精品解析：云南玉溪市峨山彝族自治县第一中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷

云南省峨山县第一中学2025-2026学年下学期开学考试 高三 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5 3. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是等差数列，是数列的前 项积，若，则（ ） A. 15 B. 21 C. 108 D. 243 7. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数 满足，则的最小值为10 B. 函数的值域是 C. 若正实数满足，则的最大值为 D. 若正实数满足，则的最小值为 10. 设随机变量，令，则下列说法正确的是（ ） A. 是减函数 B. C. 是偶函数 D. 的图象关于点对称 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线 关于直线对称 B. 当时， 是两条直线 C. 当时，若点是曲线 上的任意一点，则 D. 当时，曲线 上的点到原点距离的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是 ，则______. 13. 已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是__________． 14. 若直线 上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为_______． 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若 的面积为，求AB边上的高CD． 16. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和． 17. 某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资 （单位：万元）满足：（为常数），且曲线与直线在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）. （1）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式； （2）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ （参考数据：） 18. 已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱 中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积． 19. 已知定义在上的函数满足以下条件： ①； ②当时，； ③对，均有，且． （1）用表示； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）已知数列满足，求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省峨山县第一中学2025-2026学年下学期开学考试 高三 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合 中元素范围，然后再求交集即可. 【详解】，又 则. 故选：B. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算求解出之后，结合共轭复数的概念以及复数乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 即. 故选： C. 3. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求得 ，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意正态分布均值，结合对称性可知：，可得，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以最小值为8. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角关系，两角差正弦公式化简可得，由此可求，由配方，结合平方关系可求结论. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：C. 5. 已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为 的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值. 【详解】因为函数为奇函数，则， 即，令，则， 所以，函数的对称中心为，且，① 在等式①中，令可得，解得， 在等式①中，令可得, 因为函数为偶函数，则， 令，可得，求导得， 则，② 由①②可得，令，则， 所以，函数是周期为 的周期函数， 所以，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 6. 已知是等差数列，是数列的前 项积，若，则（ ） A. 15 B. 21 C. 108 D. 243 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列定义，得到数列为等比数列，利用等比数列性质即可得到结果. 【详解】是等差数列，设其公差为d，因为， 是等比数列，． 故选：D． 7. 一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，结合圆锥轴截面及内切球列式分别得出即可得出最大值. 【详解】由题意，得圆锥形容器的底面半径，高. 因为边长为的正三角形的内切圆半径，所以轴截面是边长为的正三角形的圆锥的内切球半径为1， 所以小球与容器的侧面，底面均相切. 要使小球的体积与容器体积之比最大，则小球的半径最大，所以只需小球与小球， 圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时， 所以小球的体积与容器体积之比的最大值为. 故选：A. 8. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性可以排除B和D，结合特殊点，即可得出选项． 【详解】因为，， 所以是偶函数，图象关于 轴对称，故B和D错误； 因为，故C错误. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数 满足，则的最小值为10 B. 函数的值域是 C. 若正实数满足，则的最大值为 D. 若正实数满足，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据基本不等式分式分离，结合“1”的巧用，求解的最值，即可判断A；根据基本不等式和为定值，求解的最值，从而得函数的取值范围，即可判断B；利用基本不等式根据和为定值求和式最值，即可判断C；由已知等式凑乘积为定值的式子，结合基本不等式求的最小值，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确； 对于B，因为，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为，故选项B错误； 对于C，由正实数满足，由，得， 当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确； 对于D，由，得，所以， 当且仅当，即时等号成立，而，最小值取不到，故选项D错误． 故选：AC． 10. 设随机变量，令，则下列说法正确的是（ ） A. 是减函数 B. C. 是偶函数 D. 的图象关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质，以及函数的单调性与奇偶性，对称性的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】设任意实数 ，且满足， 对于A中，由，所以是减函数，所以A正确； 对于B中，由随机变量，可得曲线关于 对称， 则，所以B正确； 对于C中，因为，所以C错误； 对于D中，由正态分布的对称性，知，即， 所以D正确． 故选：ABD． 11. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线 关于直线对称 B. 当时， 是两条直线 C. 当时，若点是曲线 上的任意一点，则 D. 当时，曲线 上的点到原点距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】点关于对称的点为，当，得到 ，即可判断B；由求出 的取值范围，即可判断C；利用基本不等式求出的最小值，即可判断D. 【详解】对于A：当时，曲线， 设点在曲线上，则点关于对称的点为， 所以即， 故点不在曲线 上，所以曲线 不关于对称，故A错误； 对于B：因为，所以，则，所以 ，即 是两条直线，故B正确； 对于C，当时，曲线，则， 所以，解得或，所以，故C正确； 对于D：当时，曲线， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以， 所以曲线 上的点到原点距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 过抛物线上一动点 作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是 ，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆 的圆心，半径为 ， 由切圆 于点，得，    则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 13. 已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出所有函数的个数，再求出增函数的个数，利用古典概型的概率公式可求对应的概率. 【详解】若函数的定义域为，值域为， 则不同的函数的个数为， 其中增函数共有3个： （1）； （2）； （3）； 故所求概率为， 故答案为：. 14. 若直线 上一点 可以作曲线的两条切线，则点 纵坐标的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出过点的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线与曲线有两个交点,借助导数研究单调性和最值，结合图像可解. 【详解】曲线即曲线， 在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 又切线过点，则. 令，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以． 由题意知，直线与曲线有两个交点，则， 当时，，当时，，故. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． （1）求a； （2）若 的面积为，求AB边上的高CD． 【答案】（1）4； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，可得，，然后由正弦定理结合可得答案； （2）由 面积为，可得，由余弦定理可得，再结合 面积为可得答案. 【小问1详解】 根据，可知，， 因为，即， 所以，即； 【小问2详解】 ，解得， 则，解得， ， ． 16. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明：因为， 所以，且， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义，结合已知条件即可证明；（2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 17. 某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资 （单位：万元）满足：（为常数），且曲线与直线在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）. （1）分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式； （2）已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ （参考数据：） 【答案】（1）甲：；乙：； （2）当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元 【解析】 【详解】（1）函数f(x)的定义域为，且， ∵点(1,3)在直线y=kx上，故有k=3 又曲线y=f(x)与直线y=3x在点(1,3)处相切， 故有， ∴甲产品的利润与投资资金间的函数关系式为 由题意得乙产品投资与利润的关系式为 将点(4,4)代入（*）式，可得m=2 所以乙产品的利润与投资资金间的函数关系式 （2）设甲产品投资x万元，则乙产品投资（40-x）万元，且，则该公司所得利润为 故有， 令，解得， 令，解得， 所以x=15为函数的极大值点，也是函数的最大值点 所以（万元） 所以当甲产品投资15万元，乙产品投资25万元时，公司取得最大利润，最大利润为21.124万元 18. 已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积． 【答案】（1）取中点Q，连接 ，，则， 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 则， 又平面， 平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点Q，连接 ，利用基本事实4及线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解平面夹角的余弦值即可. （3）取中点R，根据平面性质确定较小部分几何体为三棱台，然后利用棱台体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以D为原点，， ，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 由， ， 又平面的一个法向量为 ， 平面与平面夹角为， 则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为 ； 【小问3详解】 取中点R，由（1）知，所以B，M，N，R四点共面， 所以四边形为梯形， 设，则平面，平面， 所以平面平面， 所以直线，所以直线，直线，直线共点S， 所以为三棱台，显然为体积较小部分， 因为，，高， 所以其体积为： . 19. 已知定义在上的函数满足以下条件： ①； ②当时，； ③对，均有，且． （1）用表示； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）已知数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）是上的单调递增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先令 ，得，再令即可求得. （2）先判断的单调性，再结合函数法则利用单调性定义证明即可. （3）先求得，然后利用是上的单调递增函数得，进而结合等差数列和等比数列求和公式，利用分组求和法及错位相减法求和即可. 【小问1详解】 对③式，令 ，，则， 即，又∵，∴， 对③式，令，则， 又∵，即，∴. 【小问2详解】 是上的单调递增函数， 证明：，且，则 ， ∵，∴， 又∵时，，∴， ∵当时，，则，∴， 又∵时，，而，∴， ∴，∴， ∴，即， ∴是上的单调递增函数. 【小问3详解】 对③式，令，则， ∴ ， 又∵是上的单调递增函数，∴， ∴， 设，① 则 ，② 得：， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $