第十章概率 期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教版高一数学必修第二册第十章 概率期末复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：事件的关系与运算（互斥、对立、包含事件判断） 解题方法 1. 互斥事件：两事件不能同时发生，； 1. 对立事件：互斥且并集为样本空间，； 1. 包含：，发生则一定发生。 知识点2：古典概型基础（枚举基本事件、简单概率计算） 解题方法 1. 总基本事件数、符合条件事件数全部枚举； 1. ； 1. 不放回/有放回摸球、掷骰子、取鞋类基础计数。 知识点3：概率加法公式（互斥事件加法、一般加法） 解题方法 1. 互斥：； 1. 通用公式：。 知识点4：独立事件定义与判定（独立事件概率、判断两事件独立） 解题方法 1. 独立判定：； 1. 多独立事件同时发生概率为各概率相乘； 1. 独立≠互斥，区分两类概念。 知识点5：随机化敏感性调查（分层估算总体概率） 解题方法 1. 两类问题被抽到概率均等； 1. 先计算无关问题回答“是”的期望人数，剩余“是”对应敏感问题，求比例。 知识点6：独立重复试验、多轮分步概率（投篮、多轮抽奖、两人多轮答题） 解题方法 1. 分情况列举所有符合题意的独立分支； 1. 每种情况概率相乘，互斥情况相加； 1. 对立简化：至少一个发生=1-全部不发生。 知识点7：随机模拟（随机数估计概率） 解题方法 按规则筛选符合条件的随机数组，用频率估计概率。 知识点8：分层随机抽样均值、方差计算 解题方法 分层均值加权平均；分层方差套用分层方差公式计算。 知识点9：综合解答（概率综合：样本空间书写、游戏公平性、分层统计、决策类概率） 解题方法 1. 写出完整样本空间； 1. 分别计算双方获胜概率，比较判断公平； 1. 多条件概率分情况讨论，结合独立、互斥公式； 1. 概率大小比较，给出最优选择方案。 2、 分知识点对应习题 知识点1：事件的关系与运算（互斥、对立、包含事件判断） 1. 某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A 三次都没有中靶 B. 三次都中靶 C. 至多一次中靶 D. 只有一次中靶 【答案】A 2. 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（ ） A. “至少一个白球”与“至少一个黄球” B. “恰有一个白球”与“恰有两个白球” C. “至多一个白球”与“至多一个黄球” D. “至少一个黄球”与“都是黄球” 【答案】B 【解析】从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球， 共有三种结果：两白球，一白一黄，两黄球， 这三个事件是互斥事件.所以B是正确的； 由于至少一个白球，包含事件有两白球和一白一黄， 而至少一个黄球包含两黄球和一白一黄， 当取到一白一黄时，此时这两个事件同时发生，故A错误； 由于至多一个白球，包含事件有一白一黄和两黄球， 而至多一个黄球包含一黄一白和两白球， 所以当取到一白一黄时，此时两个事件同时发生，故C错误； 由于至少一个黄球，包含事件一白一黄和两黄球， 而都是黄球显然也是两黄球，故D错误； 故选：B. 3. （多选题）一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个绿球，1个黄球.若从中任取2个小球，则下列判断错误的是（ ） A. 恰有一个红球的概率为 B. 两个球都是红球的概率为 C. “有黄球”和“两个都是红球”互斥 D. “至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互为对立 【答案】ABD 【解析】从6个球中任取2个球共有种取法， 设三个红球记为1，2，3，两个绿球记为，，一个黄球记为， 记事件A为恰有一个红球， ， 即恰有一个红球共18种取法，所以，故A错误； 记事件B为两个球都是红球，则， 所以，故B错误； 记事件为有黄球，表示2个球中至少有1个是黄球， 而两个球都是红球，不可能包含黄球，即C和B不可能同时发生，是互斥事件，故C正确； 记事件为至少有一个绿球，则D包含恰有1个绿球， 记事件为至多一个绿球， 则E也包含恰有1个绿球， 所以，所以“至少一个绿球”和“至多一个绿球”不是对立事件，故D错误. 故选：ABD． 4. （多选题）已知三个随机事件，，，概率均不为0，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，互斥，，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，因，事件发生就相当于事件发生，故有，故A正确； 对于B，因互斥，，则，，故B正确； 对于C，如抛掷一枚骰子，统计抛得的点数，记事件，，， 显然满足，但，故C错误； 对于D，因，而互斥，互斥， 故， 则由可得，故D正确. 故选：ABD. 5. 若事件与互斥，且，，则________． 【答案】 【解析】由于事件与互斥，且，所以, 故,所以，故答案为： 知识点2：古典概型基础（枚举基本事件、简单概率计算） 6. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只．设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设三双不同的鞋分别为，横坐标代表左脚鞋，纵坐标代表右脚鞋， 从中任取两只有，，， ，共15种， 其中取出的鞋都是一只脚的有，，共6种， 所以取出的鞋都是一只脚的概率是. 故选：B. 7. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】基本事件空间为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36个基本事件. 事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共13个基本事件， 所以.故选：D 8. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：①第一次与第二次都中二等奖，其包含情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为，所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故选：B 9. （多选题）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】记个白球为，个黑球为，随机取出个小球的事件如下， ， 事件对应的基本事件有，所以，故A正确； 事件对应的基本事件有，所以， 事件对应的基本事件有 ，所以，又，故D错误； 其中对应的基本事件有，所以，故B正确； 对应的基本事件有，所以，故C 错误. 故选：AB 10. 品酒师测试通常采用的方法如下：拿出3瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这3瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．分别以，，表示第一次排序时被排为1，2，3的三种酒在第二次排序时的序号，令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号，甲没有任何品酒经验，采用随机猜测的方法排序． （1）试列出甲每轮测试第二次排序时所有可能的结果（，，）构成的样本空间； （2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； （3）甲连续两天都参加了两轮测试，两天测试结果相互独立，记事件“在这两天中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求并解释其意义． 【答案】（1）； （2）； （3）；说明甲在两天中通过随机猜测获得“特级品酒师”称号的概率很小，测试方法非常合理． 【解析】（1）所有可能的构成的样本空间 ． （2）令表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”． 由（1）知道事件包含样本点，事件包含样本点， 事件包含样本点， 所以，， 甲参加第一轮测试值记为，参加第二轮测试值记为， 记事件“，”，“，”， “，” 则，因为两轮测试结果相互独立， 所以， ， ， 因为，，两两互斥，所以 ． （3）记事件“甲在第天测试中被授予特级品酒师称号”，， 则．因为， ，相互独立， 所以 ． 说明甲在两天中通过随机猜测获得“特级品酒师”称号的概率很小，测试方法非常合理． 知识点3：概率加法公式（互斥事件加法、一般加法） 11. 某班共有40名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长，设事件 “选中的同学精通乐器”， “选中的同学擅长舞蹈”，若，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意，， 又， 所以. 故选：D 12. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】由题意可知：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面、反面向上的概率均为， 且事件“n次中均为正面朝上或均为反面朝上”，则， 则，， 且事件“n次中仅有一次正面朝上”，则. 对于选项AB：若，则，，， 可得，，故AB错误； 对于选项CD：若，则，，， 可得，， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 13. （多选题）已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】由题意， 所以，，. 故选：BCD. 14. 已知同一个样本空间下的两个事件A，B满足，，在以下情况下求： （1）A与B互斥； （2）A与B独立； （3）A包含于B. 【答案】（1）0.5 （2） （3） 【解析】【1】由，得， 即，所以， 若A与B互斥，即，于是有，. 【2】若A与B独立，则，， 解得 3】因为A包含于B，所以，，. 知识点4：独立事件定义与判定（独立事件概率、判断两事件独立） 15. （多选题）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 事件A与事件C互斥 C. 事件A与C相互独立 D. 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为第二次的点数有，共6个可能值， 事件B包含的点数有，共3个可能值，所以，故A正确； 因为第一次的点数有，共6个可能值，可得， 对于事件C，列表可得： 1 2 3 4 5 6 1 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 2 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 3 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 4 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 5 ╳ √ ╳ √ ╳ √ 6 √ ╳ √ ╳ √ ╳ 可知共有个基本事件，且，则， 又因为事件，即，则. 对于选项B：因为，所以事件A与事件C不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，可知事件A与C相互独立，故C正确； 对于选项D：因为，故D正确； 故选：ACD. 16. （多选题）已知有限集为随机试验的样本空间，事件为的子集，则事件相互独立的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】对于A，由，得若发生，则一定发生， 所以事件不相互独立，故A错误； 对于B，由，可得，所以， 所以事件相互独立，故B正确； 对于C，因为，所以事件相互独立， 所以事件相互独立，故C正确； 对于D，由，结合， 得，所以事件相互独立，故D正确 故选：BCD. 17. （多选题）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A. A与D相互独立. B. A与B相互独立 C. B与D相互独立 D. A与C相互独立 【答案】BCD 【解析】不放回依次取出两个，基本事件有， 共种，事件“”； 事件“”； 事件“”； 事件“”. 事件，事件“”， 事件“”， 事件“”， 则，，， ，，，， 所以，所以A与D不相互独立； ，所以A与B相互独立； ，所以B与D相互独立； ，所以A与C相互独立； 故选：BCD 18. 猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. （1）求； （2）求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设事件为“甲能猜对灯谜”， 事件为“乙能猜对灯谜”， 由题意得，与相互独立，且,， 故甲、乙都猜不对的概率：, 故. （2）甲、乙恰有一人猜对灯谜的事件为, 且， 故甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率为. 知识点5：随机化敏感性调查（分层估算总体概率） 19. 某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. 0.035 B. 0.07 C. 0.105 D. 0.14 【答案】B 【解析】由题意，两颗骰子点数和为奇数与偶数的概率相等，都为， 则回答问题①②的人数均为， 如果回答问题①，则掷两次骰子所有可能情况有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种可能， 所得点数第一次比第二次大的有，，，，，，，，，共9种可能， 所以在回答问题①的前提下，回答是的概率为， 所以回答问题①时，大约有人回答“是”， 所以回答问题②时，大约有人回答“是”， 故该地区中学生吸烟人数的比例约为． 故选：B． 20. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. 2% B. 3% C. 6% D. 8% 【答案】C 【解析】因为一个装有大小、形状和质量完全一样50个白球和50个红球的袋子中， 随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为， 因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人， 而一年12个月中，奇数的占一半， 所以对第一个问题回答“是”的概率为 所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”， 从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”， 所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为． 故选：C 知识点6：独立重复试验、多轮分步概率（投篮、多轮抽奖、两人多轮答题） 21. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意可得在一轮活动中，两人全答对，在另一轮活动中，只有一个人答对， 所以其概率为. 故选：A. 22. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为______． 【答案】 【解析】设甲中靶为事件，乙中靶为事件， 则至少有一人中靶的对立事件为两人都没有中靶， 则至少有一人中靶的概率. 故答案为： 23. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.若甲先投，则甲获胜的概率为____________. 【答案】 【解析】投篮1次甲获胜概率为：； 投篮3次甲获胜概率为：； 投篮5次甲获胜概率为：. 所以甲获胜的概率为. 故答案为： 24. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.若甲先投，则甲获胜的概率为____________. 【答案】 【解析】投篮1次甲获胜概率为：； 投篮3次甲获胜概率为：； 投篮5次甲获胜概率为：. 所以甲获胜的概率为. 故答案为： 25. 甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为________，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】记事件“两人在自主传球环节得分之和为2分”，“甲在自主传球环节得分”，“乙在自主传球环节得分”， 由题意可知，与相互独立，且，事件与互斥， 故，解得； 记事件“‘梦队’在比赛中得分不低于6分”， “甲在自主投篮环节得分”，“乙在自主投篮环节得分”， 由题意可知相互独立， 则， 且事件两两互斥， 则. 故答案为：；. 知识点7：随机模拟（随机数估计概率） 26. 某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数，表示“投中”，出现表示“未投中”．以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783 062 228 049 276 102 734 933 750 076 140 065 061 215 693 599 494 411 987 789．据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为________． 【答案】0.65 【解析】由题意可得062 228 049 102 734 933 750 140 065 061 215 494 411 符合题意，所以由古典概率可得.故答案为：0.65. 知识点8：分层随机抽样均值、方差计算 27. 某企业拟招聘部分技术人员，有200人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人，现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩（满分10分）进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，9，9． （1）请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差； （2）若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则，． 【答案】（1）8，0.8 （2）平均数为6.5，方差为1.7． 【解析】（1）平均数为，方差为：． （2）因为研究生有50人，本科生150人，且研究生抽取5人， 由于采用分层抽样的方式，所以本科生抽取15人， 故整体样本数据的平均数， 整体样本数据的方差， 所以整体样本数据的平均数为6.5，方差为1.7． 知识点9：综合解答（概率综合：样本空间书写、游戏公平性、分层统计、决策类概率） 28. 袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． （1）求至少一个是白球的概率； （2）设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 【答案】（1） （2）A与B是相互独立的，理由见解析 【解析】（1）由于有放回地依次随机摸出两个小球，所以每次摸球的结果互相独立， 故至少一个是白球的概率为； （2）因为事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，即为 所以事件为“第一次编号为1且第二次编号为5”或者“第一次编号为2且第二次编号为4”，所以，注意到， 所以， 而， 从而， 所以A与B是相互独立的. 29. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2）（i）答案见解析；（ii）游戏不公平理由见解析 【解析】【1】解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得，解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； 【2】（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以 因为，所以此游戏不公平. 30 某学校高一年级在对组建机器人建模社团调查中，采取样本量比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人、女生20人进行兴趣爱好问卷调查（满分100分），其中男生问卷所得平均分和方差分别为和，女生问卷所得平均分和方差分别为和． （1）求总样本方差； （2）从样本中择优选出小明、小芳和荣荣参加机器人建模大赛，大赛分为初赛和复赛两个环节，初赛合格后才能参加复赛，复赛合格后才能获奖，是否通过初赛和是否通过复赛相互独立．小明通过初赛和复赛的概率分别为，，小芳通过初赛和复赛的概率分别为，，荣荣通过初赛和复赛的概率与小明都相同，且三人比赛互不影响．求这三人中恰有两人获奖的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】【1】首先证明： 若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，， 记总的样本平均数为，样本方差为，则； 因为，，， 总体方差， 又 ， 因为，， 同理， 故； 所以总体的平均数为， 所以总样本方差； 【2】设事件“小明获奖”，“小芳获奖”，“荣荣获奖”， 所以，， 设这三人中恰有两人获奖为事件， 则 ， 所以这三人中恰有两人获奖的概率为. 31. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，由甲先掷一次骰子，记向上的点数为，接下来甲有2种选择：①甲直接结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲赢，游戏结束； ②甲再掷一次骰子，向上的点数记为，若，则乙赢，游戏结束； 若，甲结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲赢，游戏结束．问： （1）若甲只掷骰子1次，求甲赢的概率； （2）若甲掷骰子2次，求甲赢的概率； （3）当甲第一次掷骰子向上的点数为多少时，甲选择①赢得游戏的概率更大？ 【答案】（1） （2） （3）3或4或5或6 【解析】【1】若甲只掷骰子1次，甲赢的情况如下． 甲掷出向上的点数为1，乙掷出向上的点数为6，此时有1种情 甲掷出向上的点数为2，乙掷出向上的点数为6、5，此时有2种情况 甲掷出向上的数点为3，乙掷出向上的点数为6、5、4，此时有3种情况 依此类推，甲赢的情况共有种 故甲赢的概率为． 【2】若甲掷骰子2次，甲赢的情况如下．①甲第1次掷骰子向上点数为1． 第2次掷骰子向上的点数为1，乙掷骰子向上的点数为6，5，此时有2种情况； 第2次掷骰子向上的点数为2，乙掷骰子向上的点数为6、5、4，此时有3种情况； 依此类推 第2次掷骰子向上的点数为5，乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3、2、1，此时有6种情况． 以上有种情况． ②甲第1次掷骰子向上的点数为2． 第2次掷骰子向上的点数为1，乙掷骰子向上的点数为6、5、4，此时有3种情况； 第2次掷骰子向上的点数为2，乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3，此时有4种情况； 第2次掷骰子向上点数为3，乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3、2，此时有5种情况， 第2次掷骰子向上的点数为4，乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3、2、1，此时有6种情况， 以上有种情况． 依此类推，甲第1次掷骰子向上的点数为3时，甲赢的情况有种． 甲第1次掷骰子向上的点数为4时，甲赢的情况有种． 甲第1次掷骰子向上的点数为5时，甲赢的情况有6种． 甲赢的情况的总数为．故甲赢的概率为． 【3】当甲第一次掷骰子向上的点数为时， 若甲选择①，则乙掷骰子向上的点数为，共种， 而乙掷骰子向上的点数共6种情况，则甲赢的概率． 若甲选择②，则甲第二次掷骰子向上的点数为，共种， 若甲第二次掷骰子向上的点数为1时，则乙掷骰子向上的点数为，共种，若甲第二次掷骰子向上的点数为2时，则乙掷骰子向上的点数为，共种，．．．．．．， 若甲第二次掷骰子向上的点数为时，则乙掷骰子向上的点数为6、5、4、3、2、1，共6种， 所以，甲赢的情况的总数为， 而甲第二次、乙掷骰子的可能情况各为6种，则甲赢的概率 ． 令，即，化简得，解得． 因，且，所以或4或5或6． 综上，当甲掷骰子向上的点数为3或4或5或6时，甲选择①赢得游戏的概率更大． 32. 5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率； （2）求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率． 【答案】（1）和． （2）． 【解析】【1】设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件， 则，根据独立性假定得， 所以，又， 得，所以第二轮甲、乙两同学答对的概率分别为和； 【2】设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”， 由于在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响， 又， 所以，所以，，且与，与互斥，与，与分别相互独立， ， ， ， ， 设““爱我队”在两轮比赛中答对3题”，则， 且与互斥，与，与分别相互独立， 所以 ， 所以“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版高一数学必修第二册第十章 概率期末复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：事件的关系与运算（互斥、对立、包含事件判断） 解题方法 1. 互斥事件：两事件不能同时发生，； 1. 对立事件：互斥且并集为样本空间，； 1. 包含：，发生则一定发生。 知识点2：古典概型基础（枚举基本事件、简单概率计算） 解题方法 1. 总基本事件数、符合条件事件数全部枚举； 1. ； 1. 不放回/有放回摸球、掷骰子、取鞋类基础计数。 知识点3：概率加法公式（互斥事件加法、一般加法） 解题方法 1. 互斥：； 1. 通用公式：。 知识点4：独立事件定义与判定（独立事件概率、判断两事件独立） 解题方法 1. 独立判定：； 1. 多独立事件同时发生概率为各概率相乘； 1. 独立≠互斥，区分两类概念。 知识点5：随机化敏感性调查（分层估算总体概率） 解题方法 1. 两类问题被抽到概率均等； 1. 先计算无关问题回答“是”的期望人数，剩余“是”对应敏感问题，求比例。 知识点6：独立重复试验、多轮分步概率（投篮、多轮抽奖、两人多轮答题） 解题方法 1. 分情况列举所有符合题意的独立分支； 1. 每种情况概率相乘，互斥情况相加； 1. 对立简化：至少一个发生=1-全部不发生。 知识点7：随机模拟（随机数估计概率） 解题方法 按规则筛选符合条件的随机数组，用频率估计概率。 知识点8：分层随机抽样均值、方差计算 解题方法 分层均值加权平均；分层方差套用分层方差公式计算。 知识点9：综合解答（概率综合：样本空间书写、游戏公平性、分层统计、决策类概率） 解题方法 1. 写出完整样本空间； 1. 分别计算双方获胜概率，比较判断公平； 1. 多条件概率分情况讨论，结合独立、互斥公式； 1. 概率大小比较，给出最优选择方案。 2、 分知识点对应习题 知识点1：事件的关系与运算（互斥、对立、包含事件判断） 1. 某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A 三次都没有中靶 B. 三次都中靶 C. 至多一次中靶 D. 只有一次中靶 2. 从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取两个球，下列各组事件中，是互斥事件的是（ ） A. “至少一个白球”与“至少一个黄球” B. “恰有一个白球”与“恰有两个白球” C. “至多一个白球”与“至多一个黄球” D. “至少一个黄球”与“都是黄球” 3. （多选题）一个盒子中装有6个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个绿球，1个黄球.若从中任取2个小球，则下列判断错误的是（ ） A. 恰有一个红球的概率为 B. 两个球都是红球的概率为 C. “有黄球”和“两个都是红球”互斥 D. “至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”互为对立 4. （多选题）已知三个随机事件，，，概率均不为0，下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，互斥，，，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若事件与互斥，且，，则________． 知识点2：古典概型基础（枚举基本事件、简单概率计算） 6. 柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只．设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设“两个点数之和等于5”，“至少有一颗骰子的点数为2”，则（ ） A. B. C. D. 8. 某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为（ ） A. B. C. D. 9. （多选题）不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件“两个球中至多一个黑球”，事件“两个球均为白球”，则（ ） A. B. C. D. 10. 品酒师测试通常采用的方法如下：拿出3瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这3瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．分别以，，表示第一次排序时被排为1，2，3的三种酒在第二次排序时的序号，令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号，甲没有任何品酒经验，采用随机猜测的方法排序． （1）试列出甲每轮测试第二次排序时所有可能的结果（，，）构成的样本空间； （2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； （3）甲连续两天都参加了两轮测试，两天测试结果相互独立，记事件“在这两天中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求并解释其意义． 知识点3：概率加法公式（互斥事件加法、一般加法） 11. 某班共有40名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班中任选一名同学了解其艺术特长，设事件 “选中的同学精通乐器”， “选中的同学擅长舞蹈”，若，则（ ） A B. C. D. 12. 抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 13. （多选题）已知古典概型的样本空间及事件和事件，满足，，，，则（ ） A. B. C. D. 14. 已知同一个样本空间下的两个事件A，B满足，，在以下情况下求： （1）A与B互斥； （2）A与B独立； （3）A包含于B. 知识点4：独立事件定义与判定（独立事件概率、判断两事件独立） 15. （多选题）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（ ） A. B. 事件A与事件C互斥 C. 事件A与C相互独立 D. 16. （多选题）已知有限集为随机试验的样本空间，事件为的子集，则事件相互独立的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 17. （多选题）一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A表示事件“取出的两球不同色”，B表示事件“第一次取出的是黑球”，C表示事件“第二次取出的是黑球”，D表示事件“取出的两球同色”，则（ ） A. A与D相互独立. B. A与B相互独立 C. B与D相互独立 D. A与C相互独立 18. 猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响. （1）求； （2）求甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率. 知识点5：随机化敏感性调查（分层估算总体概率） 19. 某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. 0.035 B. 0.07 C. 0.105 D. 0.14 20. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（ ） A. 2% B. 3% C. 6% D. 8% 知识点6：独立重复试验、多轮分步概率（投篮、多轮抽奖、两人多轮答题） 21. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为（   ） A. B. C. D. 22. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.7，现两人各自独立射击一次，则至少一人中靶的概率为______． 23. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.若甲先投，则甲获胜的概率为____________. 24. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响.若甲先投，则甲获胜的概率为____________. 25. 甲，乙两人组成的“梦队”参加篮球机器人比赛，比赛分为自主传球，自主投篮2个环节，其中任何一人在每个环节获胜得2分，失败得0分，比赛中甲和乙获胜与否互不影响，各环节之间也互不影响.若甲在每个环节中获胜的概率都为，乙在每个环节中获胜的概率都为p，且甲，乙两人在自主传球环节得分之和为2的概率为，则p的值为________，“梦队”在比赛中得分不低于6分的概率为________. 知识点7：随机模拟（随机数估计概率） 26. 某运动员每次投篮投中的概率均是0.6，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数，表示“投中”，出现表示“未投中”．以每3个随机数为一组，代表该运动员3次投篮的结果，产生了20组随机数：783 062 228 049 276 102 734 933 750 076 140 065 061 215 693 599 494 411 987 789．据此估计“该运动员连续投篮3次至少投进2个球”的概率为________． 知识点8：分层随机抽样均值、方差计算 27. 某企业拟招聘部分技术人员，有200人参与竞聘，其中研究生50人，本科生150人，现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩（满分10分）进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，9，9． （1）请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差； （2）若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则，． 知识点9：综合解答（概率综合：样本空间书写、游戏公平性、分层统计、决策类概率） 28. 袋中有5个大小质地完全相同的小球，其中白球编号为1，2，红球编号为3，4，5．从中有放回地依次随机摸出两个小球． （1）求至少一个是白球的概率； （2）设事件A为“第一次是白球”，事件B为“两个小球的编号之和为6”，判断A与B是否相互独立，并说明理由． 29. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 30 某学校高一年级在对组建机器人建模社团调查中，采取样本量比例分配的分层随机抽样．如果不知道样本数据，只知道抽取了男生30人、女生20人进行兴趣爱好问卷调查（满分100分），其中男生问卷所得平均分和方差分别为和，女生问卷所得平均分和方差分别为和． （1）求总样本方差； （2）从样本中择优选出小明、小芳和荣荣参加机器人建模大赛，大赛分为初赛和复赛两个环节，初赛合格后才能参加复赛，复赛合格后才能获奖，是否通过初赛和是否通过复赛相互独立．小明通过初赛和复赛的概率分别为，，小芳通过初赛和复赛的概率分别为，，荣荣通过初赛和复赛的概率与小明都相同，且三人比赛互不影响．求这三人中恰有两人获奖的概率． 31. 甲、乙两人玩掷骰子游戏，由甲先掷一次骰子，记向上的点数为，接下来甲有2种选择：①甲直接结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲赢，游戏结束； ②甲再掷一次骰子，向上的点数记为，若，则乙赢，游戏结束； 若，甲结束掷骰子，换由乙掷骰子一次，向上的点数记为，若，则乙赢，否则甲赢，游戏结束．问： （1）若甲只掷骰子1次，求甲赢的概率； （2）若甲掷骰子2次，求甲赢的概率； （3）当甲第一次掷骰子向上的点数为多少时，甲选择①赢得游戏的概率更大？ 32. 5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率； （2）求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $