精品解析：四川绵阳市东辰学校2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题

东辰中学高2025级高一下第三次月考 一、单选题 1. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数z，再根据其对应点的坐标判断所在象限. 【详解】由题意得复数， 复数z在复平面内对应的点为，该点位于第一象限. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用平面向量加法及减法运算. 【详解】. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出直角梯形的面积，然后根据原平面图形的面积与直观图的面积之间的关系求出结果. 【详解】根据题意，该图形的直观图是直角梯形， 则其面积， 那么该平面图形的面积为. 故选：D. 4. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与平面的平行关系判断AB两个选项，根据直线与平面的垂直和平行关系判断CD两个选项. 【详解】对于A：若，则可能有，A错误； 对于B：若，则也可能异面或相交，B错误； 对于C：若，则与不一定垂直，且，则与不一定垂直，C错误； 对于D：若，则，又，则，D正确. 故选：D. 5. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 6. 已知向量与的夹角为120°，，，则向量在向量上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】，即，即，解得或（舍去），则，所以向量在向量上的投影向量的模为． 7. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点为正方形的中心，由线面角的定义得直线与平面所成角即为，解直角三角形即可得解. 【详解】如图所示，设点为正方形的中心，所以， 因为平面，且平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角即为， 不妨设正方体棱长为1，则， 所以. 故选：D. 8. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（    ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用直角三角形边角关系、余弦定理建立方程，再解方程组求解作答. 【详解】设，在中，，， 在中，，， 在中，，， 在中，， 即， 在中，， 即 ， 由，得， 于是，解得， 所以滕王阁的高度. 二、多选题 9. 设，为复数，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 若，则 D. 若是实数，则为纯虚数 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于C：根据共轭复数的定义结合模长公式分析判断. 【详解】设，， 对于选项A：例如，则，两者不相等，故A错误； 对于选项B：因为，且， 则， 即，故B正确； 对于选项C：若，则， 所以，故C正确； 对于选项D：例如是实数，则也为实数，故D错误； 故选：BC. 10. 在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为等腰三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，结合三角形边角的性质和正弦定理边角互化，分别证明充分性与必要性即可判断；对于B选项，根据角度比例算出三个内角的具体值，再利用正弦定理得到三边的比例关系进行判断；对于C选项，通过正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角恒等变换求出的值，进而得到角；对于D选项，利用正弦定理将边的平方比转化为正弦平方的比，再结合余弦定理化简，分析角、的关系判断三角形形状. 【详解】选项A，在中，根据大边对大角和正弦定理（为外接圆半径）：， 因此是的充要条件. 选项B，若，结合内角和，得. 由正弦定理，B错误. 选项C，由正弦定理，将化边为角： 左边， 因此原式得， 中，故，又，得. 选项D，由正弦定理，，交叉相乘得，结合余弦定理化简因式分解得：， 因此，即，为等腰三角形. 11. 如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（ ） A. 存在点P，M，使得平面与平面PBD平行 B. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 C. 正方体可在棱长为9的正四面体内部自由转动 D. 当M为中点时，四棱锥M-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取中点为M，中点为可得相应平行平面；对于B，由题可得，后由平面几何知识可得轨迹长；对于C，求出棱长为9的正四面体的内切球的内接正方体的棱长，对比正方体的棱长即可作出结论；对于D，由题可确定外接球半径，进而可得外接球内接正方体边长，最后结合外接球的内接正四面体可由其内接正方体切割得到，可确定正四面体棱长. 【详解】对于A，如图取中点为M，中点为P，下证平面与平面平行. 因中点为M，中点为P，可得，又平面，平面， 则平面；又注意到，又平面，平面， 则平面，又平面， 则平面与平面平行，故A正确. 对于B，如图取中点为E，连接PE，由题可得，平面， 又平面，则. 因，则， 则点的轨迹为以E为圆心，半径为2的圆在平面内的部分，如图所示， 因，则，同理可得， 则，则点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，棱长为9的正四面体的高为，底面外接圆半径为，内切球半径为， 则，解得，所以， 所以由等体积法有，，解得， 设棱长为的正方体内接于半径为的球内部，则，解得， 又因为正方体的棱长为2，满足， 所以正方体可在棱长为9的正四面体内部自由转动，故C正确； 对于D，如图取AC，BD交点为O，AD中点为G，连接MG，GO，MO， 由题可得，，又由题可得， 则，则O到四棱锥所有顶点距离均相等，则O为外接球球心，外接球半径为， 又正方体外接球半径为其体对角线长度一半，设外接球内接正方体边长为a，则. 又由图可得外接球的内接正四面体可由其内接正方体切割得到， 且内接正四面体棱长为内接正方体面对角线长度，即. 则内接正四面体表面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 向量 ，若 ，则实数 的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算求解. 【详解】因为向量  ，且 ， 所以. 故答案为：6. 13. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，求出各边长度，求出以为半径的圆的面积，以为母线和为半径的圆锥的侧面积，以为母线的圆台的面积，相加后得到答案. 【详解】作，，E，F为垂足， 因为，所以， 因为，所以，， 故， 又，，故， ， 由勾股定理得， 四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积分为三部分， 以为半径的圆的面积， 以为母线和为半径的圆锥的侧面积， 以为母线的圆台的侧面积 所以该几何体的表面积为. 故答案为： 14. 在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，在中，利用正弦定理求出，再根据数量积的定义结合三角函数的性质即可得解. 【详解】设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，，，则， 所以 ， 因为，所以， 所以， 所以的最小值为. 四、解答题 15. 已知向量，其中． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，，然后再根据垂直关系即可求出； （2）由与的夹角是钝角得到且与方向不相反，得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ，解得． 【小问2详解】 由与的夹角为钝角，得且与方向不相反， 所以且，解得且. 所以实数的取值范围为． 16. 如图，四边形为圆内接四边形，，，． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 是的内角，，， . 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 由正弦定理得 ， . 【小问2详解】 四边形为圆内接四边形，， ，. 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 的面积 . 17. 在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，． （1）求证：平面MBC； （2）已知直线AN与BC所成角为60°，求点C到平面MBD的距离 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】取CD的中点E，连接BE、NE，根据题意可得平面，平面，利用面面平行的判定定理和性质即可证明； (2)根据题意知四边形为菱形，可得直线AN与BC所成角为，利用余弦定理求出AM，进而求出，结合三棱锥等体积法即可求出点C到平面MBD的距离. 【小问1详解】 由题意得， 取CD的中点E，连接BE、NE，则且， 故四边形是平行四边形，所以， 又平面，所以平面， 又且，且， 则且，故四边形是平行四边形， 所以，又平面，所以平面， 由得，平面平面， 因为平面，所以平面； 【小问2详解】 因为矩形平面，所以平面， 又，所以四边形为菱形， 则，直线AN与AE所成角为， 设AM的长为x，则， 在中，由余弦定理，得， 即，由解得， 所以，得， 在中，， 所以的高为，故， 设点C到平面MBD的距离为h， 则， 由，得，解得. 即点C到平面MBD的距离为. 【点睛】 18. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． （1）用表示， （2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 【答案】（1）； （2）岛屿到补给站的距离 （3）岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减法法则，结合图形即可得解； （2）利用向量垂直的向量表示与数量积运算法则求得，从而再次利用数量积运算法则即可得解. （3）由，化简得到，结合正弦定理得到，利用三角形的面积公式，求得，进而求得的最小值，得到答案. 【小问1详解】 依题意，得，因为点为中点，所以， 又在靠近岛屿的的三等分点上所以， 又，所以， ； 【小问2详解】 依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以 ， 所以岛屿到补给站的距离； 【小问3详解】 由，可得， 即， 可得，即， 设，由正弦定理知， 而 ， 所以， 因为，所以，得， 所以当，即时，取得最小值， 即的最小值为，所以岛屿和岛屿之间距离的最小值为公里． 19. 如图，是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过点A的直线垂直于圆O所在的平面． （1）证明：； （2）已知，设点C关于直线的对称点为D． （i）求二面角的余弦值； （ii）若及其内部存在点Q使得四面体与五面体的体积相等，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，据此可完成证明； （2）（i）由对称性可得，如图，过做PB垂线，垂足为F，可得为二面角的平面角，然后由余弦定理可得答案；（ii）延长PQ，交于M，如图做，可得到平面距离为.设，由题，如图延长，使延长线交于E，做.由，结合设，可得到平面距离为，到平面距离为，然后由四面体与五面体的体积相等，可得，则，据此可得答案. 【小问1详解】 因是圆O的直径，点C是圆O上的动点，则. 因垂直于圆O所在的平面，平面，则. 因平面，，则平面，又平面， 则； 【小问2详解】 （i）如图连接，因D为点C关于直线的对称点，结合圆为对称图形，可得.如图，过做PB垂线，垂足为F，因， 则.从而为二面角的平面角. 因，，则为等边三角形，则. 因垂直于圆O所在的平面，平面，则. 则. 由（1）可得为直角三角形， 则， 又由对称性可得，则四边形面积为. 则； （ii）延长PQ，交于M，如图做，因垂直于圆O所在的平面，平面，则.又平面，， 则平面，则到平面距离为. 设，由题，如图延长，使延长线交于E，做. 因，则，. 注意到，则. 设，则到平面距离为. 因垂直于圆O所在的平面，则为点P到平面距离， 则到平面距离为. 由题可得. 注意到，. 则， 因，则. 由（1）可得，则， 则 ，此时. 则最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东辰中学高2025级高一下第三次月考 一、单选题 1. 已知复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. （ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知向量与的夹角为120°，，，则向量在向量上的投影向量的模为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 7. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世．如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A，B，C处测得阁顶端点P的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（    ）米． A. B. C. D. 二、多选题 9. 设，为复数，下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 若，则 D. 若是实数，则为纯虚数 10. 在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为等腰三角形 11. 如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（ ） A. 存在点P，M，使得平面与平面PBD平行 B. 当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 C. 正方体可在棱长为9的正四面体内部自由转动 D. 当M为中点时，四棱锥M-ABCD外接球的内接正四面体的表面积为 三、填空题 12. 向量 ，若 ，则实数 的值为_____. 13. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕直线旋转一周所成几何体的表面积为______. 14. 在平面凸四边形中，已知，，，，则的最小值为________． 四、解答题 15. 已知向量，其中． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 如图，四边形为圆内接四边形，，，． （1）求； （2）若，求的面积． 17. 在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，． （1）求证：平面MBC； （2）已知直线AN与BC所成角为60°，求点C到平面MBD的距离 18. 如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的、、点上．岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的的三等分点上．设． （1）用表示， （2）如果海里，且，求岛屿到补给站的距离； （3）若三个岛屿围成的的面积为平方公里，且满足，求岛屿和岛屿之间距离的最小值． 19. 如图，是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过点A的直线垂直于圆O所在的平面． （1）证明：； （2）已知，设点C关于直线的对称点为D． （i）求二面角的余弦值； （ii）若及其内部存在点Q使得四面体与五面体的体积相等，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $