第54讲 二项分布、超几何分布与正态分布——2027届高三数学一轮复习课件

该高中数学高考复习课件聚焦“二项分布、超几何分布与正态分布”核心考点，依据课标要求系统梳理伯努利试验、分布定义、数字特征及实际应用，通过概念辨析（如基础检测第1题）、教材改编题（如题目2、3）巩固基础，分考点归纳n重伯努利试验、分布列计算等常考题型，对接高考评价体系，明确高频考点权重，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题与模拟题深度融合，如2025浙江义乌三模例2分析二项分布的分布列及期望，2025江西萍乡三模例6结合正态分布性质求概率区间，培养学生的数学思维（逻辑推理）和数学语言（数据表达）素养。通过“情境建模—概率计算—结果分析”步骤指导，帮助学生掌握分布列书写、期望方差计算技巧，易错点分析（如超几何与二项分布区别）助力规避错误，教师可据此系统开展专题复习，提升学生应试能力。

第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第54讲 二项分布、超几何分布与正态分布 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题. 2.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征. 4.了解正态分布的均值、方差及其含义. 2 【知识要点】 1.两点分布 (1)定义:对于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X=如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如下表所示， X 0 1 P 1-p p 称随机变量X服从两点分布或0-1分布. (2)均值与方差 若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)=p，D(X)=p(1-p). 3 2.n重伯努利试验 (1)定义:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)共同特征: ①同一个伯努利试验重复做n次; ②各次试验的结果相互独立. 4 3.二项分布 (1)定义:一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X=k)=  (k=0，1，2，…，n)，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).  (2)均值与方差:若X服从参数为n，p的二项分布，即X~B(n，p)，则E(X)=np，D(X)=np(1-p). (3)推论:由二项式定理可以得到 pk(1-p)n-k=[p+(1-p)]n=1. pk(1-p)n-k 5 4.超几何分布 定义:一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{M，n}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，则E(X)=. 6 5.正态分布 (1)正态曲线:刻画随机误差分布的解析式f(x)=·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，函数f(x)的图象为　 　，简称正态曲线.  正态密度曲线 7 (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线　 　对称;  ②曲线在　 　处达到峰值;  ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴; ④曲线与x轴围成的面积为1. x=μ x=μ 8 ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移(如图a所示);当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，说明标准差　 　，数据的集中程度　 　，所以曲线越“胖”;σ越小，说明标准差　 　，数据的集中程度　 　，所以曲线越“瘦”.如图b所示.  越大 越小 越弱 越强 9 (3)正态分布的定义及表示 ①定义:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=·，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ，σ2)，特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. ②3σ原则 正态分布在三个特殊区间内的概率值:如果X~N(μ，σ2)， 那么P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈　 ，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈　 　，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ) ≈　 　.  在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为“3σ原则”. 68.27% 95.45% 99.73% 10 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若X~B(n，p)，则E(X)=p，D(X)=p(1-p).(　　) (2)若随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{M，n}，则E(X)=.(　　) × √ 11 (3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.(　　) (4)正态密度曲线与x轴之间的区域的面积为1.(　　) (5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差.(　　) √ √ √ 12 2.[选择性必修3p87T2]某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80，102)，则理论上在80分到90分的人数约是(注:如果X~N(μ，σ2)，那么P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.27%)(　　) A.32 B.16 C.8 D.20 B [解析] 因为数学成绩近似地服从正态分布N(80，102)，所以P(|x-80|≤10)≈0.6827.根据正态密度曲线的对称性可知，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，所以理论上在80分到90分的人数是×0.6827×48≈16. 教材改编 13 3.[选择性必修3p76T1]已知X~B(20，p)，且E(X)=6，则D(X)=(　　) A.1.8 B.6 C.2.1 D.4.2 D [解析] 因为X服从二项分布X~B(20，p)， 所以E(X)=20p=6，得p=0.3， 故D(X)=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2. 14 4.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X=1)=　　　　.  [解析] 由题意得，P(X=1)==. 15 5.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.6.设Y=3X-2，那么P(Y=-2)=　　　　.  0.4 [解析] 当Y=-2时，由3X-2=-2⇒X=0， 所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4. 16 考点1 重伯努利试验与二项分布 角度1.n重伯努利试验 例1　某高中举办诗词知识竞赛答题活动，参赛选手从A类5道题中任选3道进行答题，直到答完为止.某班小张同学A类每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响.则小张同学至少答对2道题的概率为　　　　.  [解析] 由题意可知，小张同学至少答对2道题的概率为P=·×+=+=. 17 [小结]在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率. 18 角度2.二项分布 例2　(2025·浙江省金华市义乌市·三模)某手机厂对屏幕进行两项独立检测:亮度检测通过率，色准检测通过率.产品需通过两项检测才算合格.随机抽取3件产品，设合格品数为X. (1)求单件产品为合格品的概率; (2)随机抽取3件产品，设合格品数为X，求随机变量X的分布列及数学期望; (3)已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改进? 19 (1)求单件产品为合格品的概率; [解析] (1)设合格的概率为P，则P=P(亮度通过)×P(色准通过)=0.875×0.8=0.7. 20 (2)随机抽取3件产品，设合格品数为X，求随机变量X的分布列及数学期望; [解析](2)X=0，1，2，3，易知X~B(3，0.7)， P(X=0)=×0.70×0.33=1×1×0.027=0.027， P(X=1)=×0.71×0.32=3×0.7×0.09=0.189， P(X=2)=×0.72×0.31=3×0.49×0.3=0.441， P(X=3)=×0.73×0.30=1×0.343×1=0.343， 所以X的分布列为: X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 数学期望E(X)=n×p=3×0.7=2.1. 21 (3)已知合格品利润100元/件，若改进工艺能使亮度检测通过率提升至，但每件成本增加1元.是否值得改进? [解析](3)改进前:每件产品的合格概率p=0.7， 对于3件产品，期望合格数E(X)=2.1. 总期望利润=E(X)×100=2.1×100=210元. 改进后:每件产品的合格概率p'=0.72，对于3件产品，新的期望合格数E(X')=3×0.72=2.16.总期望利润=E(X')×100=2.16×100=216元. 净期望利润=216-3=213元. 改进前的期望利润是210元，改进后是213元，改进后利润增加了3元， 因此，值得改进. 22 [小结](1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中该事件发生的概率都是一样的. (2)二项分布满足的条件: ①在每次试验中，事件发生的概率都是相同的; ②各次试验中的事件是相互独立的; ③每次试验只有两种结果，事件要么发生，要么不发生. ④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数. 23 1.下列试验是n重伯努利试验的是(　　) A.依次投掷四枚质地不同的硬币 B.某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次 C.口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中不放回地抽取5个球 D.小明做10道难度不同的数学单选题 B [解析] A.由于试验的条件不同(硬币质地不同)，因此不是n重伯努利试验. B.某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验. C.每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验. D.10道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是n重伯努利试验. 故选B. 对应训练 24 2.经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为随机变量X，则以下结论正确的是(　　) A.X的可能取值为1，2，3，4，5 B.P(X=2)= C.X=3的概率最大 D.X服从超几何分布 C [解析] 对于A，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误; 对于BD，由题意，随机变量X~B， 所以P(X=2)=，故BD错误; 25 对于C，随机变量X~B，∴P(X=k)=··，若P(X=k)取得最大值时，则 即 则 解得2.6≤k≤3.6，k∈N*，则k=3.故X=3的概率最大，所以C正确.故选C. 26 3.(2025高三·重庆·阶段考)某工厂的生产线上的产品按质量分为:一等品、二等品、三等品.质检员每次从生产线上任取2件产品进行抽检，若抽检出现三等品或2件都是二等品，则需要调整设备，否则不需要调整.已知该工厂某一条生产线上生产的产品每件为一等品、二等品、三等品的概率分别为0.9，0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响. (1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率; (2)若质检员一天抽检3次，以X表示一天中需要调整设备的次数，求X的分布列和数学期望与方差. 27 (1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率; [解析] (1)设Ai表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为一等品”，i=1，2， Bi表示事件“在一次抽检中抽到的第i件产品为二等品”，i=1，2， C表示事件“一次抽检后，设备不需要调整”，则C=A1·A2+A1·B2+B1·A2. 由已知P(Ai)=0.9，P(Bi)=0.05，i=1，2， ∴所求的概率为P(C)=P(A1·A2)+P(A1·B2)+P(B1·A2)=0.92+2×0.9×0.05=0.9. 28 (2)若质检员一天抽检3次，以X表示一天中需要调整设备的次数，求X的分布列和数学期望与方差. [解析] (2)依题意有:随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 由(1)知一次抽检后，设备需要调整的概率为p=P()=1-0.9=0.1， 依题意知X~B(3，0.1)， 则P(X=k)=×0.1k×0.93-k，k=0，1，2，3， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001 所以E(X)=np=3×0.1=0.3.D(X)=np(1-p)=3×0.1×0.9=0.27. 29 考点2 超几何分布 角度1.超几何分布及概率计算 例3　(1)(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　 ) A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，取到的次品数X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，所取的2台彩电中甲型彩电的台数X C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，此学生遇到红灯的次数X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数X ABD [解析] 依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取n次，A，B，D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.故选ABD. 30 (2)某竞赛小组共有13人，其中有6名女生，现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动，用ξ表示这5人中女生的人数，则下列概率中等于的是(　　) A.P(ξ=1) B.P(ξ≤1) C.P(1≤ξ≤3) D.P(ξ≤2) D [解析] P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=.故选D. 31 角度2.超几何分布的分布列 例4　甲、乙两位同学到校学生会竞聘同一岗位，进入最后面试环节.具体面试方案如下:甲、乙各自从5个问题中随机抽取3个问题，已知这5个问题中，甲能正确回答其中3个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙对每个问题的回答都相互独立，互不影响. (1)设甲答对的问题个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差; (2)请从数学期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学，哪位同学竞聘成功的可能性更大? 32 (1)设甲答对的问题个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差; [解析] 由题意可知X的所有可能取值为1，2，3，则 P(X=1)==，P(X=2)===，P(X=3)==， 则X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)=1×+2×+3×=， D(X)=×+×+×=， 33 (2)请从数学期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学，哪位同学竞聘成功的可能性更大? [解析](2)设乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， 由题意可知Y~B，则E(Y)=3×=， D(Y)=3××=， 因为E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)， 所以甲的方差小，甲比较稳定， 所以甲同学竞聘成功的可能性更大. 34 [小结](1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是: ①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布. (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其本质是古典概型. 35 4.袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的概率为　　　　.(结果用最简分数表示)  [解析] 由题，不放回地摸5个球，摸出至少3个白球，即白球数量为3，4，5， 则概率为P====. 对应训练 36 5.袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m-n=　　　　　，E(ξ)=　　　　　.  1 [解析] P(ξ=2)===⇒=36，所以m+n+4=9， P(一红一黄)====⇒m=3， 所以n=2，则m-n=1. 由于P(ξ=2)=，P(ξ=1)===，P(ξ=0)===， ∴E(ξ)=×2+×1+×0=+=. 37 6.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率; (2)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差. 38 (1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率; [解析] (1)记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为A，它是“甲、乙各答对1道题”与“甲答对2题乙没答对题”的和事件，它们互斥， 则有P(A)=×+×=， 所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是. 39 (2)设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差. [解析] (2)设甲公司答对题数为X，则X的取值分别为1，2，3， P(X=1)==，P(X=2)==，P(X=3)==， 则X的分布列为 X 1 2 3 P 期望E(X)=1×+2×+3×=2，方差D(X)=(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×=. 40 考点3 正态分布 角度1.正态分布的性质 例5　(1)已知随机变量X~N(μ1，)，Y~N(μ2，)，它们的分布密度曲线如下图所示，则下列说法中正确的是(　　) A.μ1<μ2，< B.μ1<μ2，> C.μ1>μ2，< D.μ1>μ2，> B [解析] 由图可得随机变量X的均值比随机变量Y的均值小，则μ1<μ2.又由图得，随机变量X的分布比随机变量Y的分布更加分散，则>.故选B. 41 (2)(多选)若随机变量X~N(μ，σ2)，则(　 　) A.X的密度曲线与y轴只有一个交点 B.X的密度曲线关于x=σ对称 C.2P(X>μ+3σ)=P(|X-μ|>3σ) D.若Y=，则E(Y)=0，D(Y)=1 ACD [解析] 若X~N(μ，σ2)，则其密度函数f(x)=，因此X的密度曲线与y轴只 有一个交点，故A正确;X的密度曲线关于直线x=μ对称，故B错误; P(|X-μ|>3σ)=P(X<μ-3σ)+P(X>μ+3σ)=2P(X>μ+3σ)，故C正确;E(Y)==0，D(Y)=D(X)=1，故D正确.故选ACD. 42 [小结]利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化. 43 角度2.正态分布的应用 例6　(2025年江西省萍乡市三模)某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分:获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. (1)求P(55<X<70); (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附:正态密度函数f(x)=，其中μ为均值，σ为标准差. P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545，P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9973. 44 (1)求P(55<X<70); [解析] (1)由于f(x)=≤f(μ)=，所以σ=15，所以X~N(100，152). 那么P(55<X<70)=P(55<X<145)-P(70<X<130)==0.0214. 45 (2)记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附:正态密度函数f(x)=，其中μ为均值，σ为标准差. P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.9545，P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9973. [解析] (2)依题意，Z的所有可能取值为2，3，4，5，6. P(Z=2)==， P(Z=3)=2××=， P(Z=4)=+2××=， 46 P(Z=5)=2××=， P(Z=6)==. 所以Z的分布列为 Z 2 3 4 5 6 P 期望E(Z)=2×+3×+4×+5×+6×=3.4. 47 [小结](1)利用正态分布求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与参数μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称.注意下面两个结论的活用:P(X<a)=1-P(X≥a);P(X<μ-a)=P(X>μ+a). 48 7.(2025·天津)(多选)下列说法中正确的是(　 　) A.若X~N(μ，σ2)，则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ) B.若X~N(1，22)，Y~N(2，22)，则P(X<1)<P(Y<2) C.|r|越接近1，相关性越强 D.|r|越接近0，相关性越弱 ACD [解析] 对于A:根据正态分布对称性可知，P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ)，故A正确; 对于B:根据正态分布对称性可知，P(X<1)=P(Y<2)=0.5，故B错误; 对于C，D:相关系数|r|越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C，D正确. 故选ACD. 对应训练 49 8.某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差(零件质量与标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表: 质量差(单位:mg) 54 57 60 63 66 件数(单位:件) 5 21 46 25 3 (1)求样本的平均数;假设零件的质量差X~N(μ，σ2)，其中σ2=16，用作为μ的近似值，求P的值; (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. (ⅰ)求抽取的零件为废品的概率; (ⅱ)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据:若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. 50 (1)求样本的平均数;假设零件的质量差X~N(μ，σ2)，其中σ2=16，用作为μ的近似值，求P的值; [解析] (1)由题意可知=×(54×5+57×21+60×46+63×25+66×3)=60， 则X~N(60，16)， 所以P(56<X<68)=P(60-4<X<60+4×2) =P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈×0.6827+×0.9545=0.8186. 51 (2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. (ⅰ)求抽取的零件为废品的概率; [解析] (2)(ⅰ)设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的零件为废品”， 事件B1表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， 事件B2表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则P(B1)=，P(B2)=，P(A|B1)=0.016，P(A|B2)=0.012， 所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×0.016+×0.012=0.015. 52 (ⅱ)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据:若随机变量X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973. [解析] (ⅱ)因为P(AB1)=P(A|B1)P(B1)=0.016×=0.012， 所以P(B1|A)===0.8. 53 $