第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、直线、平面之间的位置关系”核心考点，依据课标要求覆盖平面基本性质、位置关系判定及异面直线所成角三大考查维度，通过分析近三年高考真题明确“异面直线所成角计算”占比35%、“位置关系判定”占比40%的高频考点，归纳选择、多选及解答题等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题情境+方法建模+素养提升”策略，如结合2025年上海长宁二模正方体动态问题，提炼“平移法”求异面直线所成角的“一作二证三求”步骤，培养学生空间观念与推理能力。设“易错警示”专栏纠正异面直线判定等典型错误，教师可依托分层训练精准突破考点，助力学生高效掌握解题技巧，提升高考得分率。

第7章 立体几何与空间向量 第38讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.掌握平面的基本性质，在充分理解本讲基本事实的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系. 2.掌握点、线、面关系的文字语言、符号语言、图形语言的密切联系及相互转化. 3.掌握空间两条直线的位置关系的证明，并能够判定两条直线的异面关系，会求两条异面直线所成的角. 2 【知识要点】 1.平面的基本性质 (1)基本事实1:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. (2)基本事实2:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内. (3)确定平面的条件: ①　 　可确定一个平面.  ②一条直线和　 　一点可确定一个平面.  ③两条　 　直线可确定一个平面.  (4)基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个公共点的公共直线. 不共线的三点 其外 相交或平行 3 2.空间两直线的位置关系 (2)异面直线所成的角 ①定义:设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，把a'与b'所成的　 　叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).  ②范围:  　.  锐角(或直角) (0， 3.基本事实 平行于同　 　的两条直线互相平行.  (1)位置关系的分类 一条直线 4 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β=a.(　　) (2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　　) (3)经过两条相交直线，有且只有一个平面.(　　) (4)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) (5)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线.(　　) √ × √ × × 5 2.已知角α的两边和角β的两边分别平行，且α=20°，则β=(　　) A.20° B.160° C.20°或160° D.不能确定 C [解析] 因为角α的两边和角β的两边分别平行， 所以α，β相等或者互补，所以β=20°或160°. 6 3.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　) A.b⊂α B.b∥α C.b⊂α或b∥α D.b与α相交或b⊂α或b∥α D [解析] 由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.故选D. 7 4.[必修2p147例1改编]在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=BC=1，AA'=2，则直线BA'与AC所成角的余弦值为　　　　.  [解析] 如图，连接CD'， 易知CD'BA'，则∠ACD'是直线BA'与AC所成 的角，连接AD'， 在△ACD'中，AC=，AD'=CD'=， 设AC的中点为O，则D'O⊥AC， 故cos∠ACD'= = . 8 5.[必修2p143T5]如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱 AB，BC，CD，DA的中点，则 (1)当AC，BD满足条件　　　　时，四边形EFGH为菱形;  (2)当AC，BD满足条件　　 　时，四边形EFGH为正方形.  AC=BD AC=BD且AC⊥BD [解析] (1)∵四边形EFGH为菱形， ∴EF=EH，故AC=BD. (2)∵四边形EFGH为正方形， ∴EF=EH且EF⊥EH， ∵EFAC，EHBD， ∴AC=BD且AC⊥BD. 9 考点1 基本事实及其应用 例1　(1)下列图形中，一定可以确定一个平面的是(　　) A.四边形 B.空间三点 C.两两相交且交点均不相同的四条直线 D.交于同一点的三条直线 C [解析] 对于A，四边形如果是空间四边形，则不能确定一个平面，故A错误; 对于B，空间三点如果在一条直线上，则不能确定一个平面，故B错误; 10 对于C，设这四条直线分别为l1，l2，l3，l4，取其中两条相交直线l1和l2，则它们可确定一个平面α，取l3，设其与l1，l2的交点分别为A，B，则由题意知这两点不同，且A∈l1，B∈l2，所以有A，B∈α，从而l3∈α;同理可证明l4∈α，所以每两条都相交且交点各不相同的四条直线一定共面，故C正确; 对于D，交于同一点的三条直线，例如长方体的顶点处的3条棱，不能确定一个平面，故D错误.故选C. 11 (2)如图，平面α与平面β相交于直线l，点A，B在平面α上，点C在平面β上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点D.设A，B，C三点确定的平面为γ，则β与γ的交线是(　　) A.直线AC B.直线AB C.直线CD D.直线BC C [解析] 如图，因为直线AB与直线l相交于点D，D∈l，所以D∈平面β， 又点C在平面β上，所以CD⊂平面β，因为AB⊂平面γ，D点在直线AB 上，所以D∈平面γ， 又C∈平面γ，所以CD⊂平面γ，所以β与γ的交线是直线CD.故选C. 12 [小结]1.证明点或线共面问题的两种方法:(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上. 3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 13 1.如图，四棱锥P-ABCD，AC∩BD=O，M 是PC 的中点，直线AM交平面PBD 于点N，则下列结论正确的是(　　) A.O，N，P，M 四点不共面 B.O，N，M，D四点共面 C.O，N，M三点共线 D.P，N，O三点共线 D [解析] 直线AC与直线PO交于点O，所以平面PCA与平面PBD交于点O，所以必相交于直线PO，直线AM在平面PAC内，点N∈AM，故N∈平面PAC，故O，N，P，M四点共面，所以A错. 点D若与M，N，O共面，则直线BD在平面PAC内，与题目矛盾，故B错. O与A不重合，故O，N，M三点不共线，故C错. 对应训练 14 2.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面D1PQ∩平面ABCD=l，则下列结论正确的是(　 　) A.l过点B B.l不过点B C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上 D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上 ACD 15 [解析] 连接PB，QB，如图， 因为P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，由勾股定理得D1P=D1Q=QB=BP，且D1Q∥PB， 所以四边形D1PBQ是菱形，所以D1，P，B，Q四点共面，即B∈平面D1PBQ. 又B∈平面ABCD，所以B∈l，故A正确，B错误. 16 如图，延长D1P与DA的延长线交于点F，延长D1Q与DC的延长线交于点E. 因为D1F⊂平面D1PBQ，所以F∈平面D1PBQ， 因为DF⊂平面ABCD，所以F∈平面ABCD，所以F∈l， 同理E∈l，故C，D正确. 17 考点2 空间两条直线的位置关系 例2　(1)(2025·上海长宁·二模)(多选)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，则下列结论正确的是(　　 ) A.存在点P，使得PQ⊥A1C1 B.存在点P，使得PQ∥A1B C.直线PQ始终与直线CC1异面 D.直线PQ始终与直线BC1异面 ABD 18 [解析] 正方体ABCD-A1B1C1D1中，易得A1C1⊥平面BDD1B1，因为点P在直线AD1上，Q为线段BD的中点，当点P和点D1重合时，PQ⊂平面BDD1B1，∴PQ⊥A1C1，故A正确; 连接A1D，A1B，当点P为线段A1D的中点时，PQ为三角形A1BD的中位线， 即PQ∥A1B，故B正确; 19 CC1⊂平面AA1C1C，当点P和点A重合时，PQ⊂平面AA1C1C，所以直线PQ和CC1在同一平面内，故C错误; BC1⊂平面ABC1D1，PQ∩平面ABC1D1=P，P∉BC1，所以直线PQ始终与直线BC1不相交，且不平行，所以直线PQ与直线BC1是异面直线，故D正确;故选ABD. 20 (2)(2025·广西南宁·模拟预测)(多选)如图是长方体的展开图，且AD=2AB，ABFE为正方形，其中P，Q分别为AD，HI的中点，则下列结论正确的是(　　) A.AM∥CG B.AF∥DK C.BP∥JQ D.BP⊥QJ BD 21 [解析] 将展开图还原成长方体，如图， 由图可知AM与CG异面，故A不正确，AF∥DK，故B正确，由AD=2AB，ABFE为正方形知∠GQJ=90°，BP⊥QJ，故D正确，故选BD. 22 [小结]1.空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决. 2.异面直线的判定方法: (1)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面. (2)定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 23 3.一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PB，PC的中点，对此几何体，下面结论错误的是(　　) A.直线AE与直线BF异面 B.直线AE与直线DF异面 C.直线EF∥平面PAD D.直线EF∥平面ABCD B 对应训练 24 [解析] 由题意知:该几何体是底面为正方形的四棱锥，如图所示，连接AE，EF，BF，DF，易得EF∥BC，BC∥AD，则EF∥AD， 故EF，AD共面，则AE，DF共面，故B错误;又F∈面AEFD，B∉面AEFD，F不在直线AE上，则直线AE与直线BF异面，故A正确; 由EF∥AD，EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，则直线EF∥平面PAD，故C正确; EF⊄平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则直线EF∥平面ABCD，故D正确.故选B. 25 4.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是(　　) A.直线MN与直线A1B是异面直线 B.直线MN与直线DD1相交 C.直线MN与直线AC1是异面直线 D.直线MN与直线A1C平行 [解析] 如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形 BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所 以直线MN与直线A1B平行，所以A错误; C 26 因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误; 因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确; 因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误. 27 考点3 异面直线所成的角 例3　(1)如图，在圆柱O'O中，AB，A'B'分别为圆O，圆O'的直径，C为上靠近A的三等分点，C'为上靠近A'的三等分点，且AO=AA'=OO'=2，则异面直线AC'与OC夹角的正切值为(　　) A. B.2 C. D. D 28 [解析] 如图， 连接CC'，AO'，C'O'，AC.因为C'O'∥CO，C'C⊥AC， △AOC为等边三角形， 所以异面直线AC'与OC的夹角为∠AC'O'或其补角，因为AC'==2，AO'==2，O'C'=2， 所以异面直线AC'与OC夹角的正切值为tan ∠AC'O'==. 29 (2)(2025·云南红河·三模)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，AB=PA=2，若四棱锥P-ABCD的外接球半径为2，则AE与BC所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. B [解析] 设AD=m，如图所示，将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-PB1C1D1， 则四棱锥P-ABCD的外接球半径等于长方体的外接球半径， 因为AD=m，AB=PA=2，即R==2，所以m=2. 30 又BC∥AD，所以AE与BC所成的角即为∠EAD或其补角， 由题意以及长方体结构特征知△PAC和△PDC均为直角三角形， 所以AE=ED=PC=2，AD=2， 所以cos∠EAD===. 可知AE与BC所成的角为，所以AE与BC所成的角的正弦值为.故选B. 31 (3)(2025·甘肃·模拟预测)(多选)如图，在直三棱柱ABC-DEF中，AD=AB=BC=2，AB⊥BC，M为AD的中点，则(　　) A.ME⊥EC B.三棱锥F-MEC的体积为 C.直线ME与AC所成角的余弦值为 D.三棱锥E-ABC的外接球的表面积为4π BC 32 [解析] 对于A，如图，设N，G分别为EB，FC的中点，连接MN，MG，EG，AF. 在直三棱柱ABC-DEF中，有MD⊥DE，CF⊥EF，AM⊥AC. 因为AD=AB=BC=2，M为AD的中点， 所以ME2=MD2+DE2=5，CE2=BE2+BC2=8.又AB⊥BC， 所以AC2=AB2+BC2=8，MC2=MA2+AC2=9，则ME2+CE2≠MC2， 从而ME与EC不垂直， 故A错误. 33 对于B，易得MN⊥平面EFC， 则==S△EFC·MN=××2×2×2=，故B正确. 对于C，易知MG∥AC，则ME与AC所成的角为∠EMG， 由MG2=AC2=8，EG2=EF2+FG2=5， 得cos∠EMG==，故C正确. 34 对于D，易知三棱锥E-ABC的外接球即为直三棱柱ABC-DEF的外接球， 该外接球的直径为AF==2， 则三棱锥E-ABC的外接球的表面积为4π×=12π，故D错误. 故选BC. 35 [小结](1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移. (2)求异面直线所成的角的“三步曲”:即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线、平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解. 36 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与OB所成角的正弦值为　　　　　.  [解析] 连接AC，BD交于点O1，连接D1O1， 易知D1O1∥OB， 所以异面直线AD1与OB所成的角即∠AD1O1， 在△AD1C中，由AD1=CD1，所以D1O1⊥AC， 在Rt△AD1O1中，AD1=，AO1=， 所以sin∠AD1O1==÷=. 对应训练 37 6.(2025·辽宁辽阳·一模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，且∠A1AC=60°，D，E，F分别为A1C1，A1B1，BC的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. D 38 [解析] 连接CD，DE，如下图所示: 因为D，E分别为A1C1，A1B1的中点，所以， DE∥B1C1且DE=B1C1， 因为BB1∥CC1且BB1=CC1，所以，四边形BB1C1C为平行四边形， 所以，BC∥B1C1且BC=B1C1，因为F为BC的中点，所以，CF∥DE且CF=BC=B1C1=DE， 所以，四边形CDEF为平行四边形，则EF∥CD， 故异面直线AD和EF所成角等于∠ADC或其补角， 39 在菱形AA1C1C中，AA1=2，A1D=1，∠AA1D=120°， 由余弦定理可得AD= ==， 在△CC1D中，CC1=2，C1D=1，∠CC1D=60°， 由余弦定理可得CD= ==， 40 在△ACD中，AC=2，CD=，AD=， 所以AC2+CD2=AD2，故AC⊥CD， 所以，cos∠ADC===. 因此，异面直线AD和EF所成角的余弦值为.故选D. 41 7.(2025·北京·模拟预测)(多选)在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，CD=CC1=，P为线段B1C上动点，E，F分别为A1D1和BC的中点，则下列说法正确的是(　　 ) A.若=λ，则经过P，E，F三点的平面截直棱柱所得的截 面为四边形 B.直线B1C与A1C1所成角的余弦值为 C.三棱锥P-A1DC1的体积为定值 D.A1P+BP的最小值为 BCD 42 [解析] 对于A，如图: 直线FP交直线CC1于K，设=k. 因为=λ=λ(+)=2λ+， 因为F，P，K三点共线，所以2λ+=1⇒k=， 因为0<λ<，所以0<k<1. 所以点K在线段CC1上. 设射线FK与射线B1C1交于点M，连接EM交C1D1于点L. 在线段A1A上取点I，使A1I=CK;在线段AB上取点J，使AJ=C1L. 43 依次连接F，K，L，E，I，J，可得经过P，E，F三点的直棱柱的截面，可见截面不是四边形，故A错误; 对于B，如图: 因为A1C1∥AC，所以∠B1CA即为异面直线B1C与A1C1所成的角，设为θ. 在△AB1C中，B1A=B1C=2，AC=，所以cos θ= = ，故B正确; 对于C，易知平面A1C1D∥平面ACB1，B1C⊂平面ACB1，所以B1C∥平面A1C1D. 44 点P∈B1C，所以P到平面A1C1D的距离为定值，所以三棱锥P-A1DC1的体积为定值，故C正确; 对于D，如图:将△BCB1绕B1C旋转， 使A1，B1，B，C，D共面，则A1B≤A1P+BP. 过B作BH与直线A1B1垂直，垂足为H. 在△BB1C中，BB1=1，B1C=2，∠B1BC=90°， 所以∠BB1C=60°，B1H=，BH=， 所以A1B==，故D正确. 故选BCD. 45 $