河南省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟考数学试卷（七）

**基本信息** 2025-2026学年河南省高一期末数学模拟卷，覆盖必修一、二核心知识，通过复数、PM2.5统计、立体几何折叠等问题，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）、语言（数据意识），梯度合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、抽样、向量、幂函数|基础概念辨析，如复数象限判断| |多选|3/18|向量运算、三角形向量、函数性质|多选项设计考查思维严谨性| |填空|3/15|圆台质量、最值、不等式恒成立|实际应用与抽象问题结合| |解答|5/77|统计（PM2.5）、立体几何折叠、向量、解三角形、函数奇偶性|PM2.5情境考查数据处理，立体几何折叠培养空间观念|

2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【详解】复数在复平面对应的点为，所以复数对应的点在第一象限. 2．已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【详解】因为全集，则集合为. 3．采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】简单随机抽样的概率、计算古典概型问题的概率 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是. 4．已知平面向量与不共线，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量基本定理的应用 【详解】由平面向量基本定理，不共线时，等式两边对应系数相等， 所以，得方程组，解得. 5．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【知识点】根据函数是幂函数求参数值、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【详解】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值 【详解】因为， 即，所以. 7．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】研究对数函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数的单调性分别计算的范围即可求解． 【详解】对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 对数函数在上单调递增，且， 所以，即； 综上可得． 8．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆台的结构特征辨析、求二面角 【分析】过作下底面的垂线，垂足为，过作，垂足为，就是二面角的平面角，解三角形求其余弦值. 【详解】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为， 因此圆台的高（即等腰梯形的高） 为下底圆的直径，故下底圆半径， 因为在下底圆周上，是直径，所以， ，在中，， 过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上）， 得，且下底面， 过作，垂足为，连接， 则就是二面角的平面角， 因为的面积， 其中（为下底圆心），是到的距离， 又， 所以，解得， 在中，， 因此二面角的余弦值. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 【答案】AC 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】本题考查基本不等式的应用，结合已知等式变形后代入基本不等式，或通过特值法逐一判断选项即可. 【详解】选项A：由基本不等式得，代入已知， 可得，移项得，当且仅当时等号成立，故A正确； 选项B：由，结合得； 当趋近于0时，趋近于，趋近于2，小于4，故不成立，B错误； 选项C：，结合得， 又，故，当且仅当时等号成立，C正确； 选项D：，取代入已知等式得， 解得，此时，故D错误. 10． 是边长为1的等边三角形，已知向量满足，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、垂直关系的向量表示、求投影向量 【详解】由题意，，，故，，因此，A正确. ， 又， 故，解得，B 错误. ， 故，C 正确. 在上的投影向量为， D正确. 11．已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 【答案】ABC 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对于A，根据奇偶性的定义进行判断即可；对于B，先判断时函数的单调性，再根据奇偶性判断 时的单调性即可；对于C，根据函数的单调性及奇偶性求值域即可判断；对于D，举出反例进行判断即可. 【详解】对于A，，所以函数为奇函数，故A正确； 对于B，当时，， 由反比例函数性质可知，函数在上为增函数，且， 又为上的奇函数，函数在上为增函数，在上单调递增， 对任意的，，都有，故B正确； 对于C，当时，， 函数在上为增函数，在上的值域为； 当 时，， 函数在上为增函数，在上的值域为， 综上所述，的值域是，故C正确； 对于D，令，则，， ，即，故D不正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数） 【答案】60 【知识点】台体体积的有关计算 【详解】由圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm， 则圆台的上、下底面的面积分别为，， 而圆台的高为6cm，则圆台的体积为， 又圆台的密度为， 所以该圆台的质量为. 13．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 【答案】4 【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【详解】因为为正实数，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立； 正实数满足，得，代入上述不等式可得：， 令，由得，不等式转化为：，整理得，即， 因为，所以，因此，即，故， 得，当且仅当时等号成立，因此的最大值为4. 14．已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为______． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】根据函数的奇偶性、单调性的性质，结合对数型函数的单调性、换元法进行求解即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为， 所以函数是奇函数， 由复合函数的单调性可知在上单调递增，而在上也单调递增，且函数是奇函数，， 所以函数在R上单调递增，所以， 即， 所以，即， 所以，令，则， 求解在上的最小值， 因为该二次函数对称轴为， 所以在上单调递增，所以，故， 即m的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 【答案】(1) (2)天 (3) 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率分布直方图中，长方形的面积和为1，计算a的值； （2）根据频数等于频率和总数的乘积计算即可； （3）利用每组中间值和频率的乘积之和计算平均数． 【详解】（1）由可得：， 故； （2）低于的组为，，， 对应的频率和为：， 天数为：（天）； （3）各组中间值分别为：25，35，45，55，65， ． 16．如图1所示，是边长为2的正三角形，四边形 是一个等腰梯形，，现在沿着把折起到的位置，连接，使得，如图2所示．    (1)证明：平面平面 ； (2)求三棱锥的外接球的半径； 【答案】(1)设为的中点，连接， 由是边长为2的正三角形，可得，， ， 又由等腰梯形，且，则， 因为，所以，所以， 因为，且OC，平面， 所以 平面， 因为 平面，所以平面平面；    (2) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、证明面面垂直 【分析】（1）应用勾股定理得出，进而应用线面垂直判定定理得出 平面，最后应用面面垂直判定定理证明； （2）先确定的外接圆圆心为，再确定三棱锥的外接球的球心在直线上，进而结合勾股定理即可求出该外接球的半径． 【详解】（1）略 （2）连接，易得，因为，所以， 所以△的外接圆圆心为的中点， 又由（1）知 平面， 所以三棱锥 的外接球的球心在直线 上， 如下图，设外接球半径为，则，    设，由（1）知，， 则，解得， 所以． 17．已知向量的夹角为 (1)求 (2)求 ; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积、利用数量积求参数 【分析】（1）用定义求解数量积； （2）根据向量模的性质可得，结合数量积的性质求结论； （3）将条件转化为 且与不反向，然后计算，解不等式即可得到结果. 【详解】（1）由已知条件可得. （2）. （3）由于 ， 若与反向，可得， ， 所以，所以， 因为与的夹角为钝角， 所以，且与不反向， 所以 且 ，即且 . 所以的取值范围是. 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角； (2)若，的平分线交于点，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理合理转化，结合同角三角函数关系求角B； （2）先由余弦定理求出ac的值，再利用等面积法列方程求解角平分线BD的长度. 【详解】（1）解法一：由正弦定理得， 可将化为， 由知， 所以. 又，故. 解法二：根据正弦定理，可将化为， 因为，所以，约去得. 又，故. （2）已知、、，根据余弦定理得， 解得. 因为， 所以， 因为，，所以，解得. 19．已知偶函数满足，奇函数满足． (1)请直接写出的解析式（无需求解过程）； (2)求关于m的不等式的解集； (3)存在满足，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由对数（型）的单调性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义求解即可. （2）先判断的单调性，然后化简不等式，求出解集即可. （3）先求出的最小值和最大值，然后结合已知条件求出范围即可. 【详解】（1）因为偶函数满足，奇函数满足． 所以，所以，所以. ，即，所以，所以. ． （2）由（1）知，其定义域为． 令，在上，单调递减， 所以单调递减．又因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知在上单调递减． 因为在上单调递减，所以． 解：即恒成立，， 即，解得，解，即， 解：即，因式分解得， 解得或．综合以上三个不等式的解，取交集得 因此，不等式的解集为． （3）， 所以的值域为． 因为存在满足， 所以． 即，令，则， 即，因式分解得，解得或（舍去）． 所以，解得．又因为，所以． 因此，的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 3．采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 4．已知平面向量与不共线，且，则（   ） A． B． C． D． 5．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知，，，则（    ） A． B． C． D．． 10． 是边长为1的等边三角形，已知向量满足，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11．已知函数，以下结论正确的有（   ） A．为奇函数 B．对任意的，，都有 C．的值域是 D．对任意的都有 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知某实木圆台的密度为，且该圆台上、下底面圆的半径分别为2cm，3cm，高为6cm，则该圆台的质量约为___________g．（结果保留整数） 13．已知正实数，满足，则的最大值是__________． 14．已知函数，若不等式对任意均成立，则m的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：）数据进行统计分析，将数据分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于的天数； (3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）． 16．如图1所示，是边长为2的正三角形，四边形 是一个等腰梯形，，现在沿着把折起到的位置，连接，使得，如图2所示．    (1)证明：平面平面 ； (2)求三棱锥的外接球的半径； 17．已知向量的夹角为 (1)求 (2)求 ; (3)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角； (2)若，的平分线交于点，求. 19．已知偶函数满足，奇函数满足． (1)请直接写出的解析式（无需求解过程）； (2)求关于m的不等式的解集； (3)存在满足，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $