河南省2025-2026学年高一下学期期末自编模拟考数学试卷（六）

**基本信息** 2025-2026学年河南省高一期末数学模拟卷，覆盖必修一、二核心内容，解答题融合统计、向量、三角、立体几何及函数综合，通过分层抽样、立体几何证明等问题设计，考察数学眼光、思维与语言，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、统计、函数最值等|基础巩固，梯度合理| |多选|3/18|向量性质、空间线面关系等|能力提升，含狄利克雷函数创新题| |填空|3/15|函数最值、复数模等|综合应用，考察数学表达| |解答|5/77|分层抽样、向量证明、解三角形等|突出数据意识、推理能力与空间观念，贴合核心素养|

2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知一组数据的极差为，则（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 3．要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 4．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则sinα=（     ） A． B． C． D． 6．一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（ ） A．已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B．已知向量 ，若与共线，则 C．若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D．在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 10．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列判断错误的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A．存在，有 B．函数的图像关于直线对称 C．函数是周期函数，无最小正周期 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最小值为_____． 13．设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为_________． 14．函数的值域为，则的取值范围是_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某中学高一年级有男生560人，女生520人，李老师按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均年龄分别为15.6岁、15.5岁． (1)若李老师在各层中按比例分配样本，总样本量为108，分别求抽取的男生、女生人数； (2)若李老师从男生、女生中抽取的样本量分别为140和130，试估计该中学高一年级学生的平均年龄（结果精确到0.01）． 16．已知向量． (1)证明：为定值． (2)当时，求与的夹角． (3)求函数的最大值． 17．的内角的对边分别为，已知为钝角，，且． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求． 18．如图，在四棱锥中，， ，，E为棱 的中点，平面 ．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 19．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【详解】根据并集的定义，. 2．已知一组数据的极差为，则（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差 【详解】因为数据的极差为，且， 所以的最大值为，最小值为． 3．要制作一个容积为，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（    ） A．80元 B．160元 C．200元 D．240元 【答案】B 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】先根据容器容积求得底面积，建立总造价关于底面边长的函数，再利用基本不等式求解总造价的最小值. 【详解】设长方体底面的长为，宽为，其中. 由容器容积为、高为，可得底面积. 总造价由底面造价和侧面造价两部分组成：底面造价为元；侧面为4个矩形，总面积为， 故侧面造价为元，因此总造价为： 代入得. 根据基本不等式，对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 因此，代入总造价公式得： ， 当且仅当时等号成立，即该容器的最低总造价为160元. 4．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【详解】因为，所以， 解得，即， 因为，， 所以，， 所以，解得，， 当时，，， ，， 则在方向上的投影向量的坐标是. 5．已知，则sinα=（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】通过角的配凑将α表示为(α−β)+β，结合两角和的正弦公式，根据角的取值范围求解对应三角函数值后代入计算即可. 【详解】由 ，可得：， 因为，，所以， 因为，，所以， . 6．一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正棱柱及其有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为，球心为O，一个顶点为A，可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 7．若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【详解】，. 函数在上存在单调递增区间， 在上有解，即在上有解； 在上有解，即. 令，； 在上单调递减， 时，取得最大值； ，即实数的取值范围为. 8．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小 【分析】先确定的范围，再确定的范围，将化为同底，根据对数函数单调性比较大小. 【详解】因为， ， ， 且，所以. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（ ） A．已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B．已知向量 ，若与共线，则 C．若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D．在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 【答案】ABCD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、求投影向量 【详解】对于A，若的夹角为钝角，则 且两向量不共线，等价于 ，即“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件，故A正确； 对于B，若与共线，则 .易得 ，则 ，故B正确； 对于C，在方向上的投影向量坐标为，故C正确； 对于D，都表示单位向量，表示 角平分线方向上的向量， 表示 角平分线方向上的向量与边BC垂直，所以AB=AC，为等腰三角形，故D正确. 10．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列判断错误的是（   ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】ABD 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直 【详解】若，满足，但不满足，故A错误； 若，平面内存在平行于交线的直线，这条直线与平面平行，故B错误； 若，则一个平面内任意直线与另一平面无交点，即，故C正确； 若，则不满足，故D错误． 11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（ ） A．存在，有 B．函数的图像关于直线对称 C．函数是周期函数，无最小正周期 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】ABC 【知识点】分段函数的性质及应用、函数的周期性的定义与求解、函数对称性的应用、函数新定义 【分析】代入特殊值可判断选项A，利用对称性可判断选项B，利用周期性可判断选项C，利用函数的定义域和单调性和函数的奇偶性的应用判定选项D的结论. 【详解】对于A：取，则，，因此存在，有，故A正确； 对于B：若是有理数，则也是有理数，故， 若是无理数，则也是无理数，故， 因此，，是偶函数，图像关于直线对称，故B正确； 对于C：设为任意有理数，若是有理数，则是有理数，， 若是无理数，则是无理数，，因此，任意正有理数都是的周期， 而任意正有理数无最小值，故无最小正周期，故C正确； 对于D：假设存在三个点，，，使为等腰直角三角形，不妨设， 分两类情况，第一种，斜边平行于轴或在轴上； 第二种，斜边不平行于轴或也不在轴上，如图所示    第一种情况，不妨设斜边在轴上， 所以，，即，则， 此时，，，与假设矛盾； 第二种情况，不妨设点在轴上，即，所以， 此时，，即在轴上，与假设矛盾，故D错误. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 13．设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为_________． 【答案】3 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题 【分析】根据复数模长的几何意义进行求解 【详解】，故复数的几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆， 其中， 几何意义为以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离， 显然最大值为圆心到点的距离加上半径， 即. 14．函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某中学高一年级有男生560人，女生520人，李老师按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均年龄分别为15.6岁、15.5岁． (1)若李老师在各层中按比例分配样本，总样本量为108，分别求抽取的男生、女生人数； (2)若李老师从男生、女生中抽取的样本量分别为140和130，试估计该中学高一年级学生的平均年龄（结果精确到0.01）． 【答案】(1)抽取男生56人，女生52人 (2)估计高一年级学生平均年龄为15.55岁 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、平均数的和差倍分性质 【分析】（1）根据分层抽样按比例分配的规则，先求抽样比再计算各层抽取人数； （2）利用分层抽样总体均值的估计方法，以各层总人数为权重计算加权平均得到结果. 【详解】（1）由题意得：高一年级的总人数为：， 所以抽取的男生人数为：人， 抽取的女生人数为：人， 所以抽取男生56人，女生52人； （2）设通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均年龄分别为岁和岁， 所以（岁）， 所以估计该中学高一年级学生的平均年龄为15.55岁. 16．已知向量． (1)证明：为定值． (2)当时，求与的夹角． (3)求函数的最大值． 【答案】(1)，为定值； (2) (3) 【知识点】已知数量积求模、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示 【分析】(1)由向量的模的运算求解； (2) 由向量的数量积运算求解； (3) 因为，再由进行求解． 【详解】（1）略． （2）当时，则， 得， 设与的夹角为，则， 由，得． （3）由，得， 则函数的定义域为， 由，等号成立时，共线， 则， 得，由于， 得，故函数的最大值为． 17．的内角的对边分别为，已知为钝角，，且． (1)证明：． (2)求． (3)若的中线，求． 【答案】(1)证明：由三角形内角和定理得，故. 由余弦和角公式展开得，代入得，解得. 则. 因为钝角，故，，即，因此，得证. (2)； (3) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、几何图形中的计算 【分析】（1）利用三角形内角和与余弦和差角公式，结合已知余弦乘积推导，结合角的范围完成证明； （2）联立内角和等式与的关系式，解方程组求得角； （3）通过向量中线公式建立边的方程，结合正弦定理得到两边比例，代入化简求解. 【详解】（1）略 （2）联立，两式相加得，解得. （3）由为边上的中线，得， 两边取模长得. 代入，，，， 得，即. 由正弦定理得，故. 由得，因此. 由得，，， 故，即. 将代入得， 整理得，解得. 18．如图，在四棱锥中，， ，，E为棱 的中点，平面 ．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明：由，，E为棱的中点， 则且，所以四边形为平行四边形，则， 又平面平面，所以平面； (2)证明：由平面平面，得， 连接，由且，    所以四边形 为平行四边形，又 ， 所以平行四边形 为正方形，所以， 又 ，， 又平面，平面， 平面，所以平面平面 . 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得 平面 ，结合面面垂直的判定定理即可证明； 【详解】（1）略 （2）略 19．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，且，解不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为 【知识点】根据函数的单调性求参数值、求幂函数的解析式、根据函数是幂函数求参数值、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据幂函数的定义可求解析式； （2）根据对称轴的位置可求参数的取值范围； （3）就分类讨论后可求不等式的解. 【详解】（1）由题意得，所以或， 因为为偶函数，所以，所以. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即， 所以，实数a的取值范围为. （3）由（1）可得，而即为，故. 若，则即不等式解集为， 若，则即不等式解集为. 综上，当时，原不等式的解集为 ， 当时，原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $