空间直线、平面垂直的判定与性质 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间直线、平面垂直的判定与性质”专题，依据高考评价体系梳理了线线垂直、线面垂直、面面垂直的定义判定及性质定理，涵盖异面直线所成角、线面角、二面角等空间角考点，通过真题分析明确线面垂直判定、面面垂直性质等高频考点权重，归纳证明、探索性问题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“知识梳理+真题训练+方法提炼”的系统备考策略，如例1直三棱柱中通过线面垂直判定定理证明线线垂直，培养学生空间观念与推理能力，方法总结强调垂直关系转化技巧。特设热身训练与变式题，帮助学生掌握答题逻辑，教师可据此精准指导，提升复习效率。

空间直线、平面垂直的判定与性质 任意一条直线 两个半平面 垂直于棱 [0，π] 直二面角 A C B ABD ABD [知识梳理] 1．直线与直线垂直 (1)异面直线所成的角 ①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②取值范围： ． (2)如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的 都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. (2)直线与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 3.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)取值范围： ． 4．二面角 (1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3)取值范围： ． (4)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直． 5．平面与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 [热身训练] 1．已知α，β是两个不重合的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”的( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知l，a，b是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则l⊥α的一个充分条件可以是( ). A．a⊂α，b⊂α，a⊥l，b⊥l B．β⊥α，l∥β C．l⊥β，β∥α D．a∥α，l⊥a 3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( ). A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 4．(多选)如图7.4­1，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列结论正确的有( ). 图7.4­1 A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EF C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC 题型1　线面垂直的判定与性质 【例1】如图7.4­2，在直三棱柱ABC­A1B1C1中， AB⊥BC，且AB＝BC＝AA1＝2，D为线段BC上的动点． (1)求证：AB1⊥A1D． (2)判断点D到平面AB1C1的距离是不是定值，并说明理由．若是定值，请求出该定值． (1)【证明】如答图7.4­1，连接A1B，A1C，因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B．又因为BC⊥AB，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥BC，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面AA1B1B．因为AB1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥AB1.又因为A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC．因为A1D⊂平面A1BC，所以AB1⊥A1D． 答图7.4­1 (2)【解析】点D到平面AB1C1的距离为定值．因为BC∥B1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以BC∥平面AB1C1，所以点D到平面AB1C1的距离等于BC到平面AB1C1的距离，可转化为点B到平面AB1C1的距离．设A1B∩AB1＝E，则BE⊥AB1，又BC⊥平面AA1B1B，BE⊂平面AA1B1B，所以BC⊥BE.因为BC∥B1C1，所以B1C1⊥BE.因为AB1∩B1C1＝B1，所以BE⊥平面AB1C1，所以线段BE的长等于点D到平面AB1C1的距离．在等腰直角三角形ABB1中，AB1＝2，所以BE＝AB1＝，所以点D到平面AB1C1的距离为定值，且定值为. 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②直线垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直，需借助线面垂直的性质． 【变式】如图7.4­3，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点． 图7.4­3 (1)求证：PO⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离． (1)【证明】因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝2.如答图7.4­2，连接OB，因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB．又因为AC∩OB＝O，所以PO⊥平面ABC． (2)【解析】如答图7.4­2，作CH⊥OM，垂足为H，由(1)可得PO⊥CH，且PO∩OM＝O，所以CH⊥平面POM，故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝AC＝2，MC＝BC＝，∠ACB＝45°，所以OM＝，CH＝＝，所以点C到平面POM的距离为. 题型2　面面垂直的判定与性质 【例2】(多选)如图7.4­4①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD的中点，沿AE将△ADE折起，使点D到达点P的位置，并满足PA⊥PB，如图7.4­4②，则( ). 图7.4­4 A．平面PAB⊥平面PBE B．平面PAE⊥平面PBE C．平面PAB⊥平面ABCE D．平面PAE⊥平面ABCE 【解析】因为PA⊥PB，PA⊥PE，且PB∩PE＝P，PB，PE⊂平面PBE，所以PA⊥平面PBE.又PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBE，平面PAE⊥平面PBE，故A, B正确．如答图7.4­3①，取AB的中点F，连接DF，交AE于点G，则△ADE和△ADF均为等腰直角三角形，所以∠DAE＝∠ADF＝45°，所以∠AGD＝90°，所以DF⊥AE，如答图7.4­3②，连接PF，因为PG⊥AE，FG⊥AE，所以∠PGF为二面角P­AE­B的平面角．设AD＝2，则DG＝GF＝，在Rt△PAB中，AB＝2AD＝4，F为AB的中点，故PF＝AB＝2.所以PG2＋GF2＝＋＝4＝PF2，所以∠PGF＝90°，所以平面PAE⊥平面ABCE，所以平面PAB与平面ABCE不垂直，故C错误，D正确． 证明面面垂直的方法与转化 (1)证明面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理． (2)在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直． 【变式】如图7.4­5，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起． 图7.4­5 (1)如果二面角A′­DE­C是直二面角，求证：A′B＝A′C； (2)如果A′B＝A′C，求证：平面A′DE⊥平面BCDE. 【证明】(1)如答图7.4­4，过点A′作A′M⊥DE于点M，则A′M⊥平面BCDE，所以A′M⊥BC．又A′D＝A′E，所以M是DE的中点．取BC的中点N，连接MN，A′N，则MN⊥BC．又A′M⊥BC，A′M∩MN＝M，所以BC⊥平面A′MN，所以A′N⊥BC．又因为N是BC的中点，所以A′B＝A′C． 答图7.4­4 (2)如答图7.4­4，取BC的中点N，连接A′N.因为A′B＝A′C，所以A′N⊥BC．取DE的中点M，连接MN，A′M，所以MN⊥BC．又A′N∩MN＝N，所以BC⊥平面A′MN，所以A′M⊥BC．又M是DE的中点，A′D＝A′E，所以A′M⊥DE.又因为DE与BC是平面BCDE内的相交直线，所以A′M⊥平面BCDE.因为A′M⊂平面A′DE，所以平面A′DE⊥平面BCDE. 题型3　平行、垂直关系的综合应用 【例3】在如图7.4­6所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB． 图7.4­6 (1)若AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB； (2)若G，H分别是EC和FB的中点， 求证：GH∥平面ABC． 【解析】(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF.如答图7.4­5①，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC．同理可得BD⊥AC．又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB． 答图7.4­5 (2)如答图7.4­5②，设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB．在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC又HI∩GI＝I，HI，GI⊂平面GHI，所以平面GHI∥平面ABC．因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC． 立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系在一定条件下既可以纵向转化(线线平行、线面平行、面面平行之间的转化或线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化)，也可以横向转化(由线线平行转化为线面垂直，线面垂直转化为线线平行、面面平行等)，解题时要认真审题，根据题设与定理合理转化，解决问题． 【变式】如图7.4­7，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上(异于点P，C)，平面ABE与棱PD交于点F. 图7.4­7 (1)求证：AB∥EF； (2)若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD． 【证明】(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD．又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC．又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD．因为AF⊥EF，AB∥EF，所以AB⊥AF.又点E在棱PC上(异于点C)，所以点F在PD上(异于点D)，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD． 垂直关系中的探索性问题 垂直关系中的探索性问题与平行关系中的探索性问题的题型和解法类似，主要涉及探究满足条件的点是否存在、点在什么位置、某种垂直关系是否成立等，主要考查逻辑推理和直观想象的核心素养． 【例题】如图7.4­8①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB于点E.沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，连接A1B，A1C，M，N分别为A1C，BE的中点，连接MN，如图7.4­8②. 图7.4­8 (1)求证：DE⊥A1B； (2)求证：MN∥平面A1ED； (3)在棱A1B上是否存在一点G， 使得EG⊥平面A1BC？若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由． (1)【证明】因为在直角梯形ABCD中，DE⊥AB，沿DE将△AED折起到△A1ED的位置，所以DE⊥A1E，DE⊥BE.因为A1E∩BE＝E，A1E，BE⊂平面A1BE，所以DE⊥平面A1BE，又A1B⊂平面A1BE，所以DE⊥A1B． (2)【证明】取CD的中点H，连接NH，MH，如答图7.4­6.因为M，N分别为A1C，BE的中点，所以MH∥A1D，NH∥DE.因为MH⊄平面A1ED，A1D⊂平面A1ED，所以MH∥平面A1ED，因为NH⊄平面A1ED，DE⊂平面A1ED，所以NH∥平面A1ED．又NH∩MH＝H，NH，MH⊂平面MNH，所以平面A1ED∥平面MNH.又MN⊂平面MNH，所以MN∥平面A1ED． 答图7.4­6 (3)【解析】取A1B的中点G，连接EG，如答图7.4­6.在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，DE⊥AB，所以BC∥DE，因为AB＝2CD，所以AE＝BE，即A1E＝BE，所以EG⊥A1B，由(1)知DE⊥平面A1BE，又因为DE∥BC，所以BC⊥平面A1BE.又EG⊂平面A1BE，所以EG⊥BC．又A1B∩BC＝B，A1B，BC⊂平面A1BC，所以EG⊥平面A1BC，所以棱A1B上存在中点G，使得EG⊥平面A1BC，且此时＝1. 对命题成立的条件探索的三种途径 途径一：先猜后证． 途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性． 途径三：将几何问题转化为代数问题． 【变式】如图7.4­9，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上． 图7.4­9 (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B． (2)在下列给出的三个条件中选取哪两 个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论． ①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝. (1)【证明】由题意知A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1D．又A1B1∩AA1＝A1，所以C1D⊥平面AA1B1B． (2)【解析】选①③.连接A1B，如答图7.4­7，易知DF∥A1B，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，易知AB＝，又AA1＝，所以四边形AA1B1B为正方形，所以A1B⊥AB1，所以DF⊥AB1.因为C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，所以C1D⊥AB1.因为DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF，所以AB1⊥平面C1DF. 答图7.4­7 $