第九章统计期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教版高一数学必修第二册第九章统计期末复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：百分位数（四分位数）计算 解题方法 1. 数据从小到大排序； 1. 计算，整数取第项，小数向上取对应项平均； 1. 下四分位数25%分位数、中位数50%、上四分位数75%。 知识点2：数据数字特征（极差、众数、平均数、方差性质） 解题方法 1. 极差=最大值−最小值，众数为出现次数最多数； 1. 线性变换：，，； 1. 两组数据已知均值方差，套分层方差公式求总方差。 知识点3：分层随机抽样（抽样比例、样本容量分配） 解题方法 1. 抽样比=样本总量/总体总量； 1. 每层抽取数量=该层总数×抽样比； 1. 已知一层抽取人数反求其他层样本数、总体人数。 知识点4：统计图数据分析（折线图、气泡图） 解题方法 1. 折线图：判断增减、波动（方差大小）、极差、平均数区间； 1. 气泡图：横坐标任务量、气泡代表完成率，计算实际完成量。 知识点5：频率分布直方图基础（求参数a、众数/中位数/平均数估计、分布形态） 解题方法 1. 所有矩形面积和为1，列方程求； 1. 众数：最高矩形中点；中位数：面积0.5分界点；平均数：各组中点×频率求和； 1. 右拖尾直方图：众数<中位数<平均数。 知识点6：频率分布直方图综合大题（分层抽样+古典概率、分层方差、百分位数估计） 解题方法 1. 先求直方图参数，估计中位数、百分位数、各组人数； 1. 分层抽样按组人数比例抽取样本，枚举基本事件求概率； 1. 两层样本合并，使用分层均值、分层方差公式计算。 二、分知识点对应习题 知识点1：百分位数（四分位数）计算 1. 在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，则这组数据的分位数是（ ） A. 6.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 【答案】C 【解析】将数据按升序排列可得：2，4，5，7，7，8，9，10， 因为，所以这组数据的分位数. 故选：C. 2. 一组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】一组数据，从小到大排序为：， 下四分位数，即分位数，， 根据百分位数的定义，下四分位数应取从小到大排列的第个数，即. 故选：A 3. 按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的80%分位数为（ ） A. 96 B. 96.5 C. 97 D. 97.5 【答案】D 【解析】这组数据共10个数，， 所以80%分位数为第8个、第9个数据的平均数，即. 故选：D. 4. 一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的（ ） A. 第50百分位数为8 B. 第50百分位数为6 C. 第75百分位数为8 D. 第75百分位数为9 【答案】B 【解析】由题意可得：，解得， 将数据按升序排列可得：. 对于选项AB：因为，所以第50百分位数为第4位数6，故A错误，B正确； 对于选项CD：因为，所以第75百分位数为第6位数10，故CD错误； 故选：B. 5. 一组数据1，2，4，6，7，8，11，12的第25百分位数是______． 【答案】3 【解析】将这组数据从小到大排列1，2，4，6，7，8，11，12，这组数据共有8个数， 而，从而所求为这组数据从小到大排列后的第二个数和第三个数的平均数，即为. 故答案为：3. 6. 已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据第百分位数是______. 【答案】 【解析】因为，所以第百分位数. 故答案为： 知识点2：数据数字特征（极差、众数、平均数、方差性质） 7. 某次物理竞赛，得分在有15人，他们的平均分为128，方差为2，得分在［130，140］的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在[120，140]的平均分与方差为（ ） 参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为， A. 130，16.625 B. 131，17.875 C. 131，16.625 D. 130，17.875 【答案】C 【解析】由题可知：， . 故选：C 8. 若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】由已知众数是2，由于，因此只有当即时均满足题意，共5个， 故选：D 9. 若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的方差为（ ）． A. 1 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】数据，，…，的方差是, 数据，，…，的方差为. 故选：D 10. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的平均数为31 C. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 D. 这10年粮食年产量的中位数为29 【答案】C 【解析】由折线图知最大值是40，最小值是25，极差是15，A不符合题意； 平均数为，B不符合题意； 前5年数据波动比后5年数据波动要小， 因此前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差，C符合题意； 10年数据按从小到大排序为：， 中位数为，D不符合题意． 故选：C． 11. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的平均数为2 B. 数据的方差为 C. 若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，则的方差为9 D. 现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 【答案】ABC 【解析】A：由题知根据方差求解公式，可得，故A正确； B：由数据的方差为，根据方差的性质可得数据的方差为，故B正确； C：由A知总体平均数为，若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6， 则由公式，可得，故C正确； D：原数据的平均数为，设新数据的平均数为，并设新数据的方差为， 则由方差公式可得 ，故D错误； 故选：ABC. 12. 体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下： 同学 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲（投中个数） 6 7 5 6 4 3 8 9 乙（投中个数） 8 4 6 7 6 5 7 5 记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】根据题意，， ，所以， ， ， 所以. 故选：BD 13. 某班学生分成了A，B两个数学兴趣小组，A组20人，B组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该测试中，A组成绩的平均数为90分，方差为30，B组成绩的平均数为80分，方差为40，则在这次测试中，全班学生成绩的方差为________． 【答案】60 【解析】依题意，，，， ∴（分）， ∴全班学生的平均成绩为分． 全班学生成绩的方差为 故答案为： 14. 已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为________. 【答案】 【解析】根据方差的定义，总样本方差为 ， 因为， 同理， 因此， . 故答案为：. 15.已知一组样本数据：5，7，4，3，5，7，7，6，4，2，则该组数据（ ） A. 极差是7 B. 众数不等于平均数 C. 25%分位数是4 D. 方差是3.5 【答案】BC 【解析】对于A，将该组数据从小到大排列：， 故极差为：，故A错误； 对于B，该组数据众数为7， 平均数为： ， 故众数不等于平均数，故B正确； 对于C，，故25%分位数是该组数据的第3个数，即4， 故C正确； 对于D，该组数据的方差为：故D错误. 故选：BC 知识点3：分层随机抽样（抽样比例、样本容量分配） 16.需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（   ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 分层随机抽样 D. 简单随机抽样 【答案】C 【解析】由于样本中年龄分为三个层次：老年，中年，青年，因此采取分层抽样方法． 故选：C． 17. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ） A. 744 B. 620 C. 372 D. 162 【答案】C 【解析】依题意可得，解得. 故选：C 18. 某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 135 【答案】B 【解析】设高三抽取的人数为，则由分层抽样可知，解得：. 故选：B. 知识点4：统计图数据分析（折线图、气泡图） 19. 为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（ ） A. 甲店月营业额的平均值在内 B. 乙店月营业额总体呈上升趋势 C. 7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少 D. 乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差 【答案】D 【解析】对于A，甲店月营业额的平均值为，，所以A正确； 对于B，根据乙店的营业额折线图可知乙店每月的营业额逐月变大，所以总体呈上升趋势，故B正确； 对于C，由营业额折线图可知，甲店的月份的总营业额为， 乙店的月份的总营业额为，，所以C正确. 对于D，根据甲､乙两店的营业额折线图可知甲店的月营业额极差为， 乙店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差比甲店的大，所以D错误； 故选：D. 20. 采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.PMI高于时，反映经济总体较上月扩张；低于，则反映经济总体较上月收缩.根据我国2022年6月至2023年9月的PMI绘制出如下折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于 B. 2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第三季度各月的PMI的方差 C. 2023年第三季度各月经济总体较上月扩张 D. 2023年第一季度各月经济总体较上月扩张 【答案】D 【解析】对于选项A：根据图表可知，共有10个月的PMI小于， 所以各月的PMI的中位数小于50，故A错误； 对于选项B：2022年第四季度各月的PMI比2023年第一季度各月PMI的波动大， 即方差也大，故B错误； 对于选项C：因为2023年第七、八月PMI均小于， 所以反映经济总体反映经济总体较上月收缩，故C错误； 对于选项D：2023年第一季度各月PMI均大于，则各月经济总体较上月扩张，故D正确； 故选：D. 21. 如图是某公司2023年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是台，完成率为，则下列叙述正确的是（ ） （1）2023年9月的销售量是450台； （2）2023年月销售任务的平均值不超过600台； （3）2023年第四季度总销售为800台； （4）2023年月销售量最大的是6月份． A （1）（2） B. （1）（3） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（4） 【答案】A 【解析】（1）9月份的任务是300台，完成率是，所以销售了台，故（1）正确； （2）2023年月销售任务的平均值为台，故（2）正确； （3）第四季度总销售额为，故（3）错误； （4）由销售任务和完成率，比较5月份和6月份，5月份的销售额是800台，6月份的销售额是台，所以销售量最大是5月份，故（4）错误. 故选：A 知识点5：频率分布直方图基础（求参数a、众数/中位数/平均数估计、分布形态） 22. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 【答案】B 【解析】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 23. 某校举办了数学知识竞赛，已知该校有1000名学生，随机抽取100名学生的成绩，整理成如图所示的频率分布直方图，则（ ）． A. B. 估计该校学生成绩的众数为70 C. 估计该校学生成绩的中位数为68.3 D. 估计该校学生成绩的平均数在65到75之间 【答案】ABD 【解析】对于A，，解得，故A正确； 对于B，由表可得估计该市普法知识竞赛成绩的众数为分，故B正确； 对于C，由表可得小于65分的人数频率，，故竞赛成绩中位数在65到75，中位数为m， 则，解得， 故C错误； 对于D， ，故D正确. 故选：ABD. 24. 某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ） A. B. 平均数的估计值为30 C. 众数的估计值为35 D. 这100名学生中有25名学生每天体育活动时间不低于40分钟 【答案】ACD 【解析】依题意可得，解得，故A正确； 平均数的估计值为，故B错误； 由频率分布直方图可知的频率最大，因此众数的估计值为，故C正确； 随机选取这100名学生中体育活动时间不低于40分钟的人数为，故D正确； 故选：ACD 25. 某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ） A. B. 众数是230 C. 中位数是210 D. 跳远距离在区间的人数为168 【答案】AB 【解析】对于A，由图可知，，解得，故A正确； 对于B，右图可知，最高的矩形是区间所对应的矩形，所以众数是230，故B正确； 对于C，第一组的频率为，第二组的频率为， 第三组的频率为，第四组的频率为， 而， 从而中位数在区间内，设中位数为， 则，解得，故C错误； 对于D，跳远距离在区间的人数为，故D错误. 故选：AB. 知识点6：频率分布直方图综合大题（分层抽样+古典概率、分层方差、百分位数估计） 26. 某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计参赛学生成绩的分位数； （2）从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 【答案】（1），参赛学生成绩的分位数为 （2） 【解析】【1】由题意，，解得， 因为， 所以参赛学生成绩的分位数在区间上，设为， 则，解得， 所以参赛学生成绩的分位数为分； 【2】由题意，区间有人，设为， 区间有人，设为， 从这6人中任选2人，有共种， 其中都在有种， 所以2人分数都在的概率为. 27. 某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. （1）求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； （2）现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 【答案】（1），中位数为108 （2） 【解析】【1】由频率分布直方图可得， 解得 本次联考该校数学成绩在的频率为， 在的频率为， 在的频率为， 因为 所以中位数在之间，设为， 则 解得 所以本次联考该校数学成绩的中位数为108. 【2】成绩在的人数与成绩在的频率的人数之比为1:2 根据分层抽样可知抽取的6人中成绩在的有2人，成绩在的频率的有4人 假设成绩在的2人分别记为，成绩在的4人分别记为，.随机抽取两人的样本空间为 ， 共15个 两人中恰好一人分数在内，另一人在内包含 ， 共8个 28. 体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示. （1）求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数； （2）从所抽查的每天体育锻炼时间在内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率. 【答案】（1）分 （2） 【解析】【1】由题意可知：每组频率依次为， 则，解得； 可得， 估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为分. 【2】由题意可知：在内抽取人，记为； 在内抽取人，记为； 从这6人中任选2人，则样本空间为： ，则， 记“所选2人不在同一组”为事件A， 则，可知， 所以. 29. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 【答案】（1）小吃类28家，生鲜类12家 （2）（i）75百分位数为487.5元，平均数为440元，（ii）个数为280 【解析】【1】根据分层抽样知： 应抽取小吃类家，生鲜类家， 所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家. 【2】（i）根据题意可得，解得， 设75百分位数为x，因为，第四组频率为0.2， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元. 平均数为， 所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元. （ii）， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280. 30. 出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数； （2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差． 【答案】（1）72.5 （2）20人 （3）29.25 【解析】【1】在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等， 由于，．因此中位数落在之间． 设中位数为x，则有，解得， 所以样本中学生分数的中位数约为72.5． 【2】由频率分布直方图知， 分数在的频率为， 样本中分数在的人数为（人）， 样本中分数在的人数为95人， 所以估计总体中分数在的人数为（人）， 总体中分数小于40的人数为人； 【3】总样本的均值为， 所以总样本的方差为． 31. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. （1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数； （2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数. 【答案】（1）45 （2） 【解析】【1】因为各组频率之和为1，组距为10， 所以，解得， 该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的概率为： ， 所以该用户早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数约为： . 【2】该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数约为： 32. 青少年时期是身心健康和各项身体素质发展的关键时期，青少年的体质健康水平不仅关系个人健康成长和幸福生活，而且关系整个民族健康素质，关系我国人才培养的质量.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取100名同学，统计他们每天锻炼的时间作为样本得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在的学生有20人． （1）求频率分布直方图中a和b的值； （2）估计样本数据的第70百分位数和平均数 【答案】（1）， （2）第70百分位数是82，平均数是74 【解析】【1】 由题意可知，时间在的频率为，， 由各组频率之和为1可知，，得； 【2】前4组的频率和为， 前5的频率和为， 所以第70百分位数在第5组，设为， 所以，解得：， 所以样本数据的第70百分位数是， 平均数是. 33. 某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人. （1）求m，n的值； （2）学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少? （3）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在内的概率. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】【小问1详解】 由题意得， 由图可得：，解得. 【小问2详解】 设受表彰的学生的最低分是， 频率为 频率为 故，且，解得， 故受表彰的学生的最低分是. 【小问3详解】 ）由分数在和）内的频率之比为， 故从成绩在和内的学生中共抽取6人， 则在内抽取2人，记为 在内抽取4人，记为 再从这6人中选取2人进行个案分析，抽取的样本空间为： ，共15个样本点， 这2人中恰有1人成绩在内的有： ，共8个样本点， 故这2人中恰有1人成绩在内的概率为. 34. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数； （2）将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 【答案】（1）x＝0.06，60 （2）A组3人；B组2人；C组1人 【解析】【小问1详解】 由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1， 解得x＝0.06， 身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60. 【小问2详解】 A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10， 由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1， 故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1. 35. 某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； （2）求参加挑战赛的学生成绩的分位数； （3）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 【答案】（1），71.5 （2）88． （3）72；58.4 【解析】【小问1详解】 由，解得． 平均分的估计值为 ． 【小问2详解】 成绩小于90分的占比为，成绩小于80分的占比为， 所以分位数一定位于区间，而，所以分位数为88． 【小问3详解】 成绩在，内的人数分别为，． ． 设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以 36. 某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； （2）从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 【答案】（1），中位数为99分， （2）平均数为124分，方差为36 【解析】【小问1详解】 由频率分布直方图知，，解得； 由，， 得这400名学生数学成绩的中位数，由，得， 所以估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数为99分. 【小问2详解】 依题意，，解得， 设这6名学生的数学成绩分别为，，，，，136， 由这6名学生的数学成绩的平均数为126分，得， 解得，因此； 设，，，，的方差为，由这6名学生的数学成绩的方差为50， 得，解得， 所以所求学生数学成绩的平均数为124分，方差为36. 37. 某部门针对某社区建设满意度进行评分，第一轮由8名评委进行评分，评分如下：71，73，76，79，81，83，86，91；第二轮由100名社区居民进行评分，将居民的评分分成，，，，五组，并画出其频率分布直方图（如图）． （1）求的值并估计这100名居民评分的中位数； （2）若第一轮评分的平均分为，第二轮评分的平均分为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．记，根据的取值将社区建设满意度分为三个等级： 的取值 满意度等级 不满意 满意 非常满意 试估计该社区建设满意度等级． 【答案】（1）的值为0.020，中位数为78； （2）满意．理由见解析 【解析】【小问1详解】 由题意得， 解得， 因为，， 所以100名居民评分的中位数位于区间， 设100名居民评分的中位数为， 则，解得 所以值为0.020，中位数为78； 【小问2详解】 ， ， 所以， 所以该社区建设满意度等级为满意． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版高一数学必修第二册第九章统计期末复习讲义 一、本章核心知识点+解题方法总结 知识点1：百分位数（四分位数）计算 解题方法 1. 数据从小到大排序； 1. 计算，整数取第项，小数向上取对应项平均； 1. 下四分位数25%分位数、中位数50%、上四分位数75%。 知识点2：数据数字特征（极差、众数、平均数、方差性质） 解题方法 1. 极差=最大值−最小值，众数为出现次数最多数； 1. 线性变换：，，； 1. 两组数据已知均值方差，套分层方差公式求总方差。 知识点3：分层随机抽样（抽样比例、样本容量分配） 解题方法 1. 抽样比=样本总量/总体总量； 1. 每层抽取数量=该层总数×抽样比； 1. 已知一层抽取人数反求其他层样本数、总体人数。 知识点4：统计图数据分析（折线图、气泡图） 解题方法 1. 折线图：判断增减、波动（方差大小）、极差、平均数区间； 1. 气泡图：横坐标任务量、气泡代表完成率，计算实际完成量。 知识点5：频率分布直方图基础（求参数a、众数/中位数/平均数估计、分布形态） 解题方法 1. 所有矩形面积和为1，列方程求； 1. 众数：最高矩形中点；中位数：面积0.5分界点；平均数：各组中点×频率求和； 1. 右拖尾直方图：众数<中位数<平均数。 知识点6：频率分布直方图综合大题（分层抽样+古典概率、分层方差、百分位数估计） 解题方法 1. 先求直方图参数，估计中位数、百分位数、各组人数； 1. 分层抽样按组人数比例抽取样本，枚举基本事件求概率； 1. 两层样本合并，使用分层均值、分层方差公式计算。 二、分知识点对应习题 知识点1：百分位数（四分位数）计算 1. 在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了8名同学的第一个解答题的得分，得分为：10，5，7，8，7，9，4，2，则这组数据的分位数是（ ） A. 6.5 B. 8 C. 8.5 D. 9 2. 一组数据的下四分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 按从小到大排列的一组数据90，92，92，93，93，94，95，96，99，100的80%分位数为（ ） A. 96 B. 96.5 C. 97 D. 97.5 4. 一组数据6，4，a，8，6，10，12的平均数为7，则该组数据的（ ） A. 第50百分位数为8 B. 第50百分位数为6 C. 第75百分位数为8 D. 第75百分位数为9 5. 一组数据1，2，4，6，7，8，11，12的第25百分位数是______． 6. 已知一组数据为5，6，7，7，8，9，则该组数据第百分位数是______. 知识点2：数据数字特征（极差、众数、平均数、方差性质） 7. 某次物理竞赛，得分在有15人，他们的平均分为128，方差为2，得分在［130，140］的有9人，他们的平均分为136，方差为1，则得分在[120，140]的平均分与方差为（ ） 参考公式：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数为，样本方差为， A. 130，16.625 B. 131，17.875 C. 131，16.625 D. 130，17.875 8. 若数据1，2，5，x，2，2的极差是它们众数的2倍，则满足条件的正整数x的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 若数据，，…，的方差为1，则数据，，…，的方差为（ ）． A. 1 B. 3 C. 8 D. 9 10. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法不正确的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为15 B. 这10年粮食年产量的平均数为31 C. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差 D. 这10年粮食年产量的中位数为29 11. 已知一组样本数据的方差，则（ ） A. 这组样本数据的平均数为2 B. 数据的方差为 C. 若的平均数为1，方差为10，的平均数为3，方差为6，则的方差为9 D. 现构造新的样本数据，则该组样本数据的方差大于原样本数据的方差 12. 体育教学是学校开展素质教育不可缺少的重要内容，对学生的发展有着不可忽视的重要作用.某校为了培养学生的竞争意识和进取精神，举行篮球定点投篮比赛.甲、乙两名同学每次各自投10个球，每人8次机会，每次投篮投中个数记录如下： 同学 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲（投中个数） 6 7 5 6 4 3 8 9 乙（投中个数） 8 4 6 7 6 5 7 5 记甲、乙两名同学每次投篮投中个数的平均数分别为、，方差分别为、.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 某班学生分成了A，B两个数学兴趣小组，A组20人，B组30人，经过一周的学习后进行了一次测试，在该测试中，A组成绩的平均数为90分，方差为30，B组成绩的平均数为80分，方差为40，则在这次测试中，全班学生成绩的方差为________． 14. 已知总体划分为2层，通过按比例分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，总的样本平均数为，则总的样本方差用上述已知量表示为________. 15. 已知一组样本数据：5，7，4，3，5，7，7，6，4，2，则该组数据（ ） A. 极差是7 B. 众数不等于平均数 C. 25%分位数是4 D. 方差是3.5 知识点3：分层随机抽样（抽样比例、样本容量分配） 16.需从他们中抽取一个容量为36的样本，则合适的抽样方法是（   ） A. 抽签法 B. 随机数法 C. 分层随机抽样 D. 简单随机抽样 17. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ） A. 744 B. 620 C. 372 D. 162 18. 某校开展“阅读经典”的调查研究，高一、高二、高三的人数比例为．现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研．已知从高一抽取的人数为30，则从高三抽取的人数为（ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 135 知识点4：统计图数据分析（折线图、气泡图） 19. 为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（ ） A. 甲店月营业额的平均值在内 B. 乙店月营业额总体呈上升趋势 C. 7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少 D. 乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差 20. 采购经理指数（PMI），是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用.PMI高于时，反映经济总体较上月扩张；低于，则反映经济总体较上月收缩.根据我国2022年6月至2023年9月的PMI绘制出如下折线图. 根据该折线图，下列结论正确的是（ ） A. 2022年6月至2023年9月各月的PMI的中位数大于 B. 2022年第四季度各月的PMI的方差小于2023年第三季度各月的PMI的方差 C. 2023年第三季度各月经济总体较上月扩张 D. 2023年第一季度各月经济总体较上月扩张 21. 如图是某公司2023年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是台，完成率为，则下列叙述正确的是（ ） （1）2023年9月的销售量是450台； （2）2023年月销售任务的平均值不超过600台； （3）2023年第四季度总销售为800台； （4）2023年月销售量最大的是6月份． A （1）（2） B. （1）（3） C. （1）（3）（4） D. （1）（2）（4） 知识点5：频率分布直方图基础（求参数a、众数/中位数/平均数估计、分布形态） 22. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 23. 某校举办了数学知识竞赛，已知该校有1000名学生，随机抽取100名学生的成绩，整理成如图所示的频率分布直方图，则（ ）． A. B. 估计该校学生成绩的众数为70 C. 估计该校学生成绩的中位数为68.3 D. 估计该校学生成绩的平均数在65到75之间 24. 某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ） A. B. 平均数的估计值为30 C. 众数的估计值为35 D. 这100名学生中有25名学生每天体育活动时间不低于40分钟 25. 某校为了解高一学生的体能达标情况，抽调了200名学生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图（同一组的数据用该组区间的中点值代表），则（ ） A. B. 众数是230 C. 中位数是210 D. 跳远距离在区间的人数为168 知识点6：频率分布直方图综合大题（分层抽样+古典概率、分层方差、百分位数估计） 27. 某学校组织“泉城知识答题竞赛”，满分100分，共有100人参赛，其成绩均落在区间内，将成绩数据分成，，，，5组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值并估计参赛学生成绩的分位数； （2）从成绩低于70分的学生中，用按比例分配的分层抽样抽取6人.从这6人中任选2人，求此2人分数都在的概率. 28. 某中学为研究本校高一学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了100位同学的数学成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图，如图所示. （1）求直方图中的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数； （2）现在从分数在和的学生中采用分层随机抽样的方法共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好一人分数在内，另一人分数在内的概率. 29. 体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示. （1）求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数； （2）从所抽查的每天体育锻炼时间在内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率. 30. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流. （1）应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？ （2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示. （i）估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数（求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表）； （ii）若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数. 31. 出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，，，整理得到频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数； （2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数； （3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差． 32. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用.某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表”，地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，，，，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示. （1）估计该用户接下来的200次早上开车从家到公司的红灯等待时间不超过60秒的次数； （2）估计该用户从家到公司的导航过程中的红灯等待时间的平均数. 34. 青少年时期是身心健康和各项身体素质发展的关键时期，青少年的体质健康水平不仅关系个人健康成长和幸福生活，而且关系整个民族健康素质，关系我国人才培养的质量.某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取100名同学，统计他们每天锻炼的时间作为样本得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在的学生有20人． （1）求频率分布直方图中a和b的值； （2）估计样本数据的第70百分位数和平均数 333. 某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人. （1）求m，n的值； （2）学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少? （3）若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在内的概率. 34. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数； （2）将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数. 35. 某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分（每个区间内的值以该组区间的中点值为代表）； （2）求参加挑战赛的学生成绩的分位数； （3）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差． 36. 某校高一年级为了解学生近期的数学学习情况，组织了一次数学阶段测试.从所有学生的数学成绩中随机抽取400名学生的数学成绩作为样本，整理数据并分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值，并估计参加这次测试的学生数学成绩的中位数（四舍五入取整数）； （2）从所抽取的数学成绩在，内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样抽取n名学生，若这n名学生数学成绩的平均数为126分，方差为50，且这n名学生中数学成绩在内的只有1名，其数学成绩为136分，求这n名学生中数学成绩在内的学生数学成绩的平均数与方差. 37. 某部门针对某社区建设满意度进行评分，第一轮由8名评委进行评分，评分如下：71，73，76，79，81，83，86，91；第二轮由100名社区居民进行评分，将居民的评分分成，，，，五组，并画出其频率分布直方图（如图）． （1）求的值并估计这100名居民评分的中位数； （2）若第一轮评分的平均分为，第二轮评分的平均分为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．记，根据的取值将社区建设满意度分为三个等级： 的取值 满意度等级 不满意 满意 非常满意 试估计该社区建设满意度等级． 学科网（北京）股份有限公司 $