第八章 立体几何初步 专题复习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学立体几何章节复习讲义通过分节梳理构建知识体系，涵盖基本立体图形、直观图、表面积与体积、空间点线面位置关系及平行垂直等核心内容，以典型例题夯实基础，重难题型突破深化理解，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向，基础题如棱锥性质判断、斜二测画法应用培养空间观念，难题如组合体截面问题、球的外接综合题提升推理能力，支持不同层次学生自主复习，助力教师实施精准教学。

珠海市麒麟中学第八章立体几何章节复习 8.1 基本立体图形 题型1：基本立体图形的判断与性质 1.下列几何体中是棱锥的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】由棱锥的定义可得，只有几何体⑤、⑥为棱锥.故选：C. 2.给出下列命题： ①长方体是四棱柱；②直四棱柱是长方体；③底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥； ④延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．则正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【详解】对于①：长方体满足有两个面互相平行且全等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，故长方体是四棱柱，故①正确；对于②：如果直四棱柱的底面不是矩形，则这样的直四棱柱不是长方体，故②错误；对于③：如果棱锥的底面是正多边形，但顶点在底面的射影不是底面的中心，这样的棱锥不是正棱锥，故③错误；对于④：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面与底面之间的部分为棱台，故延长一个棱台的各条侧棱，它们必相交于一点，故④正确；故选：AD 题型2：球的截面与组合体问题 1.长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为 ． 【答案】 【解析】设长方体从顶点B出发的三条棱长分别为，且，，，则，，，所以长方体中线段的长等于.故答案为：. 题型3：几何体表面最短路径 1.如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 . 【答案】 【详解】 如图，若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为； 若小虫爬行路线经过棱，则最短路程为. 综上所述，小虫走过的最短路线的长为.故答案为：. 重难题型突破 突破1：复杂组合体的截面问题 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示； 当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状； 故选：D. 突破2：棱锥侧面最短路径 如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将正三棱锥沿剪开，得到侧面展开图，如图所示，因为，即，由的周长为，要使的周长的最小，则共线，即，又由正三棱锥侧棱长为，是等边三角形，所以，即虫子爬行的最短距离是.故选：B. 8.2 立体图形的直观图 典型例题 题型：斜二测画法的应用 1．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【详解】如图，由直观图画法规则，可得是一个直角三角形，直角边，， ∴.故选：D. 2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为 ．    【答案】 【详解】解：根据题意，斜二测直观图是边长为1的正方形如图1所示，其中，， 根据斜二测画法规则，还原为如图2所示的原图，其中，，，所以原图形的面积为.故答案为：.      重难题型突破 突破：斜二测画法与原图的互化综合 例：如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】D 【详解】如图过作，由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即，即B错误； 还原平面图为下图，即，即A错误； 过C作，由勾股定理得，故四边形ABCD的周长为：，即C错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确.故选：D. 8.3 简单几何体的表面积与体积 四、典型例题 题型1：多面体的表面积计算 例1 若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（　　） A．12 B．48 C．64 D．72 【答案】D 【解析】正六棱柱的侧面是6个全等的矩形，每个矩形的长为底面正六边形的边长（3），宽为侧棱长（4），侧面积 ，故选D。 例2 已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】D 【解析】正四棱锥的侧面是4个全等的等腰三角形，斜高 （侧棱长为腰，底面边长的一半为底边的一半），单个侧面面积 ，侧面积 ，故选D。 题型2：旋转体的表面积与体积计算 例3已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　） A．12π B．12π C．8π D．10π 【答案】B 【解析】截面是正方形，故圆柱的高 （底面直径 = 高），截面面积 ，解得 ，圆柱表面积 ，故选B。 例4正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　） A．48 B．64 C．16 D．96 【答案】B 【解析】设正方体棱长为 ，则 ，解得 ，体积 ，故选B。 题型3：组合体的体积计算 例5学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O ­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 【答案】118.8 【解析】由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12 ＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)． 题型4：球的表面积与体积计算 例6球的体积是 ，则此球的表面积是（　　） A．12π B．16π C． D． 【答案】16π 【解析】设球的半径为 ，由 ，解得 ，表面积 ，故选B。 五、重难题型突破 突破1：几何体表面最短路径与表面积综合 例 如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________． 【答案】. 【解析】将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝. 突破2：圆台与圆锥的综合体积计算 例 已知某圆台的上、下底面面积分别是 ，，侧面积是 ，则这个圆台的体积是________。 【答案】 【解析】设上底半径 ，下底半径 ，由侧面积 ，得母线长 ，圆台的高 ，体积 。 突破3：球的截面与外接几何体综合 例 已知球的两个平行截面的面积分别为 和 ，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（　　） A．4 B．3 C．2 D．0.5 【答案】B 【解析】设球半径为 ，两个截面圆半径分别为 ，，球心到截面的距离分别为 ，，由 ，解得 ，故选B。 突破4：实际问题——沙漏计时与体积综合 例 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是　　 A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒 【答案】AC 【解析】对于，设细沙在上部时，细沙的底面半径为，则，所以细沙的体积为，故正确； 对于，沙漏的体积，故错误； 对于，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，解得，故正确； 对于，该沙漏的一个沙时为：秒，故错误． 故选：． 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 典型例题 例1下列叙述中正确的是（    ） A．三点能确定一个平面 B．若点且，则 C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面 D．若点，且，则 【答案】BCD 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，不共线的三点确定一个平面，故A错误； 对于B，若点且，则由公理二知，故B正确； 对于C，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确； 对于D，若点，且，则由公理一知l⊂α，D正确. 故选：BCD． 典型例题 例2如图，正方体中，异面直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如上图，连接、，∵在正方体中，，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵，∴（或其补角）就是异面直线与所成角，设正方体棱长为1，则在正方形中对角线，在正方形中对角线，在正方形中对角线，∴是等边三角形，∴..故选：C. 例3如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于 A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，，，且，．为EF与AC所成的角．又，．又，，，为等腰直角三角形，，即EF与AC所成的角为45°．故选：B． 典型例题 例4已知点直线，又平面，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】点是直线与平面的公共点，若直线上还有其他点在内，则；若直线上只有在内，则，故选D。 典型例题 例5下列叙述中，正确的是（   ）． A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，，所以 D．因为，，所以 【答案】D 【详解】A：因为，所以，故A错误； B：因为，所以或，故B错误； C：因为，所以，故C错误； D：因为，所以，故D正确. 故选：D. 四、重难题型突破 突破1：异面直线夹角综合求解 在直棱柱中，，其中，点是的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连结，，，且，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角是或其补角， ，，，则，所以，所以异面直线与所成角的大小为.故选：A. 突破2：空间点、线、面共面与共线证明 直线上两点到平面的距离相等且均为5，直线与平面的关系可能为（    ） A．平行 B．直线在平面内 C．相交 D．以上三种情况都可能 【答案】AC 【详解】直线上两点到平面的距离相等且均为5，显然，BD错误； 当点在平面的同侧时，，A正确； 当点在平面的异侧时，直线与平面相交，C正确. 故选：AC 突破3：正方体展开图中位置关系判断 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C．与是异面直线 D．与所成的角为90° 【答案】BCD 【详解】还原之后如图所示： 选项A：显然与不平行，错误； 选项B：，，故，正确； 选项C：显然与异面，正确； 选项D：，，故，正确； 故选：BCD. 8.5 空间直线、平面的平行 + 8.6 空间直线、平面的垂直 典型例题 例1 空间两个角的两边分别平行，一个角为60°，则另一个角为（） A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° 【答案】D 【解析】由等角定理，两角相等或互补，故为60°或120°。 例2 能保证直线平面的条件是（） A. B. C. D. 内无数条直线 【答案】B 【解析】线面平行判定定理必须满足：线在面外、线在面内、线线平行。 例3在如图所示的正四棱柱中，分别是棱的中点，直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．异面 【答案】A 【详解】取的中点为，连，则，∵ 则，是平行四边形，所以，平面，平面 ∴平面.故选：A． 典型例题 例4 若直线平面，直线平面，则（） A. B. C. 相交 D. 不确定 【答案】B 【解析】由线面垂直性质：垂直于同一平面的两直线平行。 例5 下列能推出的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】。 例6已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．PB⊥BC B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 【答案】ABD 【详解】矩形，矩形，，故正确． 若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直， 故不正确，故不正确； 矩形，，，平面，，故正确； 矩形，由三垂线定理得，故正确； 重难题型突破 题型1：线面平行的证明（证线线平行） 例7 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.求证：平面. 【分析】取的中点，连接，证得，，得到四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】取的中点，连接， 在中，且，因为，且， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 题型2：面面垂直的证明（线面垂直法） 例8 如图，在三棱柱中，平面，，． 求证：平面平面； 【分析】根据，可证明为直角三角形，从而得出，再由，可以得出平面，从而得证. 【详解】由题意得平面，所以， 设，， 由，解得， 所以，所以， 因为，所以平面， 又平面，所以平面平面． 题型3：求线面角（高频） 已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 【分析】取的中点，连接，，可得（或其补角）为与所成的角，利用几何性质求解即可. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为点，分别是，的中点，所以，且；，且， 所以（或其补角）为与所成的角.所以（或其补角）为与所成的角. 因为直线与成角， 所以或. 又因为，所以， ①若，则是等边三角形，所以，即与所成的角为. ②若，则易知是等腰三角形.所以，即与所成的角为. 综上可知：与所成角为或. 题型4：求线面角（高频） 例10 如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 【分析】（1）由底面结合线面角定义即可求解； （2）由底面得到是与底面所成的角即可计算求解. 【详解】（1）因为底面，所以是与底面所成的角. 因为侧面是正方形，所以. 即与底面所成的角为. （2）如图，连接，则. 因为底面， 所以是与底面所成的角，同时. 在中，，，， 所以，即与底面所成角余弦值为. 题型5：求二面角（高频） 例11 如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 【分析】过点作于，连接，由条件证明是的中点，求得，利用三垂线定理证明，即得是二面角的平面角，借助于，即可求得其大小. 【详解】如图，过点作于，连接， 在正三棱柱中，平面，所以是在平面内的射影， 结合，可得，所以是二面角的平面角， 因为，所以是的中点，所以是的中位线， 所以，在中，， 所以，即二面角的大小为60°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市麒麟中学第八章知识点清单 8.1 基本立体图形 基本概念 1.空间几何体的定义：只考虑物体的形状和大小，不考虑其他因素，由物体抽象出来的空间图形，分为多面体和旋转体两类。 2.多面体的核心概念：由若干个平面多边形围成的几何体，组成要素包括： ￮面：围成多面体的各个多边形；￮棱：相邻两个面的公共边；￮顶点：棱与棱的公共点。 3.旋转体的核心概念：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线（轴） 旋转形成的封闭几何体。 4.常见基本立体图形的定义与性质 几何体 定义 图形 关键性质 棱柱 有两个面互相平行（底面），其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行 侧棱都相等；侧面都是平行四边形；直棱柱侧棱垂直底面，正棱柱底面为正多边形 棱锥 有一个面是多边形（底面），其余各面都是有一个公共顶点的三角形 正棱锥底面为正多边形，顶点与底面中心连线垂直底面；三棱锥又叫四面体 棱台 用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分 侧棱延长线交于一点；上下底面互相平行且相似 圆柱 以矩形的一边为轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体 底面为两个全等圆；母线平行且相等；轴垂直底面 圆锥 以直角三角形的一条直角边为轴，其余两边旋转形成的面围成的旋转体 底面为圆；母线交于顶点；轴垂直底面 圆台 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分 上下底面为两个相似圆；母线延长线交于一点 球 以半圆的直径为轴，半圆面旋转一周形成的几何体 球心到球面上任意点的距离（半径）相等；截面为圆，球心到截面距离d、截面半径r、球半径R满足 5.简单组合体：由简单几何体拼接或截去/挖去一部分而成。 8.2 立体图形的直观图 基本概念 1.直观图的定义：用来表示空间几何体的平面图形，常用斜二测画法绘制。 2.斜二测画法的核心规则（水平放置的平面图形） ￮画轴：建立，使（或）； ￮画线：平行于原轴的线段，在直观图中平行于轴，长度不变；平行于原轴的线段，在直观图中平行于轴，长度为原来的一半； ￮成图：连接线段，擦去辅助线。 3.面积关系：设原平面图形面积为，直观图面积为，则（或）。 8.3 简单几何体的表面积与体积 一、基本概念与公式 1. 表面积相关核心定义与公式 （1）多面体的表面积 •定义：多面体的表面积 = 所有面的面积之和（底面面积 + 侧面面积），即 。 •常见多面体表面积公式： 几何体 表面积公式 关键说明 长方体 （ 为长、宽、高） 6个矩形面面积之和 正方体 （ 为棱长） 6个正方形面面积之和 直棱柱 （ 为底面周长， 为高） 侧面展开图是矩形，面积 = 底面周长×侧棱长（直棱柱侧棱长 = 高） 正棱锥 （ 为斜高） 侧面展开图是全等的等腰三角形，单个侧面面积 = 正棱台 侧面展开图是全等的等腰梯形，单个侧面面积 = （2）旋转体的表面积 •常见旋转体表面积公式： 几何体 表面积公式 关键说明 圆柱 （为底面半径，为高） 侧面展开图是矩形，面积 = 圆锥 （ 为母线长，） 侧面展开图是扇形，面积 = （扇形弧长 = 底面圆周长 ） 圆台 （ 为上下底半径， 为母线长） 侧面展开图是扇环，面积 = 球 （ 为球的半径） 球面面积 = 4倍大圆面积（大圆：过球心的截面圆） 2. 体积相关核心定义与公式 （1）多面体的体积 •定义：体积是几何体所占空间的大小， 核心原理：柱体体积 = 底面积×高，锥体体积 = 。 •常见多面体体积公式： 几何体 体积公式 关键说明 长方体 （为长、宽、高） 底面积×高（任意一面均可作为底面） 正方体 （为棱长） 底面积×高（棱长×棱长×棱长） 棱柱（直/斜） (为两底面间的垂直距离，即高) 斜棱柱体积 = 直截面面积×侧棱长，本质仍为“底面积×高” 棱锥 (为顶点到底面的垂直距离) 同底同高的棱柱体积是棱锥体积的3倍 棱台 由棱锥截得，高为两底面间的垂直距离 （2）旋转体的体积 •常见旋转体体积公式： 几何体 体积公式 关键说明 圆柱 （ 为底面半径， 为高） 底面积×高（圆的面积 ） 圆锥 （ 为底面半径， 为高） 同底同高的圆柱体积是圆锥体积的3倍 圆台 为上下底半径，为高) 由圆锥截得，高为两底面间的垂直距离 球 （ 为球的半径） 球体体积与半径的立方成正比 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 1. 平面的基本概念与性质 （1）平面的定义与特征 • 定义：平面是从实际物体（如课桌面、黑板面）中抽象出来的无限延展的几何图形，没有厚薄、大小之分。 • 核心特征：①平的；②无限延展；③无厚薄、无边界。 • 空间作用：一个平面可将空间分成两部分。 （2）平面的基本事实（公理） 基本事实 内容 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（即不共线三点确定一个平面） 确定平面的依据；证明点、线共面 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 判定直线在平面内的依据 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（交线） 判定两个平面相交的依据；证明点在直线上（交线） （3）三个推论（平面基本事实的延伸） • 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 • 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 • 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 2. 空间中直线与直线的位置关系 （1）位置关系分类（按共面性和公共点） 位置关系 共面情况 公共点个数 示例（正方体） 相交直线 共面（同一平面内） 有且只有一个 与（交于） 平行直线 共面（同一平面内） 无 与 异面直线 不同在任何一个平面内 无 与 （2）异面直线的核心概念 • 定义：不同在任何一个平面内的两条直线（既不平行也不相交）。 • 异面直线所成的角： a. 定义：经过空间任一点，分别作直线、，与所成的锐角（或直角） 叫做异面直线与所成的角。 b. 取值范围：（时，称两异面直线垂直，记作）。 c. 求法：“平移法”——通过平移将异面直线转化为相交直线，构造三角形求解。 3. 空间中直线与平面的位置关系 （1）位置关系分类（按公共点个数） 位置关系 公共点个数 定义 符号表示 直线在平面内 无数个 直线上所有点都在平面内 直线与平面相交 有且只有一个 直线与平面有且仅有一个公共点（交点） 直线与平面平行 无 直线与平面没有公共点 注：直线与平面相交或平行的情况统称为“直线在平面外”，符号表示为。 4. 空间中平面与平面的位置关系 （1）位置关系分类（按公共点情况） 位置关系 公共点情况 定义 符号表示 两个平面平行 无 两个平面没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 两个平面有且只有一条公共直线（交线） 8.5 空间直线、平面的平行 + 8.6 空间直线、平面的垂直 知识清单 8.5 空间直线、平面的平行 基本定理 1. 基本事实4（平行传递性） • 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号： 2. 等角定理 空间中若两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补。 3. 线面平行 • 判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则线面平行。 符号：l • 性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 符号： 4. 面面平行 • 判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则面面平行。 符号： • 性质定理：两个平行平面同时与第三个平面相交，交线平行。 符号： 8.6 空间直线、平面的垂直 基本概念与定理 1. 异面直线所成的角 • 定义：已知两条异面直线、，经过空间任意一点，分别作直线、，则相交直线与所成的锐角（或直角），叫做异面直线与所成的角（或夹角）。 • 本质：通过“平移法”将异面直线转化为相交直线，利用相交直线的夹角定义异面直线的夹角（平移不改变角的大小）。 • 异面直线垂直 所成角为90°，记作（注意：垂直不一定相交）。 • 角的范围：（因为夹角取锐角或直角，故大于0°、不超过90°）。 • 求异面直线所成角的步骤（万能四步法） ① 选点：在空间中任选一个方便计算的点（通常选线段中点、端点或公共点）； ② 平移：过该点分别作两条异面直线的平行线，得到相交直线； ③ 找角：相交直线所成的锐角（或直角）即为异面直线所成的角； ④计算：在含该角的三角形中（通常是直角三角形或等腰三角形），利用勾股定理、三角函数或余弦定理求解。 2. 线面垂直 • 定义：直线垂直于平面内任意一条直线。 • 判定定理：一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直。 符号： • 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： 3. 直线与平面所成的角 • 核心定义 斜线：一条直线和平面相交但不垂直，这条直线叫平面的斜线。 斜足：斜线与平面的交点。 射影：过斜线上斜足外一点向平面作垂线，垂足与斜足的连线叫斜线在平面上的射影。 线面角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线与平面所成的角。 • 规定（统一范围） 直线⊥平面 ⇒ 线面角 = 90° 直线∥平面 或 直线⊂平面 ⇒ 线面角 = 0° 斜线与平面 ⇒ 线面角 ∈ (0°，90°) • 线面角范围 • 求线面角的步骤（万能三步法） ① 找垂直：找直线上一点向平面作垂线，得垂足。 ② 连射影：连接斜足与垂足，得到射影。 ③ 算角度：斜线与射影的锐角即为线面角，在直角三角形中求解。 4. 面面垂直 • 定义：二面角为直二面角。 • 判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则面面垂直。 符号： • 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一平面。 符号： 5. 二面角（面面角） • 核心定义 半平面：平面内一条直线把平面分成两部分，每一部分叫半平面。 二面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角。 棱：这条公共直线叫二面角的棱。 面：两个半平面叫二面角的面。 • 二面角的平面角（最关键） 定义：在二面角的棱上任取一点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 要求：①顶点在棱上②两边分别在两个面内③两边都垂直于棱 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角（此时面面垂直）。 • 二面角范围 6. 三类角对比 角的类型 定义关键词 范围 异面直线所成角 平移后相交成锐角/直角 直线与平面所成角 斜线与射影成锐角 二面角 垂直于棱的平面角 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市麒麟中学第八章立体几何章节复习 8.1 基本立体图形 典型例题 题型1：基本立体图形的判断与性质 1.下列几何体中是棱锥的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.给出下列命题： ①长方体是四棱柱；②直四棱柱是长方体；③底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥； ④延长一个棱台的各条侧棱，它们相交于一点．则正确的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 题型3：几何体表面最短路径 1.如图，在长方体中，，一小虫从顶点出发沿长方体的表面爬到顶点，则小虫走过的最短路线的长为 . 重难题型突破 突破1：复杂组合体的截面问题 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ） A．（2）（5） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（1）（5） 突破2：棱锥侧面最短路径 如图，正三棱锥中，，侧棱长为，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是 8.2 立体图形的直观图 典型例题 题型：斜二测画法的应用 1．如图，是水平放置的的直观图，则的面积是 2. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则原图面积为 ． 重难题型突破 突破：斜二测画法与原图的互化综合 例：如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形，已知，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 8.3 简单几何体的表面积与体积 典型例题 题型1：多面体的表面积计算 例1 若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则侧面积等于 例2 已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为 题型2：旋转体的表面积与体积计算 例3已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 题型3：组合体的体积计算 例5学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O ­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 题型4：球的表面积与体积计算 例6球的体积是 ，则此球的表面积是 五、重难题型突破 突破1：几何体表面最短路径与表面积综合 例 如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发， 围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________． 突破2：圆台与圆锥的综合体积计算 例 已知某圆台的上、下底面面积分别是 ，，侧面积是 ，则这个圆台的体积是________。 突破3：球的截面与外接几何体综合 例 已知球的两个平行截面的面积分别为 和 ，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是________ 突破4：实际问题——沙漏计时与体积综合 例 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是　　 A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 典型例题 例1下列叙述中正确的是（    ） A．三点能确定一个平面 B．若点且，则 C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面 D．若点，且，则 例2如图，正方体中，异面直线与所成角为 例3如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱， 的中点，则EF和AC所成的角等于 典型例题 例4已知点直线，又平面，则（    ） A． B． C． D．或 例5下列叙述中，正确的是（   ）． A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，，所以 D．因为，，所以 四、重难题型突破 突破1：异面直线夹角综合求解 在直棱柱中，，其中，点是的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 突破2：空间点、线、面共面与共线证明 直线上两点到平面的距离相等且均为5，直线与平面的关系可能为（    ） A．平行 B．直线在平面内 C．相交 D．以上三种情况都可能 突破3：正方体展开图中位置关系判断 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． B． C．与是异面直线 D．与所成的角为90° 8.5 空间直线、平面的平行 + 8.6 空间直线、平面的垂直 例1 空间两个角的两边分别平行，一个角为60°，则另一个角为（） A. 60° B. 120° C. 30° D. 60°或120° 例2 能保证直线平面的条件是（） A. B. C. D. 内无数条直线 例3在如图所示的正四棱柱中，分别是棱的中点，直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．异面 典型例题 例4 若直线平面，直线平面，则（） A. B. C. 相交 D. 不确定 例5 下列能推出的是（） A. B. C. D. 例7 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点.求证：平面. 题型2：面面垂直的证明（线面垂直法） 例8 如图，在三棱柱中，平面，，． 求证：平面平面； 题型3：求线面角（高频） 已知三棱锥中，，且直线与成角，点分别是，的中点，求直线和所成的角. 题型4：求线面角（高频） 例10 如图.已知正方体. (1)求与底面所成的角； (2)设正方体的棱长为a，求与底面所成的角的余弦值. 题型5：求二面角（高频） 例11 如图，正三棱柱的底面边长为3，侧棱，点是延长线上一点，且．求二面角的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $