北京市育英学校2025-2026学年九年级下学期菲尔兹杯竞赛数学试卷（3月份）

**基本信息** 融合科技热点（如海淀GDP、纯电续航）与文化传承（《九章算术》），梯度设计考查数学抽象、逻辑推理与创新应用，适配九年级竞赛能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|幂运算、数轴、概率、科学记数法、菱形性质|结合泡泡玛特盲盒考概率，抛物线多结论辨析考查推理能力| |填空题|8/24|因式分解、多边形内角、圆、统计应用、工序优化|疫苗接种班级分析考数据意识，《九章算术》圆材问题体现文化传承| |解答题|9/52|二次函数、几何证明、统计分析、新定义|航模工序时间优化考模型观念，“倍点”新定义问题培养创新思维|

2025-2026学年北京市海淀区育英学校菲尔兹杯九年级（下）竞赛数学试卷（3月份） 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x+x2＝x3 B．x2•x3＝x6 C．（x3）2＝x6 D．x9÷x3＝x3 2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．﹣b＜﹣a B．|b|＞2 C．ab＞0 D．a+b＞0 3．（3分）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，买中“哪吒”的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）当全球科创进入密集活跃期，北京市海淀交出了一份硬核答卷：2025年地区生产总值超13691.4亿元，“十四五”年均增长6.4%，地区生产总值13691.4亿元用科学记数法表示为（单位：元）（　　） A．1.36914×1011 B．1.36914×1012 C．13.6914×1011 D．0.136914×1013 5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．2 B．﹣3 C．﹣2或6 D．﹣3或5 6．（3分）不等式组的解集是（　　） A．x＞﹣4 B．x＜1 C．﹣4＜x＜1 D．﹣1＜x＜4 7．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，分别以点C、D为圆心，以大于，两弧交于M、N两点，作直线MN，如果点P为线段AC上一动点，那么PD+PE的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①ac＜0； ②a﹣b+c＝0； ③m＞﹣9a； ④若此抛物线经过点C（t，n），则t﹣4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．（3分）写出一个比大且比小的整数是　 　 ． 10．（3分）分解因式：2m2﹣8＝　 　 ． 11．（3分）方程的解是 　 　 ． 12．（3分）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，则x＝　 　 ． 13．（3分）如图，B，D，E为⊙O上的三个点，OE⊥OB，交OE的延长线于点C，连接BE，则∠BED的度数为 　 　 ． 14．（3分）育英学校四初三年级共有8个班级的324名学生需要进行疫苗接种，各班学生人数如表所示： 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 人数 41 37 39 43 42 38 41 43 若已经有7个班级的学生完成了疫苗接种，且已经完成接种的男生、女生的人数之比为3：4，则还没有接种的班级可能是　 　 ． 15．（3分）《九章算术》其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，大意是，今有一圆柱形木材，不知其大小，用锯去锯这木材，锯道AB长1尺（1尺＝10寸），问圆形木材的直径是　 　 寸． 16．（3分）某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序． 各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，则至少需要 　 　 分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要 　 　 名学生共同参与． 三、解答题（本大题共52分，第17、18、19、21题，每题5分；第20、22、23题，每题6分；第24、25题，每题7分） 17．（5分）计算：． 18．（5分）已知a+b﹣1＝0，求代数式的值． 19．（5分）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，DF⊥BC，垂足为F，DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5 20．（6分）已知直线l1：y＝x﹣1与x轴、y轴的交点为A，B，现将直线l1沿着y轴进行翻折，得到直线l2，与x轴交点为C． （1）求直线l2的解析式； （2）在坐标轴上是否存在点D，使得，如果存在；若不存在，说明理由； （3）直线l1与直线l2在x轴上方的图象形成图形W，若直线l3：y＝mx+m+1（m≠0）与图形W只存在一个交点，直接写出m的取值范围？ 21．（5分）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标．某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准N），并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息： a．标准M下的实测续航里程数据304.8，355.8，278.2，303.7，307.9，345，363.2（单位：km）； b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）； c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：km）（图2）． 不同标准下实测续航里程统计表（单位：km） 标准M下实测续航里程 标准N下实测续航里程 平均数 320.5 316.6 中位数 a b 根据信息回答以下问题： （1）补全图2； （2）不同标准下实测续航里程统计表中，a＝　 　 ，判断a与b的大小关系为a　 　 b（填“＞”，“＝”或“＜”）． （3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比”）越高越好，如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，符合他要求的车型所对应的点． 22．（6分）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律． （1）求函数自变量x的取值范围； （2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； （3）已知点A（m，n）是函数图象上的点，若，求m的取值范围． x … … y … … 23．（6分）已知OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上两点，∠E＝20°． （1）如图1，求证直线AB是⊙O的切线； （2）如图2，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，连接EG，若⊙O的半径为4 24．（7分）已知二次函数y＝x2+2mx+m﹣1． （1）若该二次函数图象经过原点（0，0），求该二次函数的顶点坐标； （2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； （3）若m＜0时，点A（n﹣4，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上，求n的取值范围． 25．（7分）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，BP，CP，连接PP'，BP'． （1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明； （2）当∠BPC＝120°时， ①直接写出∠P'BP的度数为 　 　 ； ②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系 26．在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d．则称点P为图形W的“倍点”． （1）如图1，图形W是半径为1的⊙O． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 　 　 ； ②在点P1（0，2），P2（3，3），P3（﹣3，0）中，⊙O的“倍点”是 　 　 ； （2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，点A（﹣1，1）（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，求t的值； （3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在线段MN的“倍点” 2025-2026学年北京市海淀区育英学校菲尔兹杯九年级（下）竞赛数学试卷（3月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x+x2＝x3 B．x2•x3＝x6 C．（x3）2＝x6 D．x9÷x3＝x3 【分析】A、原式不能合并，错误； B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断． 【解答】解：A、原式不能合并； B、原式＝x5，错误； C、原式＝x6，正确； D、原式＝x4，错误． 故选：C． 2．（3分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．﹣b＜﹣a B．|b|＞2 C．ab＞0 D．a+b＞0 【分析】由数轴得﹣2＜b＜﹣1，2＜a＜3，于是得出﹣3＜﹣a＜﹣2，1＜﹣b＜2，|b|＜2，ab＜0，|a|＞|b|，再判断出﹣b＞﹣a，a+b＞0即可． 【解答】解：由数轴得﹣2＜b＜﹣1，5＜a＜3， ∴﹣3＜﹣a＜﹣4，1＜﹣b＜2，ab＜6， ∴﹣b＞﹣a，a+b＞0， 故选：D． 3．（3分）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，买中“哪吒”的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用概率公式可得答案． 【解答】解：由题意知，共有8种等可能的结果， ∴小亮购买一个盲盒，买中“哪吒”的概率是． 故选：C． 4．（3分）当全球科创进入密集活跃期，北京市海淀交出了一份硬核答卷：2025年地区生产总值超13691.4亿元，“十四五”年均增长6.4%，地区生产总值13691.4亿元用科学记数法表示为（单位：元）（　　） A．1.36914×1011 B．1.36914×1012 C．13.6914×1011 D．0.136914×1013 【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【解答】解：13691.4亿＝1369140000000＝1.36914×1012， 故选：B． 5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+4＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．2 B．﹣3 C．﹣2或6 D．﹣3或5 【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×4＝0，然后解关于m的方程即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣8×4＝0， 解得m4＝﹣3，m2＝2， 即m的值为﹣3或5． 故选：D． 6．（3分）不等式组的解集是（　　） A．x＞﹣4 B．x＜1 C．﹣4＜x＜1 D．﹣1＜x＜4 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣4， 解不等式②得：x＜1， ∴原不等式组的解集为：﹣6＜x＜1， 故选：C． 7．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，分别以点C、D为圆心，以大于，两弧交于M、N两点，作直线MN，如果点P为线段AC上一动点，那么PD+PE的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 【分析】如图，连接DB，BE，PB．证明PD＝PB，推出PD+PE＝PB+PE≥BE，求出BE即可． 【解答】解：如图，连接DB，PB，． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∴△ADB，△BCD都是等边三角形， ∴BD＝BC＝CD＝6， ∵MN垂直平分线段CD， ∴DE＝EC＝3， ∴BE＝＝3， ∵D，B关于AC对称， ∴PD＝PB， ∴PD+PE＝PB+PE≥BE＝3， ∴PD+PE的最小值为8． 故选：B． 8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①ac＜0； ②a﹣b+c＝0； ③m＞﹣9a； ④若此抛物线经过点C（t，n），则t﹣4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根． 其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【分析】观察图象可得a＜0，c＞0，可判断①；由顶点为A（2，m）、B（5，0）可得图象与x轴的另一交点为（﹣1，0），代入解析式可判断②；由对称轴可知b＝﹣4a，代入a﹣b+c＝0中可得c＝﹣5a，把顶点代入解析式中整理可判断③； 当抛物线经过点C（t，n）时，则C的对称点C'坐标为（4﹣t，n），据此可判断④． 【解答】解：由图象可得a＜0，c＞0， 故ac＜5，①正确； 由顶点为A（2，m），0）， ∴图象与x轴的另一交点为（﹣5，0）， 故a﹣b+c＝0，②正确； 抛物线的对称轴为直线x＝＝2， ∵a﹣b+c＝0， ∴a+5a+c＝0，即c＝﹣5a， ∴m＝4a+2b+c＝4a﹣4a﹣5a＝﹣9a，故③错误； 当抛物线经过点C（t，n）时，n）， 故方程ax3+bx+c＝n的两个解为x＝t或4﹣t，故④错误， 综上，所有正确结论的序号为①②， 故选：A． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．（3分）写出一个比大且比小的整数是　2或3　 ． 【分析】首先估算与的取值范围，再确定有哪些整数． 【解答】解：∵，3＜4， ∴比大且比，3． 故答案为：2或6． 10．（3分）分解因式：2m2﹣8＝　2（m+2）（m﹣2）　 ． 【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式． 【解答】解：2m2﹣5， ＝2（m2﹣2）， ＝2（m+2）（m﹣2）． 故答案为：2（m+2）（m﹣2）． 11．（3分）方程的解是 x＝2　 ． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：去分母得：x+2（x﹣1）＝8， 解得：x＝2， 检验：把x＝2代入得：8（x﹣1）≠0， ∴分式方程的解为x＝4． 故答案为：x＝2． 12．（3分）如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，则x＝　36°　 ． 【分析】先根据多边形的内角和定理得到五边形ABCDE的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，而五边形ABCDE的内角都相等，则∠E＝∠EDC＝108°，根据三角形内角和定理得到 ∠1+∠2+∠E＝180°，∠3+∠4+∠C＝180°，而∠1＝∠2，∠3＝∠4，则可计算出∠1+∠3＝180°﹣108°＝72°，然后利用x＝∠EDC﹣（∠1+∠3）进行计算． 【解答】解：∵五边形ABCDE的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， 而五边形ABCDE的内角都相等， ∴∠E＝∠EDC＝∠C＝＝108°， ∵∠1+∠2+∠E＝180°，∠2+∠4+∠C＝180°， 而∠1＝∠5，∠3＝∠4， ∴∠6+∠3＝180°﹣108°＝72°， ∴x＝∠EDC﹣（∠1+∠3）＝108°﹣72°＝36°． 故答案为36°． 13．（3分）如图，B，D，E为⊙O上的三个点，OE⊥OB，交OE的延长线于点C，连接BE，则∠BED的度数为 　15°　 ． 【分析】连接OD，利用切线的性质可得∠ODC＝90°，从而可求出∠DOC＝60°，根据垂直定义可得∠BOC＝90°，从而求出∠BOD＝30°，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【解答】解：连接OD， ∵CD与⊙O相切于点D， ∴∠ODC＝90°， ∵∠OCD＝30°， ∴∠DOC＝90°﹣∠OCD＝60°， ∵OC⊥OB， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝30°， ∴∠BED＝∠BOD＝15°， 故答案为：15°． 14．（3分）育英学校四初三年级共有8个班级的324名学生需要进行疫苗接种，各班学生人数如表所示： 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 7班 8班 人数 41 37 39 43 42 38 41 43 若已经有7个班级的学生完成了疫苗接种，且已经完成接种的男生、女生的人数之比为3：4，则还没有接种的班级可能是　2班．　 ． 【分析】根据已经完成接种的男生、女生的人数之比为3：4，故接种了的人数为7的倍数即可判断． 【解答】解：∵已经完成接种的男生、女生的人数之比为3：4， ∴已经完成接种的人数为8的倍数． ∴去掉2班的时候，其他7个班相加为287，故可能为4班没有完成接种． 故答案为：2班． 15．（3分）《九章算术》其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，大意是，今有一圆柱形木材，不知其大小，用锯去锯这木材，锯道AB长1尺（1尺＝10寸），问圆形木材的直径是　26　 寸． 【分析】连接OA、OC，由垂径定理得AC＝BC＝AB＝5寸，连接OA，设圆的半径为x寸，再在Rt△OAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半径，进而直径可求． 【解答】解：连接OA、OC 由题意得：C为AB的中点， 则O、C、D三点共线， ∴得AC＝BC＝AB＝5（寸），设圆的半径为x寸． 在Rt△OAC中，由勾股定理得：55+（x﹣1）2＝x7， 解得：x＝13． ∴圆形木材的直径为13×2＝26（寸）． 故答案为：26． 16．（3分）某校航模小组的同学正在为即将开始的航模比赛做最后的准备．已知准备工作共有A，B，C，D，E，F，G，H，M，N十项工序，准备工作完成过程需要满足以下要求： （1）H只能在A、B、C工序均完成后才能完成； （2）M只能在C、D、E工序均完成后才能完成； （3）其余每项工序相互独立，之间没有干扰； （4）一项工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序． 各项工序所需时间如表所示： 工序 A B C D E F G H M N 所需时间/分钟 18 15 16 6 7 5 8 3 2 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成准备工作，则至少需要 　21　 分钟才能全部完成；若要在最短的时间内合作完成准备工作，则最少需要 　4　 名学生共同参与． 【分析】将所有工序需要的时间最少时间由最长工序时间决定，完成过程需要满足条件可知：可知需要先完成A，再完成H，然后再合理安排其他时间即可． 【解答】解：由题意得：可知需要先完成A，再完成H；若要在最短的时间内合作完成准备工作，具体安排如下： 故答案为：21，4， 三、解答题（本大题共52分，第17、18、19、21题，每题5分；第20、22、23题，每题6分；第24、25题，每题7分） 17．（5分）计算：． 【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝4+5﹣2 ＝4+1﹣2 ＝1． 18．（5分）已知a+b﹣1＝0，求代数式的值． 【分析】由已知得出a+b＝1，再将分式化简得出，然后代入求值即可． 【解答】解：∵a+b﹣1＝0， ∴a+b＝4， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2． 19．（5分）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，DF⊥BC，垂足为F，DG＝FC． （1）求证：四边形DFCG是矩形； （2）若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5 【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，再证明四边形DFCG是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论； （2）证明△BDF是等腰直角三角形，得BF＝DF＝3，则BC＝BF+FC＝8，再由三角形中位线定理求出DE＝4，然后由矩形的性质得CG＝DF＝3，∠G＝90°，则EG＝DG﹣DE＝1，进而由勾股定理求出CE的长，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵D，E分别为AB， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∵DG＝FC， ∴四边形DFCG是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∴平行四边形DFCG是矩形； （2）解：∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴△BDF是等腰直角三角形， ∴BF＝DF＝3， ∵DG＝FC＝5， ∴BC＝BF+FC＝7+5＝8， 由（1）可知，DE是△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝4，∠G＝90°， ∴EG＝DG﹣DE＝3﹣4＝1， ∴CE＝＝＝， ∵E为AC的中点， ∴AC＝3CE＝2． 20．（6分）已知直线l1：y＝x﹣1与x轴、y轴的交点为A，B，现将直线l1沿着y轴进行翻折，得到直线l2，与x轴交点为C． （1）求直线l2的解析式； （2）在坐标轴上是否存在点D，使得，如果存在；若不存在，说明理由； （3）直线l1与直线l2在x轴上方的图象形成图形W，若直线l3：y＝mx+m+1（m≠0）与图形W只存在一个交点，直接写出m的取值范围？ 【分析】（1）依据题意，由直线l1为y＝x﹣1，且将直线l1沿着y轴进行翻折，则根据关于y轴对称的点的特征可得，直线l2为y＝﹣x﹣1，从而可以得解； （2）依据题意，作出直线l1：y＝x﹣1，直线l2：y＝﹣x﹣1的图象，从而A（1，0），B（0，﹣1），C（﹣1，0），可得S△ABC＝AC•OB＝×2×1＝1，又D在坐标轴上，且＝，则D只能在y轴上，从而可设D（0，d），故S△OAD＝OA•OD＝×1×|d|＝，可得d＝±1，进而可以得解； （3）依据题意，由l3为y＝mx+m+1＝m（x+1）+1，从而当x＝﹣1时，y＝1，故l3：y＝mx+m+1必过（﹣1，1），又在同一坐标系中画出l1、l2、l3，当l3：y＝mx+m+1经过A（1，0），则m＝﹣，又直线l3：y＝mx+m+1（m≠0）与图形W只存在一个交点，从而结合图象可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵直线l1为y＝x﹣1，且将直线l2沿着y轴进行翻折， ∴根据关于y轴对称的点的特征可得，直线l2为y＝﹣x﹣1； （2）存在点D（4，1）或（0，理由如下： 由题意，作出直线l7：y＝x﹣1，直线l2：y＝﹣x﹣3的图象如下： ∴A（1，0），﹣4），0）， ∴S△ABC＝AC•OB＝． ∵D在坐标轴上，且＝， ∴D只能在y轴上， ∴可设D（0，d）， ∴S△OAD＝OA•OD＝． ∴d＝±1． ∴D（2，1）或（0； （3）由题意，∵l5为y＝mx+m+1＝m（x+1）+8， ∴当x＝﹣1时，y＝1． ∴l7：y＝mx+m+1必过（﹣1，5）． 在同一坐标系中画出l1、l2、l5如下： 当l3：y＝mx+m+1经过A（6，0）， ∴m+m+1＝3． ∴m＝﹣． ∵直线l5：y＝mx+m+1（m≠0）与图形W只存在一个交点， ∴结合图象可得，﹣6＜m≤﹣． 21．（5分）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标．某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准N），并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息： a．标准M下的实测续航里程数据304.8，355.8，278.2，303.7，307.9，345，363.2（单位：km）； b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1）； c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：km）（图2）． 不同标准下实测续航里程统计表（单位：km） 标准M下实测续航里程 标准N下实测续航里程 平均数 320.5 316.6 中位数 a b 根据信息回答以下问题： （1）补全图2； （2）不同标准下实测续航里程统计表中，a＝　307.9　 ，判断a与b的大小关系为a　＜　 b（填“＞”，“＝”或“＜”）． （3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比”）越高越好，如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，符合他要求的车型所对应的点． 【分析】（1）根据题目中的信息，可以得到C组和D组的频数，从而可以将图2补充完整： （2）根据题目中的信息，可以得到a的值，b在哪一组，a和b的大小情况， （3）根据题意，可以将相应的车型选出来． 【解答】解：（1）由数据可得，在C组范围内的有4个数据， ∴补图如图所示：； （2）根据中位数是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列， ∴a＝307.9， 由题意可得，b在300～350之间即C组， ∴a＜b， 故答案为：307.7，＜； （3）∵续航里程达成比为y：x， ∴画出y＝0.75x的直线，再直线上方的点符合要求， 并且在标准N下，实测续航里程不低于300km的符合要求， 如图所示： 可知，共有2种车型可供其选择． 22．（6分）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律． （1）求函数自变量x的取值范围； （2）请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象； （3）已知点A（m，n）是函数图象上的点，若，求m的取值范围． x … … y … … 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件即可求解； （2）根据列表、描点、连线，作出图形即可； （3）根据函数的性质结合图形即可求解． 【解答】解：（1）∵2﹣x≥0， ∴x≤4， ∴函数自变量x的取值范围为x≤2； （2）列表： x … ﹣7 ﹣5 0 1 7 y … 3 2 1 0 描点，连线， （3）由函数图象可知，在自变量的取值范围内， 当时，，即当时，， 答：若时，m的取值范围是． 23．（6分）已知OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上两点，∠E＝20°． （1）如图1，求证直线AB是⊙O的切线； （2）如图2，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，连接EG，若⊙O的半径为4 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质，以及切线的判定定理即可得到结论； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到∠EDF＝∠BFC﹣∠DEF＝60°，由DG为⊙O的直径，可得∠DEG＝90°，DG＝8，得到∠G＝30°，推出，最后根据勾股定理进行求解即可． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵∠E＝20°， ∴∠BOC＝2∠E＝40°， ∵OA＝OB，∠AOB＝80°， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝40°， ∴∠AOC＝∠BOC， ∴OC⊥AB， ∵OC是⊙O的半径， ∴直线AB是⊙O的切线； （2）解：∵∠DEF＝20°， ∵EC∥OA， ∴∠BFC＝∠AOB＝80°， ∵∠BFC为△DEF的一个外角， ∴∠EDF＝∠BFC﹣∠DEF＝80°﹣20°＝60°， 由题意可得：∠DEG＝90°，DG＝8， ∴∠G＝90°﹣∠EDF＝30°， ∴DE＝DG＝4， ∴EG＝＝＝4． 24．（7分）已知二次函数y＝x2+2mx+m﹣1． （1）若该二次函数图象经过原点（0，0），求该二次函数的顶点坐标； （2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； （3）若m＜0时，点A（n﹣4，p），B（2，q），C（n，p）都在这个二次函数图象上，求n的取值范围． 【分析】（1）已知函数图象过原点，将原点坐标代入函数解析式，求出m的值，再把函数化为顶点式，就能得到顶点坐标． （2）要证明函数图象与x轴总有两个公共点，只需计算判别式Δ，通过对Δ变形，利用平方数的非负性证明Δ＞0； （3）先根据抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出对称轴，进而得到m与n的关系，结合m＜0得到n的初步范围；再依据抛物线开口方向以及m﹣1＞q＞p，分析点B和点C到对称轴的距离关系，进一步确定n的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝x2+2mx+m﹣6过原点（0，0）， ∴代入得7＝m﹣1，解得m＝1． ∴y＝x6+2x＝（x+1）8﹣1， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣8）． （2）∵y＝x2+2mx+m﹣5， ∴Δ＝（2m）2﹣3（m﹣1）＝4m5﹣4m+4＝（6m﹣1）2+2． ∵（2m﹣1）4≥0， ∴Δ＝（2m﹣7）2+3＞2， 故函数图象与x轴总有两个公共点． （3）若m＜0时，点A（n﹣4，B（4，C（n，且m﹣1＞q＞p， 二次函数对称轴为x＝﹣m，点A（n﹣4、C（n， ∴对称轴为x＝n﹣8，即﹣m＝n﹣2． 由m＜0，得2﹣n＜0． ∵a＝1＞4，抛物线开口向上， ∴点B（2，q）到对称轴x＝n﹣2的距离|2﹣（n﹣2）|＝n﹣4， 点C（n，p）到对称轴距离为2． 由n﹣4＞2，得n＞8． 25．（7分）如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，BP，CP，连接PP'，BP'． （1）用等式表示BP'与CP的数量关系，并证明； （2）当∠BPC＝120°时， ①直接写出∠P'BP的度数为 　60°　 ； ②若M为BC的中点，连接PM，用等式表示PM与AP的数量关系 【分析】（1）利用SAS证明△ABP'≌△ACP，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°，再利用角度之间的转化对∠P'BP进行转化，∠P'BP＝∠4+∠7＝∠5+60°﹣∠8＝60°﹣∠6+60°﹣∠8，从而解决问题； ②延长PM到N，使PM＝MN，连接BN，CN，得出四边形PBNC为平行四边形，则BN∥CP且BN＝CP，再利用SAS证明△P'BP≌△NBP，得PP'＝PN＝2PM． 【解答】解：（1）BP'＝CP， 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠2+∠3＝60° ∵将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP'， ∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°， ∴∠4+∠2＝60°， ∴∠1＝∠4， ∴△ABP'≌△ACP（SAS）， ∴BP'＝CP； （2）①当∠BPC＝120°时， 则∠8+∠6＝180°﹣∠BPC＝60°， ∵△ABP'≌△ACP， ∴∠4＝∠5， ∴∠P'BP＝∠4+∠3 ＝∠5+60°﹣∠8 ＝60°﹣∠7+60°﹣∠8 ＝120°﹣（∠6+∠5） ＝120°﹣60° ＝60°， 故答案为：60°； ②AP＝2PM，理由如下： 延长PM到N，使PM＝MN，CN， ∵M为BC的中点， ∴BM＝CM， ∴四边形PBNC为平行四边形， ∴BN∥CP且BN＝CP， ∴BN＝BP'，∠9＝∠8， 又∵∠8+∠6＝60°， ∴∠7+∠9＝60°， ∴∠PBN＝60°＝∠P'BP， 又∵BP＝BP，P'B＝BN， ∴△P'BP≌△NBP（SAS）， ∴PP'＝PN＝2PM， 又∵△APP'为正三角形， ∴PP'＝AP， ∴AP＝6PM． 26．在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d．则称点P为图形W的“倍点”． （1）如图1，图形W是半径为1的⊙O． ①图形W上任意两点间的距离的最大值d为 　2　 ； ②在点P1（0，2），P2（3，3），P3（﹣3，0）中，⊙O的“倍点”是 P3 ； （2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，点A（﹣1，1）（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，求t的值； （3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在线段MN的“倍点” 【分析】（1）①根据定义解答可；②分别找出P1Q、P2Q、P3Q的最大值，再根据定义判断即可； （2）正方形ABCD上的任意两点间的距离最大值为，若点E是正方形ABCD的“倍点”，则点E到ABCD上点的最大距离好为4．结合图形即可求解； （3）分线段MN在⊙O内部和在⊙O外两种情况讨论即可求解． 【解答】解：（1）①∵图形W是半径为1的⊙O， 图形W上任意两点间的距离的最大值d为2． 故答案为：2； ②如图1，连接P2O并延长交⊙O于点E， ∵P5O＝， ≠2d， ∴P3不是⊙O的“倍点”； ∵P1到⊙O上各点连线中最大距离为2+7＝3≠2d， ∴P3不是⊙O的“倍点”； ∵P3到⊙O上各点连线中最大距离为3+2＝4＝2d， ∴P7是⊙O的“倍点”． 故答案为：P3． （2）如图2，在正方形ABCD中， 正方形ABCD上任意两点之间距离的最大距离， ∴， 由图可知当点E在如图所示的位置时，E是正方形ABCD的“倍点”， ∴， ∴t的值为：3或﹣4． （3）MN上d＝2，2d＝2， 当线段MN在⊙O外部时，EM＝4， ∴ET＝， ∴大⊙O的半径为6+， 同理，小⊙O的半径为6﹣， 点T所构成的图形是圆环，它的面积． 故答案为：24． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/21 22:53:24；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $