精品解析：黑龙江大庆第一中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）

黑龙江省大庆一中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 反比例函数图像一定经过的点是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 4.5 5. 一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A. x2＝72 B. x（x﹣1）＝72 C. （x﹣1）2＝72 D. ＝72 6. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象关于y轴对称 C. 点和点都在图象上 D. 当时， 9. 在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（ ） A. 6.36米 B. 8米 C. 11.8米 D. 12米 10. 如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　） A. y＝﹣ B. y＝﹣ C. y＝﹣ D. y＝﹣ 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知，则________． 12. 已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为_________． 13. 如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个三角形的周长为____． 14. 某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加：①为父母做一次饭；②洗一次衣服；③倒一次生活垃圾．小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是______． 15. 如图是某几何体的三视图，若俯视图的面积为，则左视图的面积为____． 16. 若、是方程的两根，则的值为___________． 17. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为2，点A、B、C都在格点上，、分别与网格线交于点D、E，则的长为______． 19. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与反比例函数（为常数，的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上，若点是的中点，则的值为___________． 20. 如图，矩形中，平分，过C点作，连接并延长交于点G，交于点M．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是________． 三、解答题（共7道题，共60分） 21. 解方程 （1）； （2）； 22. 已知，，是的三边长，且满足，． （1）试求，，的值； （2）判断的形状． 23. 某小区在绿化工程中有一块长为18、宽为6的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 24. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 25. 某校举办“环保知识”选拔赛，随机抽取了七年级部分学生的初赛成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 A m B 24 C 14 D 10 根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中 ；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为 度． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加决赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 26. 如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）直接写出当为何值时，能使得与相似． 27. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）过点A作交反比例函数图象于另一点D，在平面内存在两点P，Q（点P在第一象限反比例函数图象的上方），使得四边形是一个长与宽之比为的矩形，请直接写出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省大庆一中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 反比例函数图像一定经过的点是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据每个选项中x的值求出y的值，与点的坐标比较即可作出判断． 【详解】解：A、当时，，所以点在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； B、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； C、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； D、当时，，所以点不在反比例函数的图象上，故此选项不符合题意； 故选：A． 2. 如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组体合的三视图，熟练掌握从前面看到的图形是主视图是解题的关键．根据从前面看到的图形是主视图，即可求解． 【详解】解：根据题意得：其主视图是 故选：D． 3. 已知点在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的增减性即可求解，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：反比例函数中，， ∴反比例函数图象在第二、四象限，如图所示， ∴在每个象限中随的增大而增大， ∵， ∴，   故选： D． 4. 如图，在四边形中，，点E在上，交于点F，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 4.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．根据平行线分线段成比例解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵在四边形中，，， ∴， ∴即， 解得． 故选：A． 5. 一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A. x2＝72 B. x（x﹣1）＝72 C. （x﹣1）2＝72 D. ＝72 【答案】B 【解析】 【分析】一个小组共有x人，则每个人送出去（x－1）个荷包，根据全组共送72个，列方程即可． 【详解】由题意得，x(x－1)＝72． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是或，即或， 故选：C． 7. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 8. 点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A. y随x的增大而增大 B. 图象关于y轴对称 C. 点和点都在图象上 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故A选项不符合题意； 因为反比例函数的图象不关于y轴对称， 故B选项不符合题意； 因为点在函数图象上， 则， 所以， 所以点和点都在图象上， 故C选项符合题意； 当时，， 故D选项 不符合题意． 9. 在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（ ） A. 6.36米 B. 8米 C. 11.8米 D. 12米 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 10. 如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（　　） A. y＝﹣ B. y＝﹣ C. y＝﹣ D. y＝﹣ 【答案】A 【解析】 【分析】作点F作FG⊥BC于G，依据已知条件求得△DBE≌△EGF，得出FG＝BE＝x，EG＝DB＝2x，然后证得△FGC∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】作点F作FG⊥BC于G， ∵∠DEB+∠FEG＝90°，∠DEB+∠BDE＝90°； ∴∠BDE＝∠FEG， 在△DBE与△EGF中， ， ∴△DBE≌△EGF（AAS）， ∴EG＝DB，FG＝BE＝x， ∴EG＝DB＝2BE＝2x， ∴GC＝y﹣3x， ∵FG⊥BC，AB⊥BC， ∴FG∥AB， ∴△FGC∽△ABC， ∴CG：BC＝FG：AB， 即＝， ∴y＝﹣． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握比例的性质． 根据比例的两个内项的积等于两个外项的积进行求解即可． 【详解】解：∵ ， ， 故答案为：． 12. 已知反比例函数的图象位于一、三象限，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴，解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大. 13. 如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个三角形的周长为____． 【答案】120 【解析】 【分析】先根据两个相似三角形面积的比得到周长的比，再根据较小的三角形的周长，即可解答． 【详解】解：∵相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方， ∴相似三角形面积的比等于周长的比的平方， ∵两个相似三角形的面积之比为， ∴这两个相似三角形的周长之比为， ∵较小的三角形的周长是， ∴另一个的三角形的周长为． 14. 某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加：①为父母做一次饭；②洗一次衣服；③倒一次生活垃圾．小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率． 【详解】解：列表如下： ①为父母做一次饭 ②洗一次衣服 ③倒一次生活垃圾 ①为父母做一次饭 ①① ①② ①③ ②洗一次衣服 ②① ②② ②③ ③倒一次生活垃圾 ③① ③② ③③ 由表知，共有9种等可能结果，其中小宇和大明选择同一项家务劳动的有3种结果， （选择一样）． 故答案为：． 15. 如图是某几何体的三视图，若俯视图的面积为，则左视图的面积为____． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据俯视图的面积求出圆的半径，也就是主视图的长和左视图的宽，然后利用矩形的面积计算公式计算即可． 【详解】解：设俯视图的半径为， ∵俯视图的面积为， ∴， ∴， ∴左视图的长为， ∴左视图的面积为：． 16. 若、是方程的两根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，由方程的解可得，代入，再根据根与系数的关系得到，代入求值即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． 根据题意，设反比例函数解析式为，再根据图示，把代入解析式，求出的值，最后把和代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，设反比例函数解析式为，由图示可知点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴当时，；当时，； ∴镜片焦距由米调整到米，近视眼镜的度数减少了度， 故答案为：． 18. 如图，正方形网格中每个小正方形边长为2，点A、B、C都在格点上，、分别与网格线交于点D、E，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取格点M、N，如图，先证明，则，从而计算出，再证明得到，从而可计算出，然后计算即可． 【详解】解：取格点M、N，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与反比例函数（为常数，的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上，若点是的中点，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质、平移的性质等知识，数形结合是解题的关键． 设点先利用中点坐标公式求出，，由点A到点B的平移规律得到点C的坐标，代入即可得到k的值． 【详解】解：设 ∵点D是中点， 当时，， ∴， ∵点D是中点，由中点坐标公式得到， 四边形是平行四边形， 平行且等于， ∵点A到点B相当于向左平移个单位，向上平移个单位， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位得到点C， ∵点C在图象上， ∴． ∴ 故答案为：6 20. 如图，矩形中，平分，过C点作，连接并延长交于点G，交于点M．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由矩形的性质及角平分线定义得，由勾股定理得，，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，设，由即可求解，可判断①；由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断②；延长交于，由相似三角形判定方法得，由相似三角形的性质得，，二者结合运算即可判断③；由相似三角形的性质得，故有，可求 ，由等腰三角形的判定及性质得 ，， 即可判断④． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设，则有 ， ； 故①正确； ②四边形是矩形， ， ， ， ， 即：， ， ， ， ， ， 故②正确； ③如图，延长交于， 由①②得： ， ， ， 即：， ， ， ， ，， ， 由①得：， ， ， 解得：， ， ， 解得：， 四边形是矩形， ， 故③错误； ④由上过程得：， ， ， ， 由③得：， ， ， 解得：， ， ， ， 解得：， ， 同理可证：， ， ， 故④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质等，能熟练利用以上判定方法及性质是解题的关键． 三、解答题（共7道题，共60分） 21. 解方程 （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 22. 已知，，是的三边长，且满足，． （1）试求，，的值； （2）判断的形状． 【答案】（1）5；3；4 （2）直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，进而求解； （2）根据勾股定理的逆定理进行解题即可． 【小问1详解】 解：设，则，，， 由，得： ， 解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵，即， ∴是直角三角形． 23. 某小区在绿化工程中有一块长为18、宽为6的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 【答案】人行通道的宽度为米 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为米，根据矩形绿地的面积和为平方米，列出关于的一元二次方程，求解即可．本题主要考查一元二次方程的实际应用的面积问题，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设人行通道的宽度为米，根据题意得， ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度为米． 24. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 25. 某校举办“环保知识”选拔赛，随机抽取了七年级部分学生的初赛成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 A m B 24 C 14 D 10 根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中 ；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为 度． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加决赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）12，60 （2）600人 （3） 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可求出m的值，由乘以D所占的比例即可； （2）由全校参赛学生人数乘以成绩等级为A的学生所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生共有：（名）， ∴（人）， 扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为：； 【小问2详解】 解：（人）， 即估计成绩等级为A的学生大约有600人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为． 26. 如图，正方形的边长为4，E是边的中点，点P在射线上，过点P作于点F，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）直接写出当为何值时，能使得与相似． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （2）5或2 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，得到，，即可证明结论； （2）分两种情况：当时；当时；利用相似三角形的性质，结合等腰三角形的性质和矩形的性质分别求出的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，如图， ∴，， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，由三线合一可得：， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当为5或2时，能使得与相似． 27. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接，，求的面积； （3）过点A作交反比例函数图象于另一点D，在平面内存在两点P，Q（点P在第一象限反比例函数图象的上方），使得四边形是一个长与宽之比为的矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法先求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，进一步求解一次函数的解析式； （2）设直线与y轴交于G，求出，根据三角形的面积公式即可得到答案； （3）利用待定系数法可得直线 的表达式为，联立解析式可求得点D的坐标，设，分两种情况：当时，过点P作x轴的平行线，过点A、D分别作的垂线，垂足分别为M、N，可证得，利用相似三角形性质列方程求解即可求得点P的坐标；当时，同理可求得点P的坐标． 【小问1详解】 解：把代入反比例函数，得：， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， 把，代入，得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设直线与y轴交于G， 在中，令，则， ∴， ∵，， ∴的面积； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由题意得，，或3， 设直线与x轴，y轴分别交于点H，G，设直线 与y轴交于点E，作轴于点， ∵直线的表达式为， 当时，，当 时，， ∴直线与x轴交点为，直线与y轴交点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 即， 设直线的表达式为， 把，代入，得：， 解得：， 直线的表达式为， 联立得：，整理得：， 解得：（舍去），， ， 设， 当时，如图，过点P作x轴的平行线，过点A、D分别作的垂线，垂足分别为M、N， 则，，，，， ， ， ， ， ，即， ， 解得：， ； 当时， 同理可得：，即， ， 解得：， ； 综上，点P的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $