④利用面面平行的性质定理:α∥β,a⊥α⇒a⊥β. ⑤利用面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β. 16 角度2.直线与平面垂直的性质 例2　如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，且SA=SB=SC=SD，其中E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动. (1)证明:EP⊥AC; (2)证明:当P与M不重合时，EP与平面SAC不可能垂直. 17 (1)证明:EP⊥AC; [解析] (1)如图所示，连接AC，BD相交于点O，连接SO，EM，EN. 由SA=SB=SC=SD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC. ∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M， ∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP. 18 (2)证明:当P与M不重合时，EP与平面SAC不可能垂直. [解析] (2)由(1)同理可得:EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直. [小结]证明“线线垂直”问题一般都是通过“线面垂直”得到，即先证明“线面垂直”，再根据线面垂直的性质得到线线垂直. 19 1.(多选)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是(　 　) ACD A.PA⊥BD B.PD⊥BD C.PD⊥CD D.PB⊥BC [解析] 对于A:∵PA⊥矩形ABCD，BD⊂矩形ABCD， ∴PA⊥BD，故A正确. 对于B:若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，又BA⊥平面PAD， 则过平面外一点有两条直线与平面垂直，故矛盾，故B错误; 对于C:∵PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥CD，AD⊥CD，∴CD⊥平面PAD，∴PD⊥CD，故C正确; 同理可得PB⊥BC，故D正确.故选ACD. 对应训练 20 2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AB的中点，AA1=AB=4，=3. (1)证明:CD⊥A1E; (2)证明:A1D⊥平面CDE. 21 (1)证明:CD⊥A1E; [解析] (1)因为△ABC为正三角形，D为AB的中点，所以CD⊥AB， 因为BB1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以BB1⊥CD. 因为AB⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，AB∩BB1=B，所以CD⊥平面ABB1A1. 因为A1E⊂平面ABB1A1，所以CD⊥A1E. 22 (2)证明:A1D⊥平面CDE. [解析] (2)易得A1D=2，DE=，A1E=5，则A1D2+DE2=A1E2， 所以A1D⊥DE. 由(1)可知CD⊥平面ABB1A1，所以A1D⊥CD. 因为CD⊂平面CDE，DE⊂平面CDE，CD∩DE=D， 所以A1D⊥平面CDE. 23 3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，∠BAD=90°，PD=，AB=2PA=4，E是PA的中点. (1)求证:DE⊥平面PAB; (2)求三棱锥E-PBC的体积. 24 (1)求证:DE⊥平面PAB; [解析] (1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AB， 因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD. 又因为AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD. 因为DE⊂平面PAD，所以DE⊥AB. 因为PD=，PA=2，PD⊥AD，所以AD==， 所以AD=PD，又E是PA的中点，所以DE⊥PA. 又因为PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB， 所以DE⊥平面PAB. 25 (2)求三棱锥E-PBC的体积. [解析] (2)因为AB∥DC，AB⊂平面PAB，DC⊄平面PAB，所以DC∥平面PAB. 所以点C到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离，也就是线段DE的长， 所以点C到平面PEB的距离等于线段DE的长. 因为E是PA的中点，所以DE=PA=1. 因为AB⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，所以AB⊥PA. 因为PA=2，AB=4，所以S△PAB=×4×2=4，S△PEB=S△PAB=2， 所以==S△PEB·DE=. 26 考点2 平面与平面垂直的判定与性质 例3　(1)已知两个平面相互垂直，下列结论正确的是(　　) A.过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 B.一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 C.一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面 D.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 D [解析] 对于A，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不垂直于另一个平面，故A错误. 对于B，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故B错误. 27 对于C，当两个平面垂直时，一个平面内的任意一条直线不一定垂直于另一个平面，如图，平面β内与l不平行的直线与平面α不垂直，故C错误. 对于D，设两个相互垂直的平面为α，β，平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β. ∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α，∴l⊥n， 而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直， 故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即D正确.故选D. 28 (2)如图，正方形ABCD所在的平面与直角梯形CDEF所在的平面互相垂直，已知CD∥EF，CD⊥CF，EF=2CD=2CF=4，点P在线段BE上. 求证:平面PDF⊥平面ADE. 29 [解析] ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD⊥CD， 又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，AD⊂平面ABCD， ∴AD⊥平面CDEF， 30 又DF⊂平面CDEF，∴AD⊥DF. 取EF中点G，连接DG，由已知得DG=FC=2，DG⊥EG， ∴DE=DF=2，又EF=4， ∴DE2+DF2=EF2，∴DE⊥DF， 又AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AD∩DE=D，∴DF⊥平面ADE. 又DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面ADE. 31 [小结]1.证明面面垂直的方法有: ①利用定义:α和β所成的二面角为直二面角⇒α⊥β; ②利用判定定理:a⊥β,a⊂α⇒α⊥β. 2.掌握性质定理: ①α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β,用来证明线面垂直,也用来确定点到平面的垂线段; ②α⊥β,点P∈α,P∈a,a⊥β⇒a⊂α. 32 4.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点M为A1B1的中点. (1)证明:MC1⊥平面ABB1A1; (2)在棱BB1上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC1M?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. 对应训练 33 (1)证明:MC1⊥平面ABB1A1; [解析] (1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱， 所以AA1⊥平面A1B1C1，MC1⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥MC1; 又因为M是A1B1的中点，所以MC1⊥A1B1， 因为AA1∩A1B1=A1，A1B1⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1， 所以MC1⊥平面ABB1A1. 34 (2)在棱BB1上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC1M?若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. [解析] (2)由(1)可知C1M⊥平面AA1B1B，因为C1M⊂平面BC1M， 则平面BC1M⊥平面AA1B1B， 在平面AA1B1B内过点A作AQ⊥BM交BB1于点Q， 平面BC1M∩平面AA1B1B=BM，因此AQ⊥平面BC1M， 于是点Q即为所要找的点，如图所示，显然△ABQ∽△BB1M， 因此=，即有=1，于是=1，所以=1. 35 考点3 几何法求线面角与二面角 例4　(1)如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，CD，BE是圆柱的两条母线.若该圆柱的侧面积等于两底面面积的和，当C为的中点时，求直线AE与平面ACD所成角的正切值. 36 [解析] 因为AB是下底面圆的直径，C是下底面圆周上异于A，B的动点， 所以BC⊥AC，又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ACB， 而BC⊂底面ACB，所以CD⊥BC. 因为CD⊂平面ACD，AC⊂平面ACD，且CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD. 37 由已知BC∥DE，所以DE⊥平面ACD， 所以∠EAD为直线AE与平面ACD所成的角. 设圆柱的底面圆半径为r，母线长为l， 因为圆柱的侧面积等于两底面面积的和，所以2πrl=2πr2，得l=r， 又C为弧的中点，所以AC=BC=DE=r， 所以在Rt△ACD中，AD===r， 在Rt△ADE中，tan∠EAD===， 所以直线AE与平面ACD所成角的正切值为. 38 (2)在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC. ①证明:AD⊥CE; ②若侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的余弦值. 39 ①证明:AD⊥CE; [解析] ①取BC的中点F，连接FD交CE于O， 因为AB=AC，所以AF⊥BC， 因为侧面ABC⊥底面BCDE，侧面ABC∩底面BCDE=BC，AF⊂平面ABC， 所以AF⊥平面BCDE，因为CE⊂平面BCDE，所以AF⊥CE， 因为底面BCDE为矩形，且BC=2，CD=，BC的中点F， 所以===，所以=， 所以Rt△FCD∽Rt△CDE，所以∠FDC=∠CED， 因为∠ECD+∠CED=90°，所以∠ECD+∠FDC=90°，所以CE⊥FD， 40 因为AF∩FD=F，AF，FD⊂平面AFD，所以CE⊥平面AFD， 因为AD⊂平面AFD，所以AD⊥CE; 41 ②若侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的余弦值. [解析]②在面ACD内过点C作AD的垂线，垂足为G，连接EG， 因为底面BCDE为矩形，所以CD⊥BC，BE⊥BC，由题意知CD⊥平面ABC， 由①知，AD⊥CE，因为CE∩CG=C，CE，CG⊂平面CEG， 所以AD⊥平面CEG，因为EG⊂平面CEG，所以AD⊥EG， 所以∠CGE即为所求二面角C-AD-E的平面角. 因为AF⊥平面BCDE，DF⊂平面BCDE，所以AF⊥DF， 因为侧面ABC为等边三角形，BC=2，所以AF==， 因为CD=，CF=1，所以DF=，所以AD==，同理得AE=， 42 所以CG===，CE==， 在等腰△ADE中，AD=AE=，GE===， 在△CGE中，由余弦定理cos∠CGE===-. 所以二面角C-AD-E的余弦值为-. 43 [小结](1)利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程,缺一不可. (2)斜线与平面所成的角,首先作出面的垂线,得出斜线在面内的射影,从而得出斜线与平面所成的角,转化为直角三角形求解. (3)求空间角中的难点是求二面角,作二面角的平面角的常用方法有:①定义法:根据平面角的概念直接作,如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边,就可以取棱的中点;②垂面法:过二面角棱上一点作棱的垂面,则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角;③垂线法:过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线,得到垂足B,再从垂足B向二面角的棱作垂线,垂足为C,这样二面角的棱就垂直于这两个垂线所确定的平面ABC,连接AC,则AC也与二面角的棱垂直,∠ACB就是二面角的平面角或其补角,这样就把问题归结为解一个直角三角形,这是求解二面角最基本、最重要的方法. 44 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB=2，AC与BD交于点O. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)求PB与平面ABCD所成角的大小; (3)求二面角P-BD-A的正切值. 对应训练 45 (1)求证:BD⊥平面PAC; [解析] (1)证明:∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， 又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD， 又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC. 46 (2)求PB与平面ABCD所成角的大小; [解析] (2)∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PBA为PB与平面ABCD所成的角， 又PA=AB=2， ∴∠PBA=，即PB与平面ABCD所成的角为. 47 (3)求二面角P-BD-A的正切值. [解析] (3)连接PO，由(1)知BD⊥平面PAC，∴PO⊥BD，AO⊥BD， ∴∠POA为二面角P-BD-A的平面角， 在Rt△PAO中，PA=2，AO=1，tan∠POA=2， ∴二面角P-BD-A的正切值为2. 48 考点4 平行、垂直关系的综合应用 例5　(2025·云南玉溪·模拟预测)如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，AB∥EF，AD=AE=BC=BF，EF=2AB. (1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明:l∥CF; (2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面ABG?若存在，确定点G的位置;若不存在，请说明理由. 49 (1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明:l∥CF; [解析] (1)因为四边形CDEF为矩形， 所以CF∥DE，因为DE⊂平面ADE，CF⊄平面ADE. 所以CF∥平面ADE，因为平面ADE∩平面BCF=l，CF⊂平面BCF， 所以l∥CF. 50 (2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面ABG?若存在，确定点G的位置;若不存在，请说明理由. [解析] (2)存在G为DE中点，使得DE⊥平面ABG， 理由如下:取DE的中点G， 因为AD=AE，所以AG⊥DE，因为EF∥AB且EF⊥DE， 所以AB⊥DE，因为AB∩AG=A且AB，AG⊂平面ABG， 所以DE⊥平面ABG. 51 [小结]解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形.对于是否存在问题，首先要分析条件，看结论需要的条件已有哪些，分析欲使结论成立，还需要什么条件，结合所求，不难作出辅助线. 52 6.(2025·陕西汉中·模拟预测)如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，P是BC的中点，连接AP，将△PAB沿直线AP翻折，使得平面PAB⊥平面APCD(如图2)，连接BC，BD，Q是棱BD的中点. (1)证明:AB⊥平面PBD; (2)证明:CQ∥平面PAB. 对应训练 53 (1)证明:AB⊥平面PBD; [解析] (1)因为在矩形ABCD中，AD=2AB=2，P是BC的中点， 所以AP=PD=，即AP2+PD2=AD2，所以PD⊥AP， 又因为平面PAB⊥平面APCD，平面PAB∩平面APCD=PA，PD⊂平面APCD， 所以PD⊥平面PAB， 又AB⊂平面PAB，所以PD⊥AB， 又因为AB⊥BP，PB∩PD=P，PB，PD⊂平面PBD， 所以AB⊥平面PBD. 54 (2)证明:CQ∥平面PAB. [解析] (2)如图所示，取AD中点E，连接QE，CE， 因为在矩形ABCD中，P是BC的中点， 所以AE∥PC，AE=PC，即四边形AECP为平行四边形， 从而AP∥CE，又因为CE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB， 又因为Q，E分别是DB，DA的中点，所以QE∥AB， 又因为QE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以QE∥平面PAB， 又因为QE∩EC=E，QE，EC⊂平面QEC， 所以平面QEC∥平面PAB， 又因为CQ⊂平面QEC，所以CQ∥平面PAB. 55 7.已知矩形ABCD中，AB=2，BC=2，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示.现将△OAB和△OCD剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠:沿MN将△AOD，△BOC折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示. (1)求证:MN⊥平面AOC; (2)求此多面体体积V的最大值. 56 (1)求证:MN⊥平面AOC; [解析] (1)在图2中，取MN的中点E，连AE，CE，OE， 因为AM=AN，E为MN的中点， 所以MN⊥AE，同理得MN⊥CE，MN⊥OE， 因为AE∩OE=E，AE，OE⊂平面AOE， 所以MN⊥平面AOE， 因为OA⊂平面AOE，所以MN⊥OA， 因为CE∩OE=E，CE，OE⊂平面COE，所以MN⊥平面COE， 因为OC⊂平面COE，所以MN⊥OC， 因为OA∩OC=O，OA，OC⊂平面COA， 所以MN⊥平面COA. 57 (2)求此多面体体积V的最大值. [解析] (2)根据图形的对称性可知，V=2， 因为△OCN的面积为ON·NC=×1×=，为定值， 所以当点M到平面OCN的距离最大时，三棱锥体积最大， 此时平面OMC⊥平面ONC，点M到平面OCN的距离等于点M到OC的距离，等于， 所以此多面体体积V的最大值为2×××=. 58 走进高考 1.(2025·全国Ⅰ卷)(多选)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC中点，则(　　) A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D C.CC1∥平面AA1D D.AD∥A1B1 BC [解析] 法一:对于A，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， 59 又AD⊂平面ABC，则AA1⊥AD，则·=0， 因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC，则·=0， 又=++， 所以·=·=·++·=≠0， 则AD⊥A1C不成立，故A错误; 对于B，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC， 又BC⊂平面ABC，则AA1⊥BC， 因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC， 又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D， 所以BC⊥平面AA1D，故B正确; 60 对于C，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1∥AA1， 又AA1⊂平面AA1D，CC1⊄平面AA1D， 所以CC1∥平面AA1D，故C正确; 对于D，因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB， 假设AD∥A1B1，则AD∥AB，这与AD∩AB=A矛盾， 所以AD∥A1B1不成立，故D错误;故选BC. 61 法二:如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h， 则D(0，0，0)，A(，0，0)，A1(，0，h)，C(0，-1，0)，C1(0，-1，h)， B(0，1，0)，B1(0，1，h)， 对于A，=(-，0，0)，=(-，-1，-h)， 则·=(-)×(-)+0=3≠0， 则AD⊥A1C不成立，故A错误; 62 对于BC，=(0，-2，0)，=(0，0，h)，=(0，0，h)，=(-，0，0)， 设平面AA1D的法向量为n=(x，y，z)， 则得x=z=0，令y=1，则n=(0，1，0)， 所以=(0，-2，0)=-2n，·n=0， 则BC⊥平面AA1D，CC1∥平面AA1D，故BC正确; 对于D，=(-，0，0)，=(-，1，0)， 则≠，显然AD∥A1B1不成立，故D错误;故选BC. 63 2.(2025·全国Ⅰ卷)如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD. (2)PA=AB=，AD=1+，BC=2，P，B，C，D在同一个 球面上，设该球面的球心为O. (ⅰ)证明:O在平面ABCD上; (ⅱ)求直线AC与直线PO所成角的余弦值. 64 (1)证明:平面PAB⊥平面PAD. [解析] (1)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∵AB⊂平面ABCD，∴AP⊥AB， ∵AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD， ∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. 65 (2)PA=AB=，AD=1+，BC=2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O. (ⅰ)证明:O在平面ABCD上; [解析](2)(ⅰ)法一:在四棱锥P-ABCD中，AP⊥AB，AP⊥AD，AB⊥AD，BC∥AD， PA=AB=，AD=1+， 建立空间直角坐标系如下图所示， 66 ∴A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，2，0)，D(0，1+，0)，P(0，0，)， 若P，B，C，D在同一个球面上， 则|OP|=|OB|=|OC|=|OD|，在平面xAy中， ∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)，D(0，1+)， ∴线段CD中点坐标F， 直线CD的斜率:k1==-，直线CD的垂直平分线OF斜率:k2==，∴直线OF的方程:y-=， 即y=+， 67 当y=1时，1=+，解得:xO=0，∴O(0，1). 在坐标系Axyz中，O(0，1，0)， ∵ 解得:|OP|=|OB|=|OC|=|OD|=， ∴点O在平面ABCD上. 68 法二:∵P，B，C，D在同一个球面上，∴球心到四个点的距离相等，在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出BC和CD的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得，O1E=AB=，BE=CE=AO1=GO1=BC=1，O1D=AD-AO1=， BO1=CO1==， ∴O1D=BO1=CO1，∴点O1是△BCD的外心，在Rt△AO1P中，AP⊥AD，P=， 69 由勾股定理得， PO1===， ∴PO1=BO1=CO1=O1D=， ∴点O1即为点P，B，C，D所在球的球心O，此时点O在线段AD上，AD⊂平面ABCD，∴点O在平面ABCD上. 70 (ⅱ)法一:由题意，(1)(2)(ⅰ)及图得， =(，2，0)，=(0，1，-)，设直线AC与直线PO所成角为θ， ∴cos θ= = = . (ⅱ)求直线AC与直线PO所成角的余弦值. 71 法二:由几何知识得，PO=，AB⊥AD，BC∥AD，∴AB⊥BC， 在Rt△ABC中，AB=，BC=2，由勾股定理得， AC===， 过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C1，连接AC1，PC1， 72 则OC1=AC=，直线AC与直线PO所成角即为△POC1中∠POC1或其补角. ∵PA⊥平面ABCD，AC1⊂平面ABCD， ∴PA⊥AC1， 在Rt△ABC1中，AB=，BC1=BC+CC1=2+1=3，由勾股定理得， AC1===， 在Rt△APC1中，PA=，由勾股定理得，PC1===， 73 在△POC1中，由余弦定理得，P=PO2+O-2PO·OC1cos∠POC1， 即()2=()2+()2-2×cos∠POC1 ， 解得cos∠POC1=-， ∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为:|cos∠POC1|= . 74 $