湖南长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 高二下学期期末数学试卷，以人工智能利润分析、跳绳比赛统计等真实情境为载体，考查数学眼光（空间想象、数据意识）、思维（推理、运算）与语言（建模表达），实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|命题否定、复数、概率、立体几何等|基础概念辨析，如第3题充要条件逻辑推理| |填空题|3题15分|二项式定理、外接球、概率|空间几何与概率结合，如14题扑克牌比较概率计算| |解答题|5题77分|圆方程、回归分析、立体几何折叠、数列与导数、统计概率|情境时代性，如16题人工智能利润数据建模；综合应用性，如19题正态分布与体育统计分析|

湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B C C B B BD BC 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断. 【详解】因为“”的否定是“”. 故选：C. 2．B 【分析】根据复数在复平面内的坐标表示，结合已知直线方程求出的值，进而得到复数. 【详解】复数对应的点的坐标为， 因为该点在直线上，所以， 解得，则. 故选：B. 3．B 【分析】根据对于恒成立,求出的取值范围，在上单调递减，,求出的取值范围，进而判断. 【详解】对于恒成立，则，故， 在上单调递减，则，解得，即. 所以得不到，但是可以得到. 故是必要而不充分条件. 故选：B 4．B 【分析】相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法. 先将丙、丁捆绑为一个整体，再与戊排列，形成空位，将甲、乙插入空位中. 【详解】把丙、丁看作一个整体，内部排列有种.将这个整体与戊一起排列，共有种顺序. 排好后形成3个空位，将甲、乙插入其中两个空位，且不相邻，有种， 因此总排列数为种. 5．C 【分析】根据数列为等比数列，则成等比数列求解． 【详解】因为数列为等比数列， 所以成等比数列， 即成等比数列， 所以， 所以． 6．C 【详解】首先求出事件与同时发生的概率： 根据公式，即，解得.所以. 7．B 【详解】函数，则， 所以. 8．B 【分析】根据题意，先考虑正四棱锥中三个点构成等边三角形的情况，分类讨论为正四棱锥的侧面或对角面两种情况，再结合三边的轮换对称性即可得解. 【详解】空间中三个点，满足，显然点不能同为正四棱锥底面顶点， ① 当为正四棱锥的侧面时，如图1， 此时分别为底面正方形的一边时，对应的情况数显然是相同的， 不妨以为例，此时符合要求的另两个点在直线同侧，有两种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有6种方案；    ② 当为正四棱锥的对角面时，如图2， 此时分别为底面正方形的一对角线时，对应的情况数显然也是相同的， 不妨以为例，此时符合要求的另两个点关于直线对称，只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有3种方案. 由分类加法计数原理，可知取点的方案数为9. 9．BD 【分析】由正四面体的性质直接将线线角，线面角及面面角找出来，借助余弦定理求所成角的余弦值，与比较可以得出正确答案. 【详解】选项A，正四面体，所以为正三角形，所以棱与棱的所成角为，，选项A错误； 选项B，作棱中点E，连接，，因为为正三角形，所以， 同理，，平面，， 所以平面，平面，所以， 所以棱与棱的所成角为，选项B正确； 选项C，由正四面体性质可知棱与平面的所成角与棱与平面的所成的角一样，且D在平面的投影在上， 所以棱与平面的所成角为， 设正四面体边长为，所以， ， 所以，选项C错误； 选项D，因为，，所以平面与平面的所成的角为， ， 所以，选项D正确. 10．BC 【详解】对于A，取，此时，但，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C，因为，故，而，故，故C正确； 对于D，， 若，则， 故即，故D错误. 11．ACD 【分析】通过化简函数、利用奇偶性和周期定义、并求导分析函数的单调区间与极值依次验证选项即可. 【详解】对于A，， 故为奇函数，A正确； 对于B，因，，即，故B错误； 对于C，由题意得， 令，解得，即 ， 该区间长度为，故的最大值为，C正确； 对于D，令，解得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为的周期为，的周期为，故的周期为， 当时，从1降到，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，从升到，此时单调递增， 所以，故D正确. 12． 【分析】求出的通项，令，则，求解即可. 【详解】的通项为：， 令，则，解得：. 故答案为：. 13． 【分析】根据外接球的性质，确定球心在过中点，且垂直于平面的直线上，再以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，设三棱锥的外接球球心为，利用，求出的值，即可求得答案. 【详解】 由题意得：，,则的外接圆圆心为中点. 则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上. 平面，则易得,又， 故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系. ,,,,，设， 则， 由，解得. 所以外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积. 14． 【详解】由题意，两次比较都是乙的点数大，甲失去张牌是和，分两类： ①若第次甲抽到的是，则乙可以是或，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙抽到，故概率为； ②若第次甲抽到的是，则乙抽到了，比较后甲盒中只有，，乙盒中为；第次则甲抽到，乙可以抽到或，故概率为. 所以次比较大小后，甲的牌盒中只剩张扑克牌的概率为． 15．（1）圆心坐标为，半径为2；（2）. 【解析】（1）写出圆的标准方程即得解； （2）求出圆心到直线的距离即得直线被圆C截得的弦长. 【详解】（1）由题得圆的方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为2. （2）由题得圆心到直线的距离为， 所以直线被圆C截得的弦长为. 【点睛】结论点睛：直线被圆所截得到的弦长（其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）. 16．(1)相关系数约为，回归方程为. (2)第、年的利润约为亿元、亿元. 【分析】（1）求出、的值，将参考数据代入相关系数公式，可求出相关系数的值，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归直线方程； （2）将、分别代入回归直线方程，可得结果. 【详解】（1）由题中数据可得， ， ， 因此， ，， 故回归直线方程为. （2）在回归直线方程中令，得. 令，得， 因此预测第、年的利润约为亿元、亿元. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明即可； （2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）因为分别为的中点，所以，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是二面角的平面角，所以， 因为，所以为等边三角形，所以， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以. （2）设中点为，由（1）知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，则  所以， ，. 设与平面所成的角为，则. 18．(1)证明见解析， (2)答案见解析 【分析】（1）根据可得时，两式相减结合构造法可得数列为等比数列，由此可计算数列的通项公式. （2）求导，得到，利用错位相减法计算，讨论的取值范围即可得到与 的大小关系. 【详解】（1）由已知可得时，， 两式相减得，即， ∴， 当时，，∴， ∵，∴，∴， 故有，∴， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴，故. （2）∵，∴， ∴ ， ∴， ①-②得， ， ∴， ∴， 当时，，∴. 当时，，∴. 当时， ，∵， ∴ ，∴ ， 综上，当时，； 当时，； 当时，. 19．(1) ；(2)①；②的分布列为： 0 1 2 3 【分析】(1)先分析可得有四种大的情况,再根据排列组合的方法求概率即可. (2)①根据正态分布的特点求解的概率再利用总人数求解即可. ②易得满足二项分布,再根据二项分布的公式计算分布列与数学期望和方差即可. 【详解】(1)设“两人得分之和小于35分”为事件,则事件包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②一人得分16,一人得分17； ③一人得分16,一人得分18；④两人均得17分. 由频率分布直方图可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人. 则由古典概型的概率计算公式可得. 故两人得分之和小于35分的概率为 (2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为： ,又由,得标准差, 所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布. ①因为,故. 故估计每分钟跳绳164个以上的人数为 ②由正态分布可得,全年级任取一人,其每分钟跳绳个数在179以上的概率为. 所以,所有可能的取值为. 所以, , . 故的分布列为： 0 1 2 3 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图以及排列组合的运用,同时也考查了正态分布与二项分布的特点以及计算,需要根据题意分析正态分布中标准差的运用以及概率的求解.属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 2．设，复平面内表示复数的点在直线上，则（   ） A． B． C． D． 3．已知命题对恒成立， 命题函数在上单调递减， 则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲乙不相邻，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 5．记为等比数列的前项和，若 ，则 （ ） A．9 B．15 C．21 D．27 6．已知随机事件与满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 8．空间内三点A、B、C满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，则取点的方案数为（    ） A．12 B．9 C．8 D．6 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．在正四面体中，下列各角大于的有（    ） A．棱与棱的所成角 B．棱与棱的所成角 C．棱与平面的所成角 D．平面与平面的所成角 10．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．的一个周期为 C．若在上单调递增，则的最大值为 D．的最大值为 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若展开式中的系数为，则______． 13．如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 14．甲乙两人各有一个牌盒，盒子中有点数为的三张扑克牌．现在两人随机抽取一张扑克牌比较大小，如果甲的点数大，则两张扑克牌都放入甲的牌盒中；如果乙的点数大，则两张扑克牌都放入乙的牌盒中；如果一样大，则各自放回自己的牌盒．每次放回牌盒后都重新洗牌，则2次比较大小后，甲的牌盒中只剩1张扑克牌的概率为______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知圆C方程为. （1）求圆C的圆心坐标及半径； （2）求直线被圆C截得的弦长. 16．某人工智能公司从某年起连续年的利润情况如下表所示. 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)计算出与之间的相关系数（精确到），并求出关于的回归直线方程； (2)根据回归直线方程，分别预测该人工智能公司第年和第年的利润. 参考公式：样本的回归直线为，其中，，，，，. 17．如图1，在直角梯形中，，分别为的中点，沿将平面折起，使二面角的大小为，如图2所示，设分别为的中点，点在线段上，且. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．数列的前项和为， 满足 且首项 . (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)令讨论（为的导数）与 的大小关系. 19．为响应德智体美劳的教育方针，唐徕回中高一年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下： 每分钟跳绳个数 185以上 得分 16 17 18 19 20 年级组为了了解学生的体质，随机抽取了100名学生，统计了他的跳绳个数，并绘制了如下样本频率直方图： （1）现从这100名学生中，任意抽取2人，求两人得分之和小于35分的概率（结果用最简分数表示）； （2）若该校高二年级2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间的中点值为代表）．利用所得到的正态分布模型解决以下问题： ①估计每分钟跳绳164个以上的人数（四舍五入到整数） ②若在全年级所有学生中随机抽取3人，记每分钟跳绳在179个以上的人数为，求的分布列和数学期望与方差． （若随机变量服从正态分布则，，） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $