第八章立体几何初步解答题期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高一下数学必修第二册第八章立体几何期末复习讲义 目录 题型1：空间平行证明（线面平行、面面平行)… .1 题型2：空间垂直证明（线线垂直、线面垂直、面面垂直)…7 题型3：空间角计算（线面角、异面直线角、二面角）11 题型4：体积、距离与最值问题 .19 题型5：特殊几何体综合（正棱锥、圆锥、三棱台、堑堵、内切球) .26 题型6：翻折模型 .35 题型1：空间平行证明（线面平行、面面平行） 解题思路 线面平行判定 ①中位线法：取中点构造三角形中位线，证线线平行： ②平行四边形法：构造一组对边平行且相等的四边形： ③面面平行推线面平行：两平面平行，面内直线平行另一平面。 面面平行判定 平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，两面平行。 常用模型：中点构造、棱柱/棱锥中位线、平行四边形、圆锥中位线 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且 PA=PD,侧面PAD⊥平面ABCD, (1)设M,N分别为PD,BC的中点，求证：MN∥平面PAB; PO (2)设pD-24D'在线段PD上是否存在一点D,使得A01PC?若存在，求出QD的 值；若不存在，请说明理由 【答案】（1)证明见详解 (2)存在， P0-1 OD 【解析】【1】取PA的中点E,连接ME,BE, 因为E,M分别为PA,PD的中点，则ME∥AD,AD=2ME, 又因为N为BC的中点，且ABCD是正方形，则BN∥AD,AD=2BN, 可得ME∥BN,且ME=BN,可知BNME为平行四边形，则MN∥BE, 且MNC平面PAB,BEC平面PAB,所以N∥平面PAB 【2】因为ABCD是正方形，则CD⊥AD, 且侧面PAD⊥平面ABCD,侧面PAD∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 可知CD⊥平面PAD,由AQC平面PAD,可得AQ⊥CD, 且AQ⊥PC,PCOCD=C,PC,CDC平面PCD, 所以AQL平面PCD,由PDC平面PCD,可得Ag⊥PD, 反之，若AQ1PD,同理可证AQ⊥平面PCD,即可得AQ⊥PC, 所以AO⊥PC等价于AQ⊥PD, D 不妨设AD=2,则PA=PD=4,可知边AD上的高为h=V42-I?=√5， 色aPAD的面积可行2×2xV5=4Qx4,解得40= 则QD=VAD2-A0= 2, 41 所以在线段PD上是存在一点Q,使得 ,此时QD 2=7 1 AQ⊥PC 2 2.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，AC⊥BC,E、F 分别为AB、BC的中点. (1)证明：EF∥平面PAC: (2)证明：平面PEF⊥平面PBC: (3)若AC=3,二面角P-BC-A的大小为30°，求PA. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)2 【解析】(1) 因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF∥AC, 又因为EF文平面PAC,ACc平面PAC,所以EF∥平面PAC. (2)因为PB=PC,F为BC的中点，所以PF⊥BC, 因为AC⊥BC,EFIIAC,所以EF⊥BC, 又PF∩EF=F,PE、EFc平面PEF,所以BC⊥平面PEF, 因为BCC平面PBC,所以平面PEF⊥平面PBC, (3) 因为PF⊥BC,EF⊥BC,所以∠PFE为二面角P-BC-A的平面角，则∠PFE=30° 面藏知，PF=V5,EF=) 在△PFE中，由余弦定理得PE2-PF2+EF2-2PF,EF·cos∠PFE, 所以PE=3+9-2x2x5x5_3 3 4 2 24,可得PE= 2, 在直角△ABC中，AB=V9+4=13, 又因 PB=2 BE=13 2,PE 号，所以Pg=PE+BE2:所以∠PEB=90 即PE⊥AB,因为E为AB的中点，所以PA=PB=2. 3.如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为AC、 PA的中点，连接DO并延长交圆O于点E. D (1)证明：AC⊥平面PDE: (2)证明：EF/1平面PBC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】【1】由题意，POL平面ABC,ACc平面ABC, 所以PO⊥AC, 由AB为圆锥PO底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知BC⊥AC, 因为D、分别为AC的中点，所以BCIIDE,则DE L AC, 又因为PO,DEC平面PDE,PO∩DE=D, 所以AC⊥平面PDE: 【2】连接DF,因为D、F分别为AC、PA的中点，所以DFPC, 又DFt平面PBC,PCC平面PBC,所以DF∥平面PBC, 同理可得DE∥平面PBC, 而DE∩DF=D,DE,DFC平面DEF, 所以平面DEF∥平面PBC,又EFc平面DEF, 所以EF∥平面PBC. 4.己知四棱锥S-ABCD如图所示，四边形ABCD为菱形，△SAD为等边三角形，点M,N 分别是线段SC,AB的中点. (1)求证：BM/1平面SWD; (2)若二面角S-AD-B为直二面角，AB=3,∠BAD=60°，求四面体CMBD的体积. 【答案】(1)证明见解析： 27 (2) 16 【解析】【1】取SD的中点P,连接MP,NP,由点M是线段SC的中点，得 MP//CD.MP-CD, 四边形ABCD为菱形，且N是线段AB的中点，则NB/CD/MP,NB=,CD=MP 于是四边形MPNB是平行四边形，BMIINP,又BM￠平面SWD,NPC平面SND, 所以BMII平面SND S 【2】取AD的中点O,连接SO,由△SAD为等边三角形，得SO L AD, 由二面角S-AD-B为直二面角，得平面SAD⊥平面ABCD,而平面SAD∩平面 ABCD=AD, S0cT面S4D:则s0L平商4CD:又5M=4D=AB=3于是0. 2 白点足线段心防点。得点M到平面BDC的距高质=弓0-35 2 4 菱形BCD中，B4D=60°，则ABDC为正三角形，ac3 BD=93 4 4 因此VM-BDc= h-x9y5x35-2 3 34416 7 所以四面体CMBD的体积是16 题型2：空间垂直证明（线线垂直、线面垂直、面面垂直） 解题思路 线线垂直 平面内：菱形对角线、正方形直角、直径所对圆周角、等腰三角形三线合一： 空间：线垂直平面，则垂直平面内全部直线。 线面垂直判定 直线垂直平面内两条相交直线；直棱柱侧棱⊥底面；面面垂直性质（交线垂线垂直 另一平面)。 面面垂直判定 一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直。 高频模型：翻折面面垂直、直棱柱、菱形/正方形底面棱锥 5.如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC 、 (1)证明：平面PBC⊥平面PAC (2)若AC=BC=PA,M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】(1)证明见解析 (2)√2 【解析】【1】证明：因为∠ACB=90°，所以AC⊥CB,又PA⊥底面ABC, 所以PA⊥CB,又AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC, 因为BCC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC: 【2】如图所示： 作AO⊥PC,连接OM,因为平面PBC⊥平面PAC,平面PBC∩平面PAC=PC, 所以AO⊥平面PBC,则∠AMO即为AM与平面PBC所成的角， 设AC=BC=PA=t,则AB=VZ,PB=VF, 所以AM=2,又AO-VQ 2 房以OM=-A0=是， 所以AM与平面PBC所成角的正切值为tan∠AO= A0=2. O 6.在正三棱柱ABC-ABC中，M,O分别为A4,BC的中点， A B M ○ 夕 (1)证明：MO∥平面ABC: (2)证明：MO⊥平面B,BCC. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 B M 【解析】【1】 B 取BC的中点D连接OD:4D因为0为BC的中点，所以OD/1CC且OD=CC, 又为AM,CC且AM=CG.所以OD且D=AM 所以四边形AMOD为平行四边形，所以MO∥AD,又因为MOt平面ABC,ADC 平面ABC,所以MO/I平面ABC 2】因ABC-ABC为直三棱柱，所以BB⊥平面ABC,因为ADc面ABC, 所以BB,⊥AD, 因为△ABC为等边三角形，所以AD L BC,又BB,∩BC=B,BB,BCC平面BBCC,所 以AD⊥平面BBCC,又MO∥AD,所以MO⊥平面B,BCC. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E 为线段PB的中点. (1)证明：AE⊥平面PBC: (2)求AC与平面PBC所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2)30 【解析】(1)因为PA=AB,E为线段PB的中点，所以AE⊥PB, 又PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形， 所以BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A, 又AB,PAC平面PAB,所以BC⊥平面PAB, 又AEC平面PAB,所以AE⊥BC,PB∩BC=B,PB,BCC平面PBC, 所以AE⊥平面PBC: (2)由(1)知，AE⊥平面PBC, 所以∠ACE为直线AC与平面PBC所成的角， 设PA=AB=BC=2,则AC=2√2，AE=√2， 在直角三角形EC中，sm∠ACE=二-点- AC2√22' 所以直线AC与平面PBC所成角为30°. 题型3：空间角计算（线面角、异面直线角、二面角） 解题思路 线面角 过斜线上一点作平面垂线，斜线与投影夹角：直角三角形求sin/tan。 异面直线所成角 平移直线至相交，取锐角，余弦定理计算。 二面角平面角 棱上取点，两面作棱垂线；利用等腰三角形、面面垂直找垂直关系构造平面角。 8.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，D,E分别为A4,BC的中点.AB=AC=2, BC=25,A4=2 C (1)求证：DE/平面ABC: (2)求直线CD与平面BCC,所成角的正切值. 【答案】(1)见解析 (2)2 【解析】【1】取BC的中点F,连结EF,AF, 因为E,F分别是BC,BC的中点，所以EP1CC,且F-CG. 4D1,1CC且AD=cG, 所以EF IIAD,且EF=AD,所以四边形ADEF是平行四边形， 所以DEIAF,DE4平面ABC,AFc平面ABC,所以DEII平面ABC, B 【2】因为平面BCC,B⊥平面ABC,且平面BCC,B,∩平面ABC=BC, 且AB=AC,点F是BC的中点， 所以AF L BC,所以AF⊥平面BCC,B, 又因为DEIAF,所以DEL平面BCC,B, 连结CE,∠DCE为CD与平面BCCB所成的线面角， 由4C=2'BC=2N3,得DE=AF=22-(V5=1,BC-V2+23=4, CE=)BG,=2,所以tan∠DCB=) 2 9.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,E为PD的中 点，点F在棱PC上，直线AE和直线BF相交 (1)求证：EF∥CD: (2)AD=DC=1,AB=2,PA=BC=2 (i)证明：BC⊥平面PAC； (ii)求直线AB与平面PBC所成的角 【答案】(1)见解析 (2)(i)见解析；(i)30° 【解析】(1)直线AE和直线BF相交，故A,B,F,E四点共面， 四棱锥P-ABCD中，AB/ICD,ABC平面ABFE, CD￠平面ABFE,故CDII平面ABFE, 因为平面PCD∩平面ABFE=EF,CDc平面PCD, 故EF∥CD. (2)(i)AB⊥AD,AB/ICD,故CD⊥AD, 故AC=VAD2+CD2=√2， 所以AB2=AC2+BC2,故BC⊥AC, 因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD, 故BC⊥PA,且PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, 故BC⊥平面PAC. (i)因为EF∥CD,E为PD的中点， 故F为PC的中点，且AC=PA=V2, 故AF⊥PC, 因为BC⊥平面PAC,AFC平面PAC, 故AF⊥BC,且PCOBC=C,PC,BCC平面PBC, 故AF⊥平面PBC, 故∠ABF是直线AB与平面PBC所成的角， 因为PA=AC=√2，PA⊥AC, 所以PC=2,AF=L, 所以sin∠ABF=A、1 =AB2,即∠ABF=30 故直线AB与平面PBC所成的角为30°. 10.如图，在四棱锥A-BCDE中，△ABC是正三角形，CD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC ,BE=BC=2CD=1,F是AD的中点 D E (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求直线ED与平面ACD所成角的正弦值： V6 【答案】(1)证明见解析 (2) 4 【解析】【1】取AC的中点M,连接BM、MF, 因为k是MAD的点，所以AFICD且AMF=CD. 又CDL平面ABC·BE1平面ABC所BE/CD又8E=CD-1, 所以MFI∥BE且MF=BE, 所以四边形BEFM为平行四边形，所以EFI∥BM, 又EF丈平面ABC,BMC平面ABC,所以EF∥平面ABC. F 【2】因为△ABC是正三角形，M为AC的中点，所以BM⊥AC, 又因为CD⊥平面ABC,BMC平面ABC,所以CD⊥BM, 又CD∩AC=C,CD,ACC平面ACD,所以BMI平面ACD, 由(I)知EF∥BM,所以EF⊥平面ACD, 所以∠EDF为ED与平面ACD所成的角， 因CDIIBE,又CD≠BE,所以四边形BCDE为直角梯形， 又BE=BC=2CD=L,所以ED=P+(2-1-2, 由I)知EF=BM=BCsin”=5 32 在 中，sin∠EDF= EF 2 Rt△DEF ED√24 6 所以直线ED与平面4CD所成角的正弦值为 ED 4 11.已知正四棱锥P-ABCD,M,N分别是BC,PD的中点. M (1)证明：CN/平面PAM; (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值. 715 【答案】(1)证明见解析 (2) 30 【解析】(1)取AP的中点为P,连接QM,QN, 由于N是PD中点，故QN/AD且QN-)AD, 又cM/in且CM=AD, 故CMI/QN,CM=QN,则四边形NQMC为平行四边形， 故CNI/QM,CN丈平面PAM,QMc平面PAM, 故CNII平面PAM M (2)由(1)知：CNI/QM,故∠AM0或其补角即为直线CN与AM所成角， 由于△PCD为边长为2的等边三角形，放OM=CN=3 ×2=V3, M=4B+BM=2+F=5,40PA-1, 故cos∠AM0=M2+0M-Ag-5+3-17N5 2AM·QM 2×V5×V330 V15 故直线CN与AM所成角的余弦值为 30 12.如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD L平面CDEF,DC∥EF,AB⊥BE, AD⊥DC,AB=DC=2,AD=1. (1)证明：AB∥DC: 1 (2)若直线BE与平面CDEF所成角的正切值为3，求直线AE与DC所成角的余弦值. V14 【答案】(1)证明见解析 (2) 1 【解析】(1)因为DCIEF,DC￠平面ABFE,EFc平面ABFE, 所以DC∥平面ABFE,又因DCC平面ABCD,平面ABCD∩平面ABFE=AB, 所以ABDC: (2)因为ABIIDC, 所以∠BAE为直线AE与DC所成的角或其补角，因为AB=DC=2,ABIIDC,所以 ABCD为平行四边形，所以ADIIBC,因为平面ABCD L平面CDEF,平面ABCD∩平面 CDEF=DC,AD⊥DC,ADC平面ABCD,所以AD⊥平面CDEF,则BC⊥平面 CDEF,连接CE,所以∠CEB为直线BE与平面CDEF所成的角， 则tan∠CEB三，可得sin∠CEB=V10 10,因BC=AD=1所以BE=VO 图为BLBE'B=2’所以4E=V14’可得cos∠BAE=24 V147, 14 所以直线 AE 与DC所成角的余弦值为 7 13.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”·在如图 所示的“堑堵”中，CA=CB=CC=2 B (1)求证：平面BCCB,⊥ACC,A (2)求二面角C-AB-C的正切值， 【答案】(1)证明见详解： (2)√2. 【解析】(1)因为CA=CB,且△ABC为直角三角形，所以CA⊥CB, 由直三棱柱定义可知，CC1平面ABC,因为BCC平面ABC,所以CC,⊥BC, 又因为CA∩CC,=C,CAc平面ACC4,CCC平面ACCA, 所以BC⊥平面ACCA,因为BCc平面BCCB,所以BCCB⊥ACCA. (2)因为CC⊥平面ABC,因为AC,BCC平面ABC,所以CC,⊥BC,CC LAC, 因为CA=CB=CC=2,所以AC=BC=2√2， 记AB的中点为E,则CE⊥AB,CE L AB，,所以∠CEC为二面角C-AB-C的平面角， 因为CC⊥平面ABC,因为ECc平面ABC,所以CC⊥EC, 因为CE=B=Bc+aC=25 2 所以an∠CEC=CC=2 =V5,即二面角C-AB-C的正切值为反 A B 题型4：体积、距离与最值问题 解题思路 休积公式：Vg号5h,Vw=5么VeeS,+SS+S】 3 等体积法：换底求点到平面距离： 距离转化：线面平行→线上任一点到平面距离=线面距离： 最值：设变量构建函数，二次函数、均值不等式求解。 14如图，在正六棱锥P-ABCDEF中，AB=2,PA=V3 (1)求棱锥的高和斜高； (2)求直线DE到平面PAB的距离： (3)若球O是正六棱锥P-ABCDEF的内切球，以底面正六边形ABCDEF的中心为圆 心，以内切球半径为半径的圆面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱锥P-ABCDEF的 内接几何体，求该几何体的侧面积. 【答案】(1)3,25 (2)3 (3)23-3)π 【解析】【1】作出棱锥的高PO',因为是正六棱锥，所以O'是底面的中心，连接O'C,可 知0'C=2. 在Rt△POC中，可知P0=VPC2-OC2=3. 设BC中点为M,由△PBC是等腰三角形可知，PM⊥BC,因此，PM是斜高， 从而PM=VPC2-MC2=2√5. 【2】因为DE/∥平面PAB,所以点D到平面的距离d就是直线DE到平面PAB的距离. 也Pn=rn每写xSand-x5SaxP0. 1 3 又因为aa=2x2×25=25,5a4m=号x2x2W5=2N5 所以d=PO'=3. 【3】设锥P-ABCDEF内切球与侧面PBC相切于H,可得H在PM上，连接OH.在 Rt△POM中，P0=3,OM=V5则PM=2V5,所以∠0PH- 61 设内切球的半径为r,由P0=2OH,可得3-r=2r,解得r=1.故所求几何体是底面半 径为1的圆柱. 在△POM中，在OM上取点N,使得O'N=1,过N作NR⊥OM,交PM于点R,作 RN MN RSI/OM:交oP于s'则：OpMO,故RN=3-V5 所以该几何体的侧面积为：23-3)π R M 15.如图，在平行四边形ABCD中，∠CBD=90°，沿其对角线BD将△BCD折起至△BCD ,使△BCD所在平面与平面ABCD垂直. (1)证明：平面BCD⊥平面ACD: (2)若E为CC上一点，AC'∥平面BDE,BC=BD=1,求直线AC到平面BDE的距 离 【答案】(1)证明见解析 2 (2)2 【解析】【1】证法一：因为∠CBD=90°，所以CB⊥BD, 因为平面BC'D⊥平面ABCD,平面BC'D∩平面ABCD=BD,CBC平面ABCD, 所以CB⊥平面BCD, 因为平行四边形ABCD,所以AD∥BC, 所以AD⊥平面BCD,因为ADc平面ACD,所以平面BCD⊥平面ACD, 证法二：因为∠CBD=90°，所以∠CBD=90°，即CB⊥BD, 因为平面BCD⊥平面ABCD,平面BCD∩平面ABCD=BD,C'Bc平面BC'D, 所以C'B⊥平面ABCD,因为ADC平面ABCD,所以C'B⊥AD, 因为平行四边形ABCD,所以AD∥BC, 所以∠ADB=∠CBD=90°，即AD⊥BD, 因为C'B∩BD=B,C'B,BDC平面BCD,所以AD⊥平面BC'D, 因为ADC平面ACD,所以平面BCD⊥平面ACD 【2】因为AC∥平面BDE,所以AC'到平面BDE的距离等于点C'到平面BDE的距离 连接AC交BD于点O,连接OE, 因为AC'∥平面BDE,AC'C平面AC'C,平面ACC∩平面BDE=OE, 所以AC∥OE, 因为O为AC中点，所以E为CC'的中点， 因为BC=BD=1,∠CBD=90°，所以CD=C'D=2, 在RtaC"BC中，C'B=1,BC=1,所以BE⊥CC',且CC=√2， 所以△DC'C为等边三角形，所以DE⊥CC,因为BEODE=E,BE,DEC平面BDE ，cC平ne所cE长为c开清gDe离丙%CR-号 2 2 所以AC到平面BDE的距离为2 B 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD,E,F 分别为侧棱PD,PC的中点，且PA=PD=AD=2. (1)求证：PB/1平面ACE: (2)求四棱锥P-ABFE的体积 √3 【答案】(1)见详解 (2) 2 【解析】(1)证明：连接BD,交AC于点O,连接OE, 在正方形ABCD中，O为BD的中点，又E为侧棱PD的中点， 所以在△PBD中，OE为△PBD的中位线，所以OE/IPB, 因为OEC平面ACE,PB文平面ACE,所以PB/I平面ACE (2)因为E,F分别为侧棱PD,PC的中点，所以EF为△PCD的中位线， 所以EF11CD:且EF-)CD, 2 在ABCD是正方形中，AB/ICD,AD=CD=2, 所以B1Br·且EF=CD=L, 2 所以四边形ABFE为梯形，又平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD⌒平面ABCD=AD ,在ABCD是正方形中，AD⊥CD,且CDC平面ABCD所以CD⊥平面PAD,又 AEc平面PAD,所以CD L AE,所以EF⊥AE,所以梯形ABFE为直角梯形：又 PA=PD=AD=2,E为侧棱PD的中点，所以AE=V3,且AE⊥PD,所以梯形 ABFE 面为5×a+4g4证+2到x5-35 2 21 由CD⊥平面PAD,又PDC平面PAD,所以CD⊥PD,所以EF⊥PD, 又EF∩AE=E,所以PD⊥平面ABFE,即PE⊥平面ABFE, 所以PE为袋p-ABE的商：且PE-号PD-L,分所陵p-E的体秋为 2 17.如图，由三棱锥P-ABC顶点P出发的三条棱两两垂直.设PA=a,PB=b,PC=c P (1)若a=b=c=2,求点P到平面ABC距离： (2)若△ABC的面积为8，二面角A-BC-P的大小为60°. (i)求△PBC的面积； (i)求三棱锥P-ABC体积的最大值. 23 【答案】(1) 3 2)0S=4画8 【解析】(1) 因Q=b=c=2,所以AB=AC=BC=22,SMc=25. 1 设P到平面ABC的距离为h则收c=Sach 25n. 3 3 1 心541×1×2×2×2号，所以分=、五=23 又Vr-ABc=3 -h= 32 3 3,所以P到平面 5 ABC的距离为 3· (2)(i)在三棱锥P-ABC中，过P作PD⊥BC于D,连接AD, 因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以APL平面PBC,故AP⊥BC. 又因为PD⊥BC,PD∩AP=P,所以BC⊥平面PAD,所以BC⊥AD, 因此∠ADP为二面角A-BC-P的平面角，所以∠ADP=60°，在直角△PAD中， 0=2PD国为5c号4D-C-2xPn-BC=25e=8.所5m=4 国在AP8C中，因%5nc=4.两以-g以aC-NG+C2版4 ,当且仅当6=G=25时等号成立.又因为Sc-8C,PD=4,所以PD=8≤2， 2 BC 在直角aPD市P=5PDs3:所8度-，m4s8 ，当且仅当 b=c=2√2时等号成立. 8V3 综上，三棱锥P-ABC体积的最大值为)， 题型5：特殊几何体综合（正棱锥、圆锥、三棱台、堑堵、内切球) 解题思路 正棱锥：顶点与底面中心连线为高，侧面等腰三角形的高为斜高：内切球用体积分 圆锥：底面直径对应直角，中点连线平行底面： 堑堵：底面直角三角形直三棱柱，自带垂直条件： 三棱台：由三棱锥截取，上下底面相似，面积比=相似比平方。 18.在三棱台ABC-AB,C中，AB=AC=2BC=6B,C,=6,∠ABA=∠ABC=60°. (1)证明：平面ABB,AL平面ABC: (2)若三棱锥4-ABC的体积是9，求三棱台ABC-AB,C的体积； (3)求二面角A-BC-A的正切值 【答案】(1)证明见解析 (2)13 (3)2 【解析】【1】证明：过A作AO1AB,交AB于点O,连接C0, 在Rta4OB中，40=4Bsin∠AB0=6x5=35. 2 OB=ABc0s∠AB0=6×=3. 2 在△OBC中，OB=BC=3,∠OBC=60°，所以△OBC为正三角形，所以OC=3, 在△A,0C中，AC=6,40=3V3,0C=3,所以A0+0C2=AC2,所以A010C. 又AO⊥AB,AB∩OC=O,ABC平面ABC,OCc平面ABC,所以AO⊥平面平面ABC, 又AOC平面ABBA,所以平面ABBA上平面ABC B 【2】设三棱台ABC-AB,C的高为h,△ABC的面积为S, V三棱锥A-ABc 5xh=9@ 1 13x9=13 将②代入①得V三棱台1BC-48G= 【3】因为AB=AC,M为BC的中点，所以AM⊥BC, 因为△OBC为正三角形，M为BC的中点，所以OM⊥BC. 所以∠AM0是二面角A-BC-A的一个平面角. tan∠AMo=AO -A0 3V5 =2 在 中， OM OCsin nπ3v3 Rt△AOM 3 2 即二面角A-BC-A的的正切值为2. 19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=2,BC=2√2，PB=PC=V6,BP ,AP,BC,AC的中点分别为D,E,O,F,AD=5OD, (1)证明：EF/平面ADO: (2)证明：AO⊥平面BEF,并求AB与平面BEF所成的角的正弦值； (3)若∠POF=120°，求三棱锥P-ABC的体积 6 2V6 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解； (3) 3 【解析】(1) 证明：设AO,BF相交于点M,AD,BE相交于点N, BP,AP,BC,AC中点分别为D,E,O,F, 所以M,N分别为△ABC,△ABP的重心， -心-2，EFMx:月理司特D0w 所以MFNE 又MNC平面ADO,EF丈平面ADO,所以EFII平面ADO. (2)证明：由(I)知M,N分别为△ABC,△ABP的重心， 在A1Bc中，m-2'C=25:所以M-号40-号42-2 3 AC=2.c0s4=4B3 AC-3 BF=1 AC=, BM-2BF-23 3’BM2+AM2=AB2,即 M⊥BM'AO⊥BM tA0o.0-60-c-乎40-5on ∴.AO+OD=AD2,即AO⊥OD,又D0/1MN,所以AO⊥MN, 又MN∩BM=M.MN,BMC平面BEF,所以AO⊥平面BEF, 即AM⊥平面BEF,所以∠ABM就是AB与平面BEF所成角， 2v6 sin∠ABM=4M-3= 6,即 与平面 所成的角的正弦值√6 AB 23 AB BEF 3 (3)过P作PH⊥OF交OF延长线于H, PB=PC,O是BC中点，.PO⊥BC,PO=√PB2-BO2=V6-2=2, 又O,F是BC,AC中点，所以OF1IAB,又AB⊥BC,所以OF⊥BC,又 PO∩OF=O,PO,OFC平面POF,所以BC⊥平面POF,又PHc平面POF,所以 BC⊥PH,又PH⊥OF,BC∩OF=O,BC,OFC平面ABC,所以PH⊥平面ABC, 即PH为三棱锥P-ABC的高，：∠POF=120°， ∠P0H=60.PH=P0sim∠P0H=2x5-V5, 2 m8mm-22x5-25 3 20.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=V2,AC=BC=2,M是 PB的中点 (1)求三棱锥P-ABC的表面积； (2)求二面角M-AC-B的平面角的正弦值 【答案】(1)6+V2+4 √5 (2) 3 【解析】【1】因为PA⊥平面ABC,BCC平面ABC 所以PA⊥BC.又因为AC⊥BC,AC∩PA=A,AC,PAC面PAC, 所以BC⊥面PAC.又PCC面PAC,所以BC⊥PC 又因为PA⊥平面ABC,ABC平面ABC,.PA⊥AB,: AC⊥BC,PA=V2,AC=BC=2所以AB=2V2,PC=V6 前5e方*2x5=反.5c=x2x2=2 Sw-2ix5-2,5mx2x6-6 所以三棱锥P-ABC的表面积S=√6+√2+4 【2】取AC中点N,取AB中点E,连接MN,ME,EN, 由知PC1BC·“M是pB的中点，在aPCB中，MC= PB 2 又PA⊥HB'在RtAP APB中，MAPB,所以MC=M 2 所以MN⊥AC又因为NE/IBC,AC⊥BC所以NE⊥AC 又因为面MAC∩面ABC=AC所以∠MNE为二面角M-AC-B的平面角 在Rt 1=号，EN-8C=LwN- MEv中，ME=PA=巨. 2 2 2,所以 sin∠MWE= ME3 MN 3 M 21.已知直三棱柱ABC-AB,C,AB⊥AC,D,E分别是边AB,BC的中点， E B B D (1)证明：DE/1平面ACC4: 4 (2)若三棱锥C,-ACB体积为3，且AB=2:设BC,与平面ACCA形成的线面角为0' 求tan&的最大值 2 【答案】(1)证明见解析 (2) 2 【解析】【1】证法一：取AC中点F,连接EP,A,则EF为△ABC中位线， 所以EFL)AB又ADI)AB,所以EFAD 从而四边形ADEF为平行四边形，所以DE/IAF 又因为AFc面ACCA,DE不在平面ACCA内， 所以DE1/面ACCA B 证法二：取BC中点F,连接EF,DF,则DF为AABC中位线 所以DF/IAC在三棱柱ABC-ABC中，C,E11CF且CE=CF所以四边形CCFE为平行 四边形，所以EFI/CC因为EF∩DF=F且EF,DFc平面DEF又AC∩CC=C且 AC,CC,C平面ACCA所以平面DEF I/平面ACCA又DEc平面DEF,所以DE/平 面ACC,A C E B D 【2】由题可知AA⊥AB,AB上AC,AA∩AC=A所以AB⊥面AACC因为三棱锥 G-AC8时三发能8-4CC所以4ceA侣-号 所以AB×AC×AA=8,即AC×AA=4连接AC,则∠BCA为BC与平面ACCA所成 的角O,且BA⊥AC B D AB 2 tan 0 AC VAC2+A4由均值不等式AC2+A42≥2AC.A4=8 2 所以tanb= 2√2 ≤ VAC2+A4282 (当且仅当AC=AA 时等式成立) 2 故tang的最大值为2 题型6：翻折模型 解题思路 不变量：线段长度、同一平面内角度： 变化量：二面角、空间距离： 核心：折叠后利用面面垂直性质作垂线，先看平面原图垂直关系。 22.如图所示，矩形ABCD中，AB=3,BC=4.E、F分别在线段BC和AD上， AB/IEF,将矩形ABEF沿EF折起记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面 ECDF A D B E (1)求证：WC/1平面MFD: (2)若EC=3,求证：ND⊥FC: (3)求四面体WFEC体积的最大值 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 (3)2 【解析】【1】证明：：四边形MNEF,ECDF都是矩形， .MNI/EFI/CD,MN=EF=CD,.四边形MNCD是平行四边形， .NC/IMD,:NC丈平面MFD,:NCII平面MFD; 【2】证明：连接ED,设ED∩FC=O,:平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF, NE⊥平面ECDF,.NE⊥FC,又EC=AB=3,四边形ECDF为正方形， FC⊥ED, .FC⊥平面NED,又NDc平面NED,.ND⊥FC, 【3】解：设NE=x,则EC=4-x,其中0<x<4,由(1)得NE⊥平面FEC,四面 体NFEC的体积为： mcE=x4--(44--(-2+4 x=2时，四面体NFEC的体积最大，其最大值为2. M *下 23.如图1，在菱形ABCD中，△ABD是边长为2等边三角形，将△ABD沿对角线BD翻 折至△PBD的位置，得到图2所示的三棱锥P-BCD D 图1 图2 (1)证明：BD⊥PC: (2)若二面角P-BD-C的平面角为60°，求直线PB与平面BCD所成角的正弦值， 3 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】【1】取BD的中点为O,连接PO、OC,由ABCD为菱形，所以PO⊥BD, CO⊥BD,又PO∩CO=O,PO,COc平面POC,所以BDL平面POC, 又PCc平面POC,所以BD⊥PC: D D B 【2】过点P作PH⊥OC于点H,连接BH,由(1)BDI平面POC,又PHc平面 POC,所以BD⊥PH,又BDOC=O,BD,OCC平面BDC,所以PH⊥平面 BDC,所以∠PBH为直线PB与平面BCD所成角，由(1)可知PO⊥BD,CO⊥BD, 所以∠POC为二面角P-BD-C的平面角，所以∠POC=60°， 在RtPOH,P0=5:∠POC-60所以PH=POsinP∠0C=5x5-3 229 又PB=2'所以sim∠PBH=PH-3 PB=4,所以直线pB与平面BCD所成角的正弦值为4高一下数学必修第二册第八章立体几何期末复习讲义 目录 高一下数学必修第二册第八章立体几何期末复习讲义.1 题型1：空间平行证明（线面平行、面面平行） 题型2：空间垂直证明（线线垂直、线面垂直、面面垂直）3 题型3：空间角计算（线面角、异面直线角、二面角） 4 题型4：体积、距离与最值问题 .7 题型5：特殊几何体综合（正棱锥、圆锥、三棱台、堑堵、内切球）9 题型6：翻折模型 .11 题型1：空间平行证明（线面平行、面面平行) 解题思路 线面平行判定 ①中位线法：取中点构造三角形中位线，证线线平行： ②平行四边形法：构造一组对边平行且相等的四边形： ③面面平行推线面平行：两平面平行，面内直线平行另一平面。 面面平行判定 平面内两条相交直线分别平行于另一个平面，两面平行。 常用模型：中点构造、棱柱/棱锥中位线、平行四边形、圆锥中位线 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等腰三角形，且 PA=PD,侧面PAD⊥平面ABCD (1)设M,N分别为PD,BC的中点，求证：MN∥平面PAB; PO (2)设pD-24D'在线段PD上是否存在一点D,使得A01PC?若存在，求出QD的 值；若不存在，请说明理由 2.如图，在三棱锥P-ABC中，侧面PBC是边长为2的等边三角形，AC⊥BC,E、F 分别为AB、BC的中点. D B (1)证明：EF∥平面PAC: (2)证明：平面PEF⊥平面PBC: (3)若AC=3,二面角P-BC-A的大小为30°，求PA. 3.如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，D、F分别为AC、 PA的中点，连接DO并延长交圆O于点E. (1)证明：AC⊥平面PDE: (2)证明：EF//平面PBC. 4.已知四棱锥S-ABCD如图所示，四边形ABCD为菱形，△SAD为等边三角形，点M,N 分别是线段SC,AB的中点 (1)求证：BM//平面SND: (2)若二面角S-AD-B为直二面角，AB=3,∠BAD=60°，求四面体CMBD的体积. 题型2：空间垂直证明（线线垂直、线面垂直、面面垂直） 解题思路 线线垂直 平面内：菱形对角线、正方形直角、直径所对圆周角、等腰三角形三线合一： 空间：线垂直平面，则垂直平面内全部直线。 线面垂直判定 直线垂直平面内两条相交直线；直棱柱侧棱⊥底面：面面垂直性质（交线垂线垂直 另一平面)。 面面垂直判定 一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直。 高频模型：翻折面面垂直、直棱柱、菱形正方形底面棱锥 5.如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC (1)证明：平面PBC⊥平面PAC (2)若AC=BC=PA,M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 6.在正三棱柱ABC-ABC中，M,O分别为A4,BC的中点， A B B (1)证明：MO∥平面ABC: (2)证明：MO⊥平面B,BCC. 7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E 为线段PB的中点。 D E B (1)证明：AE⊥平面PBC: (2)求AC与平面PBC所成角的大小. 题型3：空间角计算（线面角、异面直线角、二面角） 解题思路 线面角 过斜线上一点作平面垂线，斜线与投影夹角：直角三角形求sin/tan。 异面直线所成角 平移直线至相交，取锐角，余弦定理计算。 二面角平面角 棱上取点，两面作棱垂线：利用等腰三角形、面面垂直找垂直关系构造平面角。 8.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，D,E分别为AA,BC的中点.AB=AC=2, BC=2V3,A4=2 C E (1)求证：DE/平面ABC: (2)求直线CD与平面BCC所成角的正切值. 9.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥DC,E为PD的中 点，点F在棱PC上，直线AE和直线BF相交 E B (1)求证：EF∥CD: (2)若AD=DC=1,AB=2,PA=BC=√2 (i)证明：BC⊥平面PAC； (i)求直线AB与平面PBC所成的角： 10.如图，在四棱锥A-BCDE中，△ABC是正三角形，CD⊥平面ABC,BE⊥平面ABC ,BE=BC=2CD=l,r是AD的中点 B (1)求证：EF∥平面ABC: (2)求直线ED与平面ACD所成角的正弦值. 11.已知正四棱锥P-ABCD,M,N分别是BC,PD的中点. D M B (1)证明：CN/平面PAM;, (2)若四棱锥各棱长均为2，求直线CN与AM所成角的余弦值. 12.如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD L平面CDEF,DC∥EF,AB⊥BE, AD⊥DC,AB=DC=2.AD=1. E (1)证明：AB/DC: (2)若直线BE与平面CDEF所成角的正切值为3，求直线AE与DC所成角的余弦值. 13.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”·在如图 所示的“堑堵”中，CA=CB=CC=2 B B (1)求证：平面BCCB,⊥ACC,A (2)求二面角C-AB-C的正切值， 题型4：体积、距离与最值问题 解题思路 体积公式：V号5人，Vn=5g九Vem5,+5,5+S, 等体积法：换底求点到平面距离： 距离转化：线面平行→线上任一点到平面距离=线面距离： 最值：设变量构建函数，二次函数、均值不等式求解。 14.如图，在正六棱锥P-ABCDEF中，AB=2,PA=√13 (1)求棱锥的高和斜高： (2)求直线DE到平面PAB的距离： (3)若球O是正六棱锥P-ABCDEF的内切球，以底面正六边形ABCDEF的中心为圆 心，以内切球半径为半径的圆面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱锥P-ABCDEF的 内接几何体，求该几何体的侧面积 15.如图，在平行四边形ABCD中，∠CBD=90°，沿其对角线BD将△BCD折起至△BCD ,使△BCD所在平面与平面ABCD垂直， (1)证明：平面BCD⊥平面ACD: (2)若E为CC'上一点，AC'∥平面BDE,BC=BD=1,求直线AC'到平面BDE的距 离 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD,E,F 分别为侧棱PD,PC的中点，且PA=PD=AD=2. D B (1)求证：PB/平面ACE； (2)求四棱锥P-ABFE的体积 17.如图，由三棱锥P-ABC顶点P出发的三条棱两两垂直.设PA=a,PB=b,PC=C (1)若a=b=c=2,求点P到平面ABC距离： (2)若△ABC的面积为8，二面角A-BC-P的大小为60°. (i)求△PBC的面积； (i)求三棱锥P-ABC体积的最大值. 题型5：特殊几何体综合（正棱锥、圆锥、三棱台、堑堵、内切球） 解题思路 正棱锥：顶点与底面中心连线为高，侧面等腰三角形的高为斜高：内切球用体积分 V-5a'r; 圆锥：底面直径对应直角，中点连线平行底面； 堑堵：底面直角三角形直三棱柱，自带垂直条件： 三棱台：由三棱锥截取，上下底面相似，面积比=相似比平方。 18.在三棱台ABC-AB,C1中，AB=AC=2BC=6B,C=6,∠ABA=∠ABC=60° (1)证明：平面ABBA上平面ABC (2)若三棱锥A-ABC的体积是9，求三棱台ABC-ABC的体积： (3)求二面角A-BC-A的正切值 19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,AB=2,BC=2N2,PB=PC=V6,BP ,AP,BC,AC的中点分别为D,E,O,F,AD=V5OD, (1)证明：EF/平面AD0: (2)证明：AO⊥平面BEF,并求AB与平面BEF所成的角的正弦值： (3)若∠POF=120°，求三棱锥P-ABC的体积 20.如图，在三棱锥P-ABC中，PA1底面ABC,AC⊥BC,PA=V2,AC=BC=2,M是 PB的中点 M B (1)求三棱锥P-ABC的表面积； (2)求二面角M-AC-B的平面角的正弦值， 21.已知直三棱柱ABC-AB,C,AB⊥AC,D,E分别是边AB,B,C的中点 C B B D (1)证明：DE/1平面ACCA: 4 (2)若三棱锥C,-ACB体积为3，且AB=2:设BC,与平面ACC,A形成的线面角为0' 求tan&的最大值， 题型6：翻折模型 解题思路 不变量：线段长度、同一平面内角度： 变化量：二面角、空间距离： 核心：折叠后利用面面垂直性质作垂线，先看平面原图垂直关系。 22.如图所示，矩形ABCD中，AB=3,BC=4.E、F分别在线段BC和AD上， ABIIEF,将矩形ABEF沿EF折起记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面 ECDF A F D F B E (1)求证：NC/平面MFD: (2)若EC=3,求证：ND⊥FC: (3)求四面体WFEC体积的最大值 23.如图1，在菱形ABCD中，△ABD是边长为2等边三角形，将△ABD沿对角线BD翻 折至△PBD的位置，得到图2所示的三棱锥P-BCD D D 图1 图2 (1)证明：BD⊥PC: (2)若二面角P-BD-C的平面角为60°，求直线PB与平面BCD所成角的正弦值