第八章立体几何初步期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教版高一数学必修第二册 第八章 立体几何期末复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：空间线、面平行与垂直判定、性质命题判断 解题方法 1. 线线、线面、面面平行/垂直判定定理、性质定理辨析； 1. 借助正方体、长方体举反例快速排除错误命题； 1. 区分充分条件、必要条件。 知识点2：异面直线所成角（平移法求余弦值） 解题方法 1. 取中点作平行线，平移异面直线至相交； 1. 用余弦定理计算夹角余弦，夹角范围。 知识点3：旋转体结构与表面积（圆锥、圆台、旋转组合体） 解题方法 1. 直角三角形绕直角边/斜边旋转形成双圆锥； 1. 圆台侧面积：，只算侧曲面，不含上下底。 知识点4：棱台、圆台体积公式与实际测雨应用 解题方法 1. 台体体积：； 1. 降雨量=雨水体积÷容器上口水平面积； 1. 拟柱体万能体积公式：。 知识点5：棱锥、棱台、圆柱圆锥组合几何体体积与等积转换 解题方法 1. 挖去型几何体：总体积减去挖去部分体积； 1. 液体等体积转移：棱台水体积=棱柱水体积列方程； 1. 拆分组合多面体计算体积。 知识点6：旋转体内切球、外接球（棱锥/棱台/圆柱外接球） 解题方法 1. 圆台内切球：母线=上下底半径之和，高=球直径； 1. 多面体外接球：找底面外心，作垂线确定球心，勾股求半径； 1. 球表面积、体积。 知识点7：多面体截面、几何体识别 解题方法 1. 棱台截去一角剩余几何体类型判断； 1. 轴截面分析圆台、棱台边长、高、母线关系。 知识点8：立体几何多选综合（平行垂直、体积定值、线角、外接球） 解题方法 1. 逐一用判定定理验证平行垂直； 1. 定点动点棱锥：底面积、高不变则体积定值； 1. 结合正方体几何特征判断线线垂直、夹角。 知识点9：立体几何填空综合（台体、柱锥旋转体、外接球体积计算） 解题方法 1. 先求高/母线/底面外接圆半径； 1. 套体积、外接球半径公式计算求值。 二、分知识点对应习题 知识点1：空间线、面平行与垂直判定、性质命题判断 1. 已知，为不同的平面，m，n为不同的直线，则（ ）． A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2. 已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 5. 已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 7. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 8. 已知直线，与平面，，（互不相同），则能使的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，， 9. 已知平面和直线m，n，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 11. 已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则与平行或异面 12. （多选题）已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若与相交，则与相交 D. 若与相交，则与相交 知识点2：异面直线所成角（平移法求余弦值） 13. 在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 14. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 15. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 16. （多选题）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面，为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 知识点3：旋转体结构与表面积（圆锥、圆台、旋转组合体） 17. 将一个直角边长为的等腰直角三角形绕其斜边旋转一周，所形成几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 18. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 19. 一圆台的上下底面的半径分别为1和2，侧面积为，则其体积为（   ） A. B. C. D. 20. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图为半圆，则底面半径为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 21. 一个圆台上、下底面的半径分别为1，2，母线所在直线与轴的夹角为45°，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 知识点4：棱台、圆台体积公式与实际测雨应用 22. 对24小时内降落在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义： 积水厚度（mm） 0~10 10~25 25~50 50~100 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 23. 降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（ ） A. 29.6mm B. 46.3mm C. 63.5mm D. 82.2mm 24. 所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为h．“拟柱体”的统一体积公式为（其中L，M，N分别为的上底面面积、中截面（与上下底面平行且距离相等的截面）面积、下底面面积，如图．在多面体中，底面是边长为2的正方形，，，点E到底面的距离是2，则该多面体的体积为（ ）． A. 5 B. C. D. 6 25. 若正三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，则该棱台的体积为（ ） A B. 2 C. D. 26. 有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（ ） A. B. C. D. 知识点5：棱锥、棱台、圆柱圆锥组合几何体体积与等积转换 27. 如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为3，圆锥的高为4，若该几何模型的体积为60π，则其表面积为（ ） A. 48π B. 60π C. 72π D. 144π 28. 如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（ ） A. B. C. D. 29. 某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，，，均为正三角形，且他们所在的平面都与底面垂直，则该几何模型的体积为______ 立方厘米. 30. 已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为___________. 知识点6：旋转体内切球、外接球（棱锥/棱台/圆柱外接球） 31. 若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，其上、下底面半径分别为和，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 32 某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（ ） A B. C. D. 33. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（ ） 34. 在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 35. 建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上､下底面积分别为和，高超过，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 知识点7：多面体截面、几何体识别 36. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱 知识点8：立体几何多选综合（平行垂直、体积定值、线角、外接球） 37. （多选题）已知正四棱台的上、下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台（ ）． A. 上底面边长 B. 下底面边长 C. 高为2 D. 体积为 知识点9：立体几何填空综合（台体、柱锥旋转体、外接球体积计算） 38. 已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为________. 39. 已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________. 40. 已知圆台的上底面半径和母线长均为2，下底面半径为3，则圆台的体积为________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版高一数学必修第二册 第八章 立体几何期末复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：空间线、面平行与垂直判定、性质命题判断 解题方法 1. 线线、线面、面面平行/垂直判定定理、性质定理辨析； 1. 借助正方体、长方体举反例快速排除错误命题； 1. 区分充分条件、必要条件。 知识点2：异面直线所成角（平移法求余弦值） 解题方法 1. 取中点作平行线，平移异面直线至相交； 1. 用余弦定理计算夹角余弦，夹角范围。 知识点3：旋转体结构与表面积（圆锥、圆台、旋转组合体） 解题方法 1. 直角三角形绕直角边/斜边旋转形成双圆锥； 1. 圆台侧面积：，只算侧曲面，不含上下底。 知识点4：棱台、圆台体积公式与实际测雨应用 解题方法 1. 台体体积：； 1. 降雨量=雨水体积÷容器上口水平面积； 1. 拟柱体万能体积公式：。 知识点5：棱锥、棱台、圆柱圆锥组合几何体体积与等积转换 解题方法 1. 挖去型几何体：总体积减去挖去部分体积； 1. 液体等体积转移：棱台水体积=棱柱水体积列方程； 1. 拆分组合多面体计算体积。 知识点6：旋转体内切球、外接球（棱锥/棱台/圆柱外接球） 解题方法 1. 圆台内切球：母线=上下底半径之和，高=球直径； 1. 多面体外接球：找底面外心，作垂线确定球心，勾股求半径； 1. 球表面积、体积。 知识点7：多面体截面、几何体识别 解题方法 1. 棱台截去一角剩余几何体类型判断； 1. 轴截面分析圆台、棱台边长、高、母线关系。 知识点8：立体几何多选综合（平行垂直、体积定值、线角、外接球） 解题方法 1. 逐一用判定定理验证平行垂直； 1. 定点动点棱锥：底面积、高不变则体积定值； 1. 结合正方体几何特征判断线线垂直、夹角。 知识点9：立体几何填空综合（台体、柱锥旋转体、外接球体积计算） 解题方法 1. 先求高/母线/底面外接圆半径； 1. 套体积、外接球半径公式计算求值。 二、分知识点对应习题 知识点1：空间线、面平行与垂直判定、性质命题判断 1. 已知，为不同的平面，m，n为不同的直线，则（ ）． A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】对于A，若，，则相交、平行或异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C. 2. 已知为不同的平面，为不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】对A选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能相交， 故A选项不正确； 对B选项：如图所示， 由图可知，若，则还有可能 故B选项不正确； 由线面垂直的性质定理可知，若，则成立， 故C选项正确； 对D选项：如图所示， 若，则还有可能， 故D选项不正确； 故选：C. 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】对于A，若，，则，或，故A错误； 对于B，若，，则，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 4. 已知，，为两两不重合的平面，，，为两两不重合的直线，下列结论中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 【答案】D 【解析】 A选项，若，，则相交或，A错误； B选项，若，，则或相交或，B错误； C选项，若，，，，，此时推不出，C错误； D选项，如图，，，， 因为，，所以， 又，，所以，D正确. 故选：D 5. 已知是两条直线，是三个平面，则正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】对于A，若，则或异面，故A错误， 对于B，若，则或相交，故B错误， 对于C， 若，则，C正确， 对于D， 若，则或，故D错误， 故选：C 6. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】对于A：若，，则与可能平行、相交、异面，故A错误； 对于B：若，，则，又，则在平面存在直线使得， 所以，则，故B正确； 对于C：若，，，，当与相交时， 当与不相交（）时或与相交，故C错误； 对于D：若，，，则或，为异面直线或与相交或（相交垂直或异面垂直），故D错误. 故选：B 7. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则（ ） A. 若则 B. 若则 C. 若则 D. 若则 【答案】D 【解析】对于A，若则可能平行，也可能异面，A错误； 对于B，若则可能有，也可能有，B错误； 对于C，若则有可能是，也可能，C错误， 对于D，根据线面平行的性质定理可知若则，正确， 故选：D 8. 已知直线，与平面，，（互不相同），则能使的充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，， 【答案】B 【解析】对于A，若，，则平行或相交，故A错误； 对于B，若，则存在使得， 因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 对于C，若，则平行，故C错误； 对于D，若，，，则只能说明相交但不一定垂直，故D错误. 故选：B. 9. 已知平面和直线m，n，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】对于正方体， 对于选项A：例如∥平面，∥平面， 但，故A错误； 对于选项B：例如平面，， 但平面，故B错误； 对于选项C：例如∥平面，， 但∥平面，故C错误； 对于选项D：若，，由线面垂直的性质定理可知，故D正确； 故选：D. 10. 已知直线a，b，c是三条不同的直线，平面α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】若，则a，b可以平行，也可以是相交或异面，故A错误； 若，则或，故B错误； 若且，当时，不能证明，C选项错误； 若，且，在上取一点，作， 由面面垂直的性质定理可得且，既与重合，可得，故D正确. 故选：D 11. 已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则与平行或异面 【答案】D 【解析】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，，，当与相交时有， 当与不相交时，或与相交，故C错误； 对于D：若，，，则与平行或异面，故D正确. 故选：D 12. （多选题）已知空间中三条不同的直线，，和平面，且，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若与相交，则与相交 D. 若与相交，则与相交 【答案】AD 【解析】对A：因为，，则.故A成立； 对B：若，，则或.故B错误； 对C：若，与相交，则与相交或与异面，故C错误； 对D：若，与相交，则与相交.故D成立. 故选：AD 知识点2：异面直线所成角（平移法求余弦值） 13. 在正方体中，E，F分别是的中点，则直线AF与BE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】取的中点，连接， 因为，分别是的中点， 所以，， 在正方体中，∵ ∴，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 故为异面直线与所成角或其补角. 设正方体的棱长为2，分别是的中点， 由余弦定理得：， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 14. 已知正四棱锥的所有棱长均相等，则直线与其它经过该四棱锥的两个顶点的直线所成的角不可能为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】如图： 因为四棱锥是正四棱锥，且所有棱长均相等. 所以，故C可能成立； 在中，，，所以BD可能成立； 与其余的棱或对角线都不能成，故A不可能成立. 故选：A 15. 在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 取的中点，连接，设正方体棱长为， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，则为异面直线与所成角或其补角， 由 所以. 故选：B 16. （多选题）如图，在正方体中，为棱上的动点，平面，为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. D. 【答案】ABD 【解析】 对于A，在正方体中，连接，交于点，连接，则， 又平面，平面，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 因为为的中点，所以在的中垂线上， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面，为棱上的动点， 所以点到平面的距离即为到平面的距离， 即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，又， 所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C，连接， 在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以即为与所成的角， 又是正三角形，所以与所成的角为，故C错误； 连接，则， 又在正方体中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，故D正确 故选：ABD. 知识点3：旋转体结构与表面积（圆锥、圆台、旋转组合体） 17. 将一个直角边长为的等腰直角三角形绕其斜边旋转一周，所形成几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图等腰直角三角形，，则，取中点，连接，则，且， 将一个直角边长为的等腰直角三角形绕其斜边旋转一周， 所形成的几何体是由底面半径为，高为，母线长为的两个圆锥拼接而成， 所以所形成的几何体的表面积为. 故选：C 18. 已知圆台上下底面圆的半径分别为1，3，高为4，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由圆台上下底面圆的半径分别为高为， 可求得母线长为. 则 . 故选：D. 19. 一圆台的上下底面的半径分别为1和2，侧面积为，则其体积为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设该圆台的高为，母线长为，上下底面半径分别为， 圆台的侧面积，所以， 所以高， . 故选：B 20. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图为半圆，则底面半径为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为， 则侧面积，解得：. 故选：B. 21. 一个圆台上、下底面的半径分别为1，2，母线所在直线与轴的夹角为45°，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为，则， 由题意得，，所以该圆台的侧面积， 故选：C. 知识点4：棱台、圆台体积公式与实际测雨应用 22. 对24小时内降落在平地上的积水厚度（mm）进行如下定义： 积水厚度（mm） 0~10 10~25 25~50 50~100 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 小明用一个圆台形容器接了24小时的雨水，如图所示，则这一天的雨水属于哪个等级（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】C 【解析】由题意知降雨量是雨水体积除以容器口面积， 因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半， 且下底面半径是50mm，上底面半径是150mm， 可得圆台中雨水的上底面半径是mm， 所以雨水的厚度为 mm，是大雨. 故选：C． 23. 降水量是指降落在水平面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中把24小时内的降水量叫做日降水量.某学生用上口直径为20cm，底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶放置在水平地面上来测量日降水量.某次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，雨水的高度是桶深的，则本次降雨的日降水量是（ ） A. 29.6mm B. 46.3mm C. 63.5mm D. 82.2mm 【答案】A 【解析】如图所示，cm，cm，， 过点作⊥于点，则，cm， cm， 桶的深度为cm， 故雨水的高度为cm，由三角形相似知，cm， 故cm， 雨水的体积， 圆台型水桶的上口直径为20cm，面积为， 故本次降雨的日降水量是cm，故为29.6mm. 故选：A 24. 所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为h．“拟柱体”的统一体积公式为（其中L，M，N分别为的上底面面积、中截面（与上下底面平行且距离相等的截面）面积、下底面面积，如图．在多面体中，底面是边长为2的正方形，，，点E到底面的距离是2，则该多面体的体积为（ ）． A. 5 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】由题意得：，，， 分别取的中点，顺次连接，得到截面为中截面，且为长方形，边长为，， 所以， 所以. 故选：B. 25. 若正三棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，则该棱台的体积为（ ） A B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】依题意，该三棱台的上底面面积为， 下底面面积为， 故该棱台的体积为. 故选：C. 26. 有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因，而，设棱台的深度为， 由棱台的体积公式可得，，解得. 故选：B. 知识点5：棱锥、棱台、圆柱圆锥组合几何体体积与等积转换 27. 如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型，已知圆柱的底面半径为3，圆锥的高为4，若该几何模型的体积为60π，则其表面积为（ ） A. 48π B. 60π C. 72π D. 144π 【答案】C 【解析】设圆柱的高为，则，解得， 故所求为. 故选：C. 28. 如图是一个盛满水的正四棱台容器，它的下底面边长是上底面边长的2倍，高为，现将四棱台中的水全部倒入与棱台等高且底面边长等于棱台下底面边长的正四棱柱容器中（损耗忽略不计），则四棱柱中水的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为正四棱台下底面边长是上底面边长的倍， 所以令正四棱台的下底面边长为，上底面边长为， 所以， 由题意可得：，且四棱柱的底面是边长为的正方形， 设四棱柱中水的高度为， 所以，解得，即四棱柱中水的高度为． 故选：B． 29. 某校举行立体几何模型制作比赛，某同学制作的模型如图所示：底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形，，，均为正三角形，且他们所在的平面都与底面垂直，则该几何模型的体积为______ 立方厘米. 【答案】 【解析】将几何体补全为正三棱柱，如图所示， 分别为的中点， 底面是边长为12（单位：厘米）的正三角形， 且，，均为正三角形，所以 则该几何模型的体积为： . 故答案为：. 30. 已知中，，将顶点绕棱AB旋转到，当时，三棱锥的体积为___________. 【答案】## 【解析】在三棱锥中，， 由，得，则， 取中点，连接，则， 显然，则，又，平面， 因此平面，三棱锥的体积. 故答案为： 知识点6：旋转体内切球、外接球（棱锥/棱台/圆柱外接球） 31. 若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，其上、下底面半径分别为和，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意得，球的直径是，且圆台下底的圆的直径也是，故圆台的底面是球的一个大圆，如下图，作出圆台的截面图形，即梯形，这里为球心，连接， 作，垂足为，由已知，， 由三线合一，，则，即为圆台的高， 根据圆台的体积公式，. 故选：D 32 某圆台的上、下底面半径分别为、，且，圆台的体积为，若一个球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该球的体积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，因为球与圆台的上，下底面及侧面均相切，则圆台内切球的球心O在的中点处，设球O与母线切于M点， 所以，且，，则，同理，所以，过A作，垂足为G，则， 所以，，即圆台的高为， 该圆台的体积为， 解得，则球的直径，半径为，则球的体积为. 故选：B. 33. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，外接球的球心为，若点S是正四棱锥的表面上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】设，连接，则平面， 依题意可得，， 所以，且球心在直线上， 连接，设外接球的半径为，则，解得， 因为，故球心在线段上， 又S是正四棱锥的表面上的一点，的最小值即球心到平面的距离， 且. 故选：B 34. 在三棱锥中，平面，为等腰三角形且面积为，.若该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为等腰三角形且面积为，所以，又， 所以，所以，设的外心为， 可得，过作平面的垂线， 则球心在直线上，设球心为，可得在的垂直平分线上， 所以，所以， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 35. 建盏是福建省南平市建阳区的特产，是中国国家地理标志产品，其多是口大底小，底部多为圈足且圈足较浅（如图所示），因此可将建盏看作是圆台与圆柱拼接而成的几何体.现将某建盏的上半部分抽象成圆台，已知该圆台的上､下底面积分别为和，高超过，该圆台上､下底面圆周上的各个点均在球的表面上，且球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设球的半径为，上､下底面分别为圆（这里上底面是指大的那个底面）， 依题意，，解得， 因为， 则，同理可得，，因为圆台的高超过，则该圆台的高为，该圆台的体积为. 故选：B. 知识点7：多面体截面、几何体识别 36. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱 【答案】B 【解析】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥. 故选：B 知识点8：立体几何多选综合（平行垂直、体积定值、线角、外接球） 37. （多选题）已知正四棱台的上、下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台（ ）． A. 上底面边长 B. 下底面边长 C. 高为2 D. 体积为 【答案】ACD 【解析】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为， 则，, 故, 在中，,则由射影定理，得，解得， 所以上、下底面的边长分别为， 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2， 故该正四棱台的体积为：. 故选：ACD. 知识点9：立体几何填空综合（台体、柱锥旋转体、外接球体积计算） 38. 已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为________. 【答案】 【解析】由题意可知：底面等边三角形的外接圆半径， 则外接球的半径， 所以该三棱柱的外接球的体积为. 故答案为：. 39. 已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________. 【答案】 【解析】圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，设圆台的高为h， 则该圆台的体积为，则， 作出圆台的轴截面如图所示， 上底面圆心为，下底面圆心为，，， 过作，则，又， 所以圆台的母线长为． 故答案为：. 40. 已知圆台的上底面半径和母线长均为2，下底面半径为3，则圆台的体积为________． 【答案】 【解析】如图是圆台的轴截面，圆台的上下底面圆的半径分别为2和3，母线长为2，设圆台的高为， 则，解得：， 所以圆台的体积. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $