重庆南开中学校2025-2026学年高二下学期数学练习（九）5.24

《重庆南开中学高2027级高二（下）数学练习（九)5.24》参考答案 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 B D B y ACD BCD AD 1.c 【详解】满足条件的五位偶数有：4·A4=3×4×3×2×1=72. 故选：C 2.C 【详解】白慰设P0X>120-0-P80<X≤1201-015， 所以本次考试中数学成绩在120分以上的大约有28000×0.15=4200人. 故选：C 3.C 【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校.若教师人数依次为3,1,1,1，则不同的 安排方法种数为：C4×A4=96种： 若教师人数依次为2,2,1,1，则不同的安排方法种数为：C×A4=144种， 故不同的安排方法共有96+144=240种. 故选：C 4.B 【详解】设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为X, 由P--6得S 45 C品45 化简得n2-10m+16=0,解得n=2或n=8 又该产品的次品率不超过30%，n≤3 应取n=2 故选：B 5.D 【详解】在(1+x)4+(1+x)3+(1+x)+(1+x)+(1+x)3+(1+x)的展开式中， 含x2项的系数为C2+C+C+C+C+C=116 故选：D 答案第1页，共10页 6.B 【详解】解：对于A.根据相关系数越接近1，变量相关性越强，故正确： 对于B.回归直线方程拟合效果的强弱是由相关指数或相关系数判定，故不正确： 对于C.相关指数越小，残差平方和越大，效果越差，故正确： 对于D.根据的实际意义可得，≈0.64表示女大学生的身高解释了64%的体重变化， 故正确： 故选：B 7.B 【详解】由图可知，两个函数图象都在x轴上方，所以'(x)>0,∫(x)单调递增， 所以实线为f(x)的图象，虚线为f(x)的图象，f(0)=f'(0)=1, 对A,y'=(x)+1>0,y=fx)+x单调递增，无最大值，A错误： 对B,y-cUf,yLeV0fo1-0. [f(x订 [f(O)] 由图可知，当x<0时，f(x)-f'(x)<0,当x>0时，f(x)-'(x)>0, 所以y在o.0)上单调避减，在Q,+物上单调递增 所以当x=0时，函数取得最小值yn= e0 =1,B正确： f(0) 对C,y=[f'x)+f(x)]e,由图可知f(x)+f'(x)>0, 所以y=f(x)e在R上单调递增，无最大值，C错误： 对D,y=')-fw) 由图可知，当x<0时，f(x)-f'(x)>0,当x>0时，f(x)-f'(x)<0, 所以函数y=f四在(m,0)上单调递增，在(0，+∞）上单调递减， 当x=0时，函数取得最大值= 2=1,D错误. 故选：B 8.A 【详解】如图，过点耳作渐近线的垂线，垂足为E, 答案第2页，共10页 设尽民卡2女，则点风到断近线=8的距突职=匠石b bc 由双曲线的定义可得M-M=2a,故M=M+2a, 所以MD+M=MD|+M+2a≥E+2a=b+2a,即MD+Ml的最小值为2a+b, 因为MD>-M恒成立， 所以|MD+M>恒成立，即2a+b>2c恒成立， 所以，b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac, 所以，3+5a-8ac<0,即3e2-8e+5<0,解得1<e< 3 故选：A. V 9.ACD 【详解】对于A,表示甲获得冠军的数有423,123,423,114,332,152,342,512,125， 432, 34,151,314共13组数，故估计该场比赛甲获胜的概率为 =0.65,故A正确； 20 对于B,表示甲以2：0的比分获得冠军的数有：123,114,332,125,334,314， 共6组数，放估计甲以2：0的比分获得冠军概率为903，放B错误： 对于C,表示比赛总共打满三局的数有：423,423,344,525,152,342,534,512,432， 151,354共11组数，故估计比赛总共打满三局的概率为-0.55，故C正确； 20 对于D,表示乙以2：0的比分获得冠军的数有：453,443,541共3组数， 故估计乙以2：0的比分获得冠军的概率为 3=0,15,故D正确： 2 故选：ACD 10.BCD 答案第3页，共10页 【详解]对于A:P+列=P(P国-P叫，专专P回)， 所以P叫丽)立放A错误 剥于B:P0+=④.P4合号P4) 1 P(BA) P(AB)=4-3 P(4)14,故B正确， 3 对于心w招-是片回-西=P国.故c正 1 3 对于D:P=P4+P)立P, P=Pu)+2.-+Pa,Pa)- 44 117 P(+秘立与2所以D正确 故选：BCD. 11.AD 【详解】解：一袋中有大小相同的4个红球和2个白球， 对于A:怡有1个白球的既字为.器陵A正确。 对于B:6次试验中取到白球的次数X服从二项分布，即X~B(6,,所以 P0x-2=c心白Q0,放B错误 3 对于C:在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为三，故C错误. 对于D:3次试验中取到红球的次数Y服从二项分布，即Y~B3,),所以 P℃≥)=1-2W=0=1-Q-分答放D正确， 故选：AD. 12.0.0485 【详解】假设三个地区总人口为2000人， 因为A、B、C三个地区人口比例为5：7：8，因此可得A、B、C三个地区人口数分别为500、 700、800, 答案第4页，共10页 又这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感，所以这三个地区患了流感的人数分别为 500×6%=30,700×5%=35,800×4%=32, 所以所求概率为P=30+35+32-0.0485. 2000 故答案为：0.0485. 13.0.1e 【详解】因为y=ae,两边取自然对数可得lny=ln(ae)=x+lna, 令z=lny,可得z=+na,又z=0.lx+3, 所以k=0.1,lna=3,所以a=e3, 所以a.k=0.1e3. 故答案为：0.1e 14.[0,+0) 【详解】易得x≠0，y=e(-,设过点(a0的切线与曲线y=g切于点 e 则切 线方程为y-c-5-少(x-, 代入点a0得-三-e年-山a-）,整理得5-a+2列X+a=0,则 △=(a+2)}-4a=a2+4>0, 则方程必有两根，要使切线只有一条，则必有一根为0（舍去），此时α=0，x=2;设过点 e 0,)的切线与曲线y=e切于点3，e 则切线方程为y-三_e(任-少x-）,代入点0，)得b-_任-少()，整理得 b-2-]e,令)-2-e, x2 则g0w-0-e-2-c-+2-2列e，,又-2+2x-2=-k-1-1<0,则 8(w)<0,8(x)在(-n,0),(0,+0)上单减， 答案第5页，共10页 又x<0时，8(x)<0,0<x<2时，g(x)>0,x>2时，g(x)<0,画出草图如下： 要使切线只有一条，则y=b与y=8()只有一个交点，则b≥0，故a+b≥0 故答案为：[0，+0). 15.解：(1)选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高 (2)()剔除异常数据，即组号为3的数据，剩下数据的平均数为 x=1（7×6-0=72,寸=160×6-31.8=29.64： 5 5 y-57=1416121-6318-5x72×2961=2064. 5-3616-5x72-688 5 :6=2064=3.a=可-8=29.64-3x7.2=8.04. 68.8 所选模型的回归方程为y=3x+8.04: (iⅱ)若广告投入量x=18时，该模型收益的预报值是3×18+8.04=62.04万元， I6.解：(1)由题可知，△ABD和△BDC都是等腰直角三角形，所以PB⊥BD, 因为平面PBD⊥平面BDC,平面PBD∩平面BDC=BD,PBC平面PBD,PB⊥BD, 所以PB⊥平面BDC,又DNC平面BDC, 所以PB⊥DN, 在Rt△BCD中，N为BC中点，DB=DC,所以DN⊥BC, 又PBOBC=B,PB,BCc平面PBC, 所以DN⊥平面PBC,又因为DNC平面DMN, 所以平面DMN⊥平面PBC, (2)因为PBII平面DMN,PBC平面PBC,平面DMNO平面PBC=MN,， 所以PB/IMN,又N为BC中点， 答案第6页，共10页 所以M是PC的中点， 以D为坐标原点，DC,DB,BP分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示， 则由题可知D(0,0,0),P(0,1,1),B(0,1,0),C(1,0,0),M 111 222 DF=a0.-G》丽=(Q0. 设平面PDM的一个法向量为乃1=(s1,,1), [mDP=4+名=0 w0 则 取y=1,则3=-1，=0， 所以n=(0,1,-1)为平面PDM的一个法向量， 设平面DMB的一个法向量为n2=(x2,y2,2), 22·DB=为=0 w-++=0 则 1 1 则y3=0,取x3=1,可得2=-1， 所以=(1,0，-1)为平面DMB的一个法向量， 设二面角P-DM-B的平面角为O, 则lcos=ko(. 2 由图可知二面角P-DM-B的平面角为锐角， 所以二面角P-DM-B的余弦值为 17.解：(1)由题知，X1的所有可能取值为0、1、2， 答案第7页，共10页 122 212 、P(X=0=×=后，卫XE2×2+×=,PX=2)=339’ 33339 所以，X的分布列为： 0 2 2 0 9 2 所以，X的数学期望B(X)=0×)+1 +2x2-1. 9 9 (2)由题知， Pm=-到px=0+昏号Px=-信刘Px=2到 又P(X=0)+P(X=1)+P(Xm=2)=1, 所以，P(x---P(x--Px-2+P(x-+子Px-2, 整理得，P(K。==子Px=. 所以，P(化=}司P化=-引 又因为P属=)-子名所以，数列P(X=)小-引是首现为后公比为号的等比 数列， 所以x=)品， 所议，P化=+即2-+ 18.解：(1)设M(x,y),E(x,),则(x1-3)+2=4①， x=支3 又因为M是EF的中点，所以 2 =2x+3 ,则 ys当 (当=2y, 2 代入①式整理得x2+y2=1, 即点M的轨迹方程为圆O:x2+y2=1. (2)由(1)知点M的轨迹方程为圆O:x2+y2=1, 由题意，圆O上存在点2，使∠OP2=30°， 答案第8页，共10页 等价于直线，=号(-网)或y=9（:-m)与图0有交点， 由对格雀可知点0到直线，9：网与y=一5-网F瑞制分、 点0到直线x±5y-m=0的距离小于等于半径1，即四≤1，解得-2≤m52, 1+3 又m≠0，故实数m的取值范围是[-2,0)U(0,2]. (3)证明：=1时，P(1,0) ka知=-3，设a=k,则如=一是， 则直线PA:y=k(-),PB:y=-(x-), 联}0p1 则1发，得鉴1是=小=器 42-1-2k) 1+1+e月 理可得会5】 6k 2k 则kAB= k2+9Tk2+1-4k+12k=4k 9-k2k2-1 9-k43-k2· k2+9k2+1 道线8的方为站装(：》 方法一：当k=1时，直线方程为y=2x-1,当k=-1时，直线方程为y=-2x+1. 联立 2x1解得x=号=0.直线B恒过定点0小 y=2x-1 方法二： 直线4仙方程即为=终+益g即y装引 直线AB恒过定点 19.解：(1)f()=a-x= -x2+a 当a≤0，f'(x)<0,f(x)在(0，+o)上单调递减，不可能两个零点： 当a>0时，令f"(x)=0得x=a x∈(0，a),f'(x)>0,f(x)单调递增，x∈(Na,+∞），f()<0,f(x)单调递减， x→0，f(x)→-0；f(N回)≥f()=a>0:x→+m,f(x)→-0 答案第9页，共10页 ∴x∈(0，a)有唯一零点且x∈(Wa,+o)有唯一零点，满足题意， 综上：a∈(0，+∞)； (2)先证右边：令g(x)=血x-(x-1)则g(x)=1-x, ∴x∈(0,1)，g'(x)>0,g(x)单调递增，x∈(1，+∞)，g'(x)<0,g(x)单调递减， “g(x)的最大值为f(1)=0,8(x)≤0，即nx≤x-1, fa-=a(a+)2a+a+sa2aa+n+a分a<0且2a1a x2<2a+1, 又f(I)>0,x<1,x+x2<2a+1+1=2(a+1): 再证左边：曲线y=f(x)在(x,0)和(x2,0)处的切线分别是 联立两条切线得与音与 .+为=a+1, a+1 X3 XX2 XX2 4a}06- 1 alnx- 2 由题意得 1 →a=2 1 Qhx卫x.2+a+二=01n2 1- 要证2头，<+5，即证>2，即证 a>1,即证>1， 令-<1，即证h-0<). 令A)=h-2-r0=《影<o 2 40在o卓调還减a0>60-0,h-01< 综上：2x3<x1+x3<2(a+1). 答案第10页，共10页重庆南开中学高2027级高二（下)数学练习（九)5.24 一、单选题 1.用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有() A.48个 B.64个 C.72个 D.90个 2.某地区高二理科学生有28000名，在一次模拟考试中，数学成绩专服从正态分布N(100,o), 已知P(80<号≤120)=0.7，则本次考试中数学成绩在120分以上的大约有() A.11200人 B.8400人 C.4200人 D.2800人 3.某高校计划在今年暑假安排编号为A,B,C,D,E,F的6名教师，到4个不同的学校 进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B,D必须安排在同一个学校则不同的安排方法共 有() A.96种 B.144种 C.240种 D.384种 4.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，记次品数为，已知P(x=1)= 45 且该产品的次品率不超过30%；则这10件产品中次品数为() A.1件 B.2件 C.8件 D.2件或8件 5.在(1+x)4+(1+x)+(（1+x)+(1+x)+(1+x)3+(1+x)°的展开式中，含x2项的系数是() A.110 B.112 C.114 D.116 6.两个具有线性相关关系的变量的一组数据（x1y),（x2,y2),.(x,y),下列说法错误 的是() A.相关系数越接近1，变量x,y相关性越强 B.落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好 C.相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 D.若x表示女大学生的身高，y表示体重则R2≈0.64表示女大学生的身高解释了64%的 体重变化 7.在同一平面直角坐标系内，函数y=f()及其导函数y=∫(x)的图象如图所示，己知两 图象有且仅有一个公共点，其坐标为(O,1),则（) 试卷第1页，共4页 A.函数y=f(x)+x的最大值为1 B.函数y=e 的最小值为1 f(x) C.函数y=f(x)e的最大值为l D.函数y= e的最小值为1 8已知双曲线C号若-1a>06>09上下套点分别为系.5，点山在c的下支上，过 点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D,若MD>耳-M恒成立，则C的离心率的 取值范围为() A B g2 C.(1,2) D 二、多选题 9.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制， 即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束).假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获 胜的概率为0.4.某同学利用计算机产生1~5之间的随机数，当出现1,2或3时，表示甲获 胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如 下20组随机数： 423123423344114453525332152342 534443512541125432334151314354, 根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有() A.甲获得冠军的概率近似值为0.65 B.甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5 C.比赛总共打满三局的概率近似值为0.55 D.乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15 10.设A,5是一个随机试验中的两个事件，且（④-行，P)-子P(4:列-，则 () AP(4回名B.P4)C.P(=P(4D.P+) 试卷第2页，共4页 11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是() 4从中任取3个球，恰有1个白球的装率为号 B。从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为40 243 C.从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二 次再次取到红球的概率为号 D.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为26 27 三、填空题 12.在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感·假 设这三个地区的人口比例为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感 的概率为 13.用模型y=ae“拟合一组数据，令z=ny,将模型转化为经验回归方程z=0.1x+3,则 ak=」 14.若过点(a,0,(0,b)分别只可以作曲线y=C的一条切线，则a+b的取值范围为 1 四、解答题 15.某互联网公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单 位：万元)和收益y(单位：万元)的数据如表： 月份 5 6 广告投入量 2 6 6 10 12 收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们用两种模型①y=bx+a,②y=aex分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分 析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值。 8哦差 残差图 6 6 4 2 0 1 30 1464.24 364 6月份 -2 4 模型①模型② (1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型按合？并说明理由； (2)残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除， 试卷第3页，共4页 ()剔除异常数据后求出（1)中所选模型的回归方程； (i)若广告投入量x=18时，(1)中所选模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据(3，)，(x2,为)，…，(x,yn),其回归直线)=br+à的斜率和截距的最小二 乘估计分别为： 6.多到 -,à=-br 代到 2-m i=l 16.如图1，在平行四边形ABCD中，AB=1,AD=√2，∠ADB=45.现将△ABD沿着BD 翻折至△PBD,使得点A到达点P的位置且平面PBD⊥平面BDC(如图2)，点N是线段BC 的中点，点M在线段PC上. D (1)求证：平面PBC⊥平面DMN; (2)若PB/平面DMN,求二面角P-DM-B的 D 图1 图2 余弦值. 17.现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的2个黑球和1个 红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出1个球互相交换后放袋子中，重复进行n(n∈N)次 此操作.记第n次操作后，甲袋子中红球的个数为X, (1)求X,的分布列和数学期望： (2)求第n次操作后，甲袋子中恰有1个红球的概率Pn. 18.已知点E是圆C:(x-3)+y2=4上的动点，点F(-3,0),M是线段EF的中点，P(m, 0)(≠0)是x轴上的一个动点 (1)求点M的轨迹方程； (2)当点M的轨迹上存在点Q,使∠OPQ=30°，求实数m的取值范围； (3)当m=1时，过P作直线A,PB与点M的轨迹分别交于异于点P的A,B两点，且 k4·kB=-3.求证：直线AB恒过定点，（其中kA,kB分别为直线PA与直线PB的斜率). 1 1 19.若函数f(x)=alnx-三x2+a+二(x>0)有两个零点x,x2,且x1<x2. 2 2 (1)求a的取值范围： （2)若f(x)在(1,0)和(x2,0)处的切线交于点(x,3),求证：2x3<x+x3<2(a+1) 试卷第4页，共4页