25.2.2公式法（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“公式法解一元二次方程”，涵盖求根公式推导、根的判别式及应用。通过复习配方法解具体方程导入，衔接一般形式方程的配方过程，构建从特殊到一般的学习支架。 其亮点在于以“新知探究”推导求根公式培养推理意识，“典例精析”分类讨论判别式三种情况及含参数问题发展数学思维，“当堂练习”多样化题目强化数学语言表达。学生能系统掌握方法，教师可依托清晰结构高效教学。

人教版(新教材) 九年级上册 25.2.2 公式法 第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 解：移项，得 配方，得 所以 解方程: 1.将方程变为一般形式． 2.移项，把常数项移到等号的右边． 3.配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方． 4.写成完全平方的形式． 5.利用直接开平方法进行开方求得两根． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2−4ac 的符号有以下三种情况： (1) b2−4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2) b2 − 4ac = 0， (3) b2 − 4ac ＜0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = . 这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. 25.2.2 公式法 一元二次方程的根的判别式 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ = b2 − 4ac. 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ ≥ 0 判别式的情况 根的情况 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 （1）方程2x2+x−6=0中，a= ，b= ， c= ； b2−4ac= . （2）方程5x2−4x=12中，a= ，b= ， c= ；b2−4ac= . （3）方程4x2−4x+1=0中，a= ，b= ， c= ；b2−4ac= . −4 1 −6 49 5 −4 −12 236 4 2 1 0 先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c： 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 按要求完成下列表格： 方程 Δ的值 根的 情况 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 根据方程根的情况， 确定方程中的字母的取值范围 不解方程， 判断方程根的情况 应用判别式证明方程根的情况 一元二次方程根的判别式的应用 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 一元二次方程 x2−5x＋7＝0 的根的情况是( ) A． 没有实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 有两个不相等的实数根 D． 有两个实数根 解：要判断方程是否有根，首先要判断Δ， 因为 Δ= (−5)2−4×1×7= −3<0， 所以此方程没有实数根.故选A. 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若关于 x 的一元二次方程 x2−4x＋5＝a 有实数根，则 a 的取值范围是( ) A． a＜1 B． a＞1 C． a≤1 D． a≥1 解：因为关于 x 的一元二次方程 x2−4x＋5＝a有实数根， 方程转化为（x−2) 2+1= a ，要使方程成立，即a−1≥0， 解得a≥1 ，所以a的取值范围为 a≥1 ． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ． k<2且k 0 解：因为关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根， 所以 k≠0且Δ＞0，即 (−4)2−4×k×2＞0， 解得 k＜2且 k≠0， 所以k的取值范围为 k＜2且 k≠0． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 分类讨论 k = 0 k≠0 原方程变形为 −2x − 1 = 0，有实数根 Δ = 4 + 4k≥0 k≥−1 若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k≥ −1 B. k≥ −1且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2−1)−2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状. 解：方程整理得(b+c)x2−2ax−(b−c)=0， 因为方程b(x2−1)−2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根， 所以Δ=4a2−4(b+c)·[−(b−c)]=0， 即a2+b2=c2， 根据勾股定理的逆定理得，此三角形为直角三角形 所以此三角形为直角三角形． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用公式法解下列方程: (1) 5x2−3x−1=0; 解：(1) ∵a=5,b=−3,c=−1 ∴Δ =b2−4ac=(−3)2−4×5×(−1)=29>0 方程有两个不相等的实数根. 即 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 ∴Δ =b2−4ac= (2) 方程化为 故方程无实数根. 用公式法解下列方程: (2) 25.2.2 公式法 一元二次方程的求根公式 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当 Δ = b2 − 4ac≥0 时，才可以用求根公式. 注意 25.2.2 公式法 公式法解方程的步骤 01 02 03 04 1. 变形： 化已知方程 为一般形式； 2. 确定系数： 用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算： b2 − 4ac 的值； 4. 判断： 若 Δ = b2 − 4ac≥0， 则利用求根公式求出； 若 b2 − 4ac＜0， 则方程没有实数根. 25.2.2 公式法 公式法解方程的步骤 一元二次方程 化成 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式 a=？ b=？ c=？ 求Δ＝b2−4ac Δ≥0？ 无实数根 否 套公式求解 是 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 方程有两个相等的实数根. a=−2,b=−8,c=−8 △=b2−4ac=(−8)2−4×(−2)×(−8)=0 (3) 方程化为−2x2−8x−8=0 用公式法解下列方程: (3) x2−8x=3x2+8; 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 用公式法解下列方程: (4) 3x−x2= 5x−7. 解：(4) 整理，得 ，∵a=1,b=2,c=−7， ∴ 方程有两个不相等的实数根. 即 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 m为实数，关于x的方程为 ． (1)判断方程根的情况． (1)解：原方程为一元二次方程，可化为 ． 无论m为何实数，m2都是非负数．即 ． ∴原方程总有两个实数根． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2)解：由(1)，原方程的根 ． 或 ． 若 ，则 ， ． 若 ，则 ， ． 综上，m的值为2或−1． m为实数，关于x的方程为 ． (2)若方程的两根为 ，当 时，求m的值． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 根的情况 公式法 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 − 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） Δ =b2 − 4ac > 0 务必将方程 化为一般形式 求根公式 步骤 有两个不等的实数根 Δ =b2 − 4ac = 0 有两个相等的实数根 Δ =b2 − 4ac < 0 原方程没有实数根 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 关于x的一元二次方程 ，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 解 ： ， 整理，得 ， 判别式 ， ∴方程有两个不相等的实数根． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 当m>4时，关于x的方程 的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 解： ， 整理得 ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴原方程没有实数根． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若关于x的一元二次方程有 两个相等的实数根，则m的值为（     ） A．−1 B．1 C．−2 D．2 解： 展开得 ， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ， 解得 . 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 列哪个一元二次方程的根( ) A．2x2+4x+1=0 B．2x2−4x+1=0 C．2x2−4x−1=0 D．2x2+4x−1=0 解：根据求根公式 得 a=2,b=4,c=1, 故选A. 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 关于x的一元二次方程 ，则下列分析正确的是（     ） A．当p>0时，方程有两个不相等的实数根 B．当p=0时，方程有两个相等的实数根 C．当p<0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 解：将原方程整理为一般形式得 ， 根的判别式 ， 当p>0时， ，方程有两个不相等的实数根，选项A正确，符合题意； 当p=0时， ，方程有两个不相等的实数根，选项B错误，不符合题意； 当p<0时，若 ，则 ，此时方程有两个不相等的实数根，选项C错误，不符合题意；∵ ，Δ的正负与p的取值有关， ∴方程根的情况与p的值有关，选项D错误，不符合题意． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 解：∵原方程是关于x的一元二次方程，∴二次项系数不为0， 即 ，解得 ． 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式 ， 即 ， 解得 ， 综上，的取值范围是 且 ． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 直线 不经过第一象限，则关于x的方程 的实数解的个数为___________． 解：直线 的比例系数 ，且直线不经过第一象限，∴ ， 分两种情况讨论方程的解的情况， (1)当 时，方程化为 ，为一元一次方程，有个实数解； (2)当 时，方程为一元二次方程，计算根的判别式 ， ∵ ， ，可得 ， 此时一元二次方程有个不相等的实数解． 综上，方程的实数解的个数为1或2． 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； 方程有两个不等的实数根 解：a = 1，b = −4，c = −7. Δ = b2−4ac = (−4)2−4×1×(−7) = 44＞0. 即 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 用公式法解下列方程： (2) 5x2−3x = x + 1； 方程有两个不等的实数根 即 a = 5，b = −4，c = −1. Δ = b2−4ac = (−4)2−4×5×(−1) = 36＞0. 解：方程化为 5x2−4x−1 = 0. 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 用公式法解下列方程： 解：(3) ∵a=2,b=6,c=−1 ∴Δ =b2−4ac=62−4×2×(−1)=44>0 方程有两个不相等的实数根. 即 (3) ； 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 用公式法解下列方程： 解：(4) ∵a=2,b=−3,c=−3 ∴Δ =b2−4ac=(−3)2−4×2×(−3)=33>0 方程有两个不相等的实数根. 即 (4) . 25.2.2 公式法 复习引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0． Δ = 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0. 解得 且 m≠1. 25.2.2 公式法 $