第十章 课时4 独立性检验讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦独立性检验专题，覆盖2×2列联表统计意义、χ²统计量计算及独立性检验应用等核心考点，按课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描-综合应用的逻辑架构展开，通过概念辨析、真题精讲、方法总结、分层训练等环节，帮助学生构建统计推断的知识体系和解题思路。 讲义突出真实情境与统计思维的融合，如通过疾病检查、药物效果等实例引导学生用数学眼光观察现实问题，结合χ²值计算与临界值比较培养逻辑推理能力。设置基础判断、选择填空、综合应用等分层练习，配套2025新高考真题及模拟题详解，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生数据分析和实际应用能力。

课时4 独立性检验 一、课标要求 1．通过实例，理解2×2列联表的统计意义. 2．通过实例，会利用2×2列联表检验两个随机变量的独立性． 3. 掌握运用2×2列联表的方法，解决独立性检验的简单实际问题. 二、知识梳理 1．独立性检验 （1）列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)如下： y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d （2） 统计量：＝，其中n＝a＋b＋c＋d． 2. 应用独立性检验解决实际问题的主要环节： （1） 提出零假设：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释； （2） 根据抽样数据整理出2×2列联表，计算的值，并与临界值比较； （3） 根据检验规则得出推断结论； （4） 在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律. 3. 基于小概率值的检验规则 （1）当时，就推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错的概率不超过； 当时，没有充分证据推断不成立，可以认为X和Y独立.这种利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为独立性检验，简称独立性检验. （2）独立性检验中几个常见的小概率值和相应的临界值： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 三、基础回顾 1. 判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）在性别与吃零食这两个分类变量的计算中，若的观测值为6.635，我们有99％的把握认为吃零食与性别有关系，则在100个吃零食的人中必有99人是女性. （ ） （2）经过对的统计量的研究，得到了若干个临界值，当的观测值大于3.841时，我们 可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为A与B有关. （ ） （3）两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大. （ ） （4）若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小． （ ） 2、根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝2.974．依据α＝0.05的独立性检验，结论为(　 　) A．变量x与y不独立 B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C．变量x与y独立 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 3.（多选题）下列有关独立性检验的命题，正确的有（ ） A.两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大 B.对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C.从独立性检验可知：有95％的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95％的可能患有心脏病 D.从独立性检验可知：有99％的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1％的前提下，认为吸烟与患肺癌有关 4. 某科研机构为了研究中年人秃发与心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如下表： 单位：人 心脏病 无心脏病 秃发 20 300 不秃发 5 450 根据表中数据得到χ2≈15.968.因为χ2＞10.828，所以断定秃发与心脏病有关系，则这种判断出错的可能性不大于____． 四、考点扫描 考点一 独立性检验 例1（2025·新高考Ⅰ卷）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 单位：人 超声波检查结果 合计 正常 不正常 组别 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． 参考公式和数据：，其中n=a+b+c+d. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 对点训练 （2025·八省联考）为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，得到如下列联表： 单位：只 疾病 合计 未患病 患病 药物 未服用 100 80 服用 150 70 220 合计 250 400 （1）求，的值； （2）记未服用药物A的动物患疾病B的概率为，给出的估计值； （3）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？ 参考公式和数据：，其中n=a+b+c+d. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 考点二 独立性检验的综合应用 例2(2025·福建厦门市二模)某工厂生产某款产品，根据质量指标值Q对产品进行等级划分，Q小于60的产品视为不合格品，Q不小于60的产品视为合格品，其中Q不小于90的产品视为优质品.工厂为了提升产品质量，对设备进行升级.为考察设备升级后产品的质量，质检部门对设备升级前后生产的产品进行简单随机抽样，得到样本数据，制作如下频数表： （1）根据所给数据填写下列2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析产品合格与设备升级是否有关联. 不合格品件数 合格品件数 合计 升级前 升级后 合计 （2）以上述样本中设备升级后的优质品频率作为升级后产品的优质品率，质检部门为检查设备升级后是否正常运转，每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品并检测. ①记X表示抽取的10件产品中的优质品件数，求的值.（精确到0.001） ②质检部门规定：若抽检的10件产品中，至少出现2件优质品，则认为设备正常运转，否则需对设备进行检修.请根据的值解释上述规定的合理性. 参考公式和数据：，其中n=a+b+c+d.，，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 对点训练 (1)（2024·全国甲卷） 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 单位：件 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 ①填写如下列联表： 单位：件 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ ②已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.若，则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？ 参考公式和数据：，其中.. 0.050 0.010 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 （2）　(2025·山西晋城市模拟)某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况，用来研究这两者是否有关．若该班级共有36名学生，具体见列联表信息． 单位：人 期末统考中的数学成绩 合计 及格 不及格 个性化错题本 建立 20 4 24 未建立 4 8 12 合计 24 12 36 ①依据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关. ②为进一步验证①中的判断，该兴趣小组准备在其他班级中抽取一个容量为36k的样本(假设根据新样本数据建立的列联表中，所有的数据都扩大为原列联表中数据的k倍，且新列联表中的数据都为整数)．若要使得依据α＝0.001的独立性检验可以肯定①中的判断，试确定k的最小值． 拓展与延伸20 概率与统计的综合问题 一、考情分析 概率统计板块在新高考中的定位已发生根本转变，从曾经的“送分题”变为如今承载数据分析、实际应用与跨学科融合的核心载体，命题理念正从传统的“计算型”转向“分析型”. 命题趋势三大转向 1. 情境化：真实情境占比预计超过60%，扶贫数据、环境治理、科技前沿等社会热点直接作为命题素材. 2. 融合化：打破知识壁垒，不仅内部知识融合，更与函数、导数、数列等跨模块知识综合. 3. 思维化：贯彻“少算多想”，增加开放性、结构不良问题，注重考查概率本质理解和统计思想. 二、知识梳理 1. 概率与数列结合常见两类题型： 概率问题转化成一个与自然数n有关的数列问题，借助数列求和、基本不等式求最值或者证明不等式． 利用全概率公式、正态分布或者概率之间的关系获得数列的递推关系式，然后通过配凑构造等比数列，求出概率中的期望值，进而做出最佳的决策． 2. 概率与函数结合常见两类题型：将与概率有关的问题(尤其是最值问题)转化为函数问题，再利用导数知识解决；以决策判断的开放性问题来巧妙设置，从数学角度进行科学创新与判断，为决策或判断提供理论支持． 三、考点扫描 考点一 回归模型与概率分布的综合问题 例1 (2025·山东青岛市模拟)为了丰富农村儿童的课余文化生活，某基金会在农村儿童聚居地区捐建“悦读小屋”.自2021年以来，某村一直在组织开展“悦读小屋读书活动”.下表是对2021年以来近5年该村少年儿童的年借阅量的数据统计： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 年借阅量y/册 y1 y2 36 92 142 (1)在所统计的5个年借阅量中任选2个，记其中低于平均值的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)； (2)通过分析散点图的特征后，计划分别用①＝35x－47和②＝5x2＋m两种模型作为年借阅量y关于年份代码x的回归分析模型，请根据统计表的数据，求出模型②的回归方程，并用残差平方和比较哪个模型拟合效果更好. 参考数据：. 规律方法： 对点训练 （2025·河南周口市模拟）直播带货是扶贫助农的一种新模式，这种模式是利用主流媒体的公信力，聚合销售主播的力量助力打通农产品产销链条，切实助力农民增收．我国南方某蜜桔种植县通过网络平台直播销售蜜桔，其中每箱蜜桔重5千克，单价为40元/箱，已知最近5天单日直播总时长x（即所有主播的直播时长之和，单位：小时）与蜜桔的单目销售量y（单位：百箱）之间的统计数据如下表： 直播总时长x/小时 8 9 11 12 15 单日销售量y/百箱 67 63 80 80 85 可用线性回归模型拟合y与x之间的关系． (1)试求变量y与x的线性回归方程. (2)若每位主播每天直播的时间不超过4小时，则要使得每天直播带货销售蜜桔的总金额超过60万元，至少要请几位主播进行直播？ (3)直播带货大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本．该蜜桔平均每箱按80个计算，若客户在收到货时有坏果，则每个坏果要赔付1元．现有甲、乙两款包装箱，若采用甲款包装箱，成本为元/箱，且每箱坏果的个数X服从若采用乙款包装箱，成本为元/箱，且每箱坏果的个数Y服从请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装箱获得的利润更大. 参考公式和数据：，，，． 考点二 独立性检验与概率分布的综合问题 例2 (2025·广东广州市模拟)近年中国新能源汽车进入高速发展时期.专家预测2024年中国汽车总销售量将超过3100万辆，继续领跑全球.为了了解广大消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车APP采用问卷调查形式对400名消费者进行调查，数据显示这400人中中老年人共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍. 单位：人 购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 年龄段 青年 中老年 合计 (1)完善2×2列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关； (2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，求这4人中青年人数的期望. 参考公式和数据：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 规律方法： 对点训练 （2025·四川成都市模拟）在学校食堂就餐成为了很多学生的就餐选择．学校为了解学生食堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，其中男生和女生人数之比为，现将一周内在食堂就餐超过8次的学生认定为“喜欢食堂就餐”，不超过8次的学生认定为“不喜欢食堂就餐”．“喜欢食堂就餐”的人数比“不喜欢食堂就餐”人数多20人，“不喜欢食堂就餐”的男生只有10人． 单位：人 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 不喜欢食堂就餐 10 合计 100 (1)将上面的列联表补充完整，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢食堂就餐是否与性别有关： (2)用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢食堂就餐”的人数为X．事件“”的概率为，求随机变量X的期望和方差． 参考公式和数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 巩固提升 1. (2025·辽宁沈阳市模拟)随着科技的进步和人民生活水平的提高，电脑已经走进了千家万户，成为人们生活、学习、娱乐的常见物品，便携式电脑(俗称“笔记本”)也非常流行．某公司为了研究“台式机”与“笔记本”的受欢迎程度是否与性别有关，在街头随机抽取了50人做调查研究，调查数据如下表所示． 单位：人 男性 女性 合计 喜欢“台式机” 20 5 25 喜欢“笔记本” 10 15 25 合计 30 20 50 (1)试判断能否有99%的把握认为喜欢哪种机型与性别有关； (2)该公司针对男性客户做了调查，某季度男性客户中有青年324人，中年216人，老年108人，用分层抽样的方法选出12人，又随机抽出3人进行答谢，这3人中的青年人数设为随机变量X，求X的概率分布与数学期望． 参考公式和数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 0.005 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 2、(2025·湖北武汉市武昌区模拟)设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：y(单位：cm)与第天之间近似满足头系式，其中，均为大于0的常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的4个点，记这4个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 课时4 独立性检验参考答案 三、基础回顾 1. （1）× （2）√ （3）√ （4）× 2.C【解析】 因为χ2＝2.974＜x0.05＝3.841，所以变量x与y独立．又2.706＜2.974＜3.841，所以这个结论犯错误的概率不超过0.1．故选C. 3. ABD【解析】对于选项A，两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，则变量的观察值就越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大，A正确； 对于选项B，对分类变量X与Y的随机变量的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小，B正确； 对于选项C，从独立性检验可知：有95％的把握认为秃顶与患心脏病有关，有95％的把握认为这个推理是正确的，有5％的可能性认为推理出现错误，C错误； 对于选项D，从独立性检验可知：有99％的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1％的前提下认为吸烟与患肺癌有关，D正确.故选ABD.   4、0.001【解析】 因为χ2＞10.828＝x0.001，所以判断出错的可能性不大于0.001． 四、考点扫描 例1【解】（1）由题知，样本中超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，由样本估计总体可得超声波检查结果不正常者患该疾病的概率. （2）零假设为：超声波检查结果与患该疾病无关．代入列联表中的数据可得：.根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． 对点训练【解】（1）由表格信息可知，，. （2）由表格信息可知，未服用药物的动物共计180只，其中患疾病的有80只，所以. （3）补全列联表如下： 单位：人 疾病 合计 未患病 患病 药物 未服用 100 80 180 服用 150 70 220 合计 250 150 400 零假设：药物对预防疾病无效，则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为药物对预防疾病有效，此推断犯错的概率不超过0.01． 例2【解】（1）依题意，可得列联表如下： 不合格品件数 合格品件数 合计 升级前 20 80 100 升级后 10 90 100 合计 30 170 200 零假设：产品合格与设备升级没有关联，由列联表可计算.依据小概率的独立性检验，我们可以推断不成立，因此可以认为产品合格与设备升级有关联，该推断犯错误的概率不超过. （2）①根据题意，设备升级后的优质品率为，可以认为从生产线中抽出的10件产品是否为优质品是相互独立的，则，， 所以. ②如果设备正常运转，一天内抽取的10 件产品中，优质品件数少于2个的概率只有，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修，可见上述规定是合理的. 对点训练 （1）【解】①根据题意，可得列联表： 单位：件 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得.因为，所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异. ②由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. （2） 【解】①零假设为H0：期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关．根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝9＞7.879＝x0.005．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关，此推断犯错误的概率不大于0.005． ②χ′2＝＝＝9k≥10.828，解得k≥．要使新列联表中的数据都为整数，则需4k∈Z．又因为4k≥≈4.8，所以4k的最小值为5，故k的最小值是． 拓展与延伸20 概率与统计的综合问题 三、考点扫描 例1【解】(1)由题知，5年的借阅量的平均数为＝58，又y1＋y2＝290－36－92－142＝20，则y1<58，y2<58，所以低于平均值的有3个，所以X服从超几何分布，P(X＝k)＝(k＝0，1，2)，所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列如下： X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)因为＝11，＝＝58，所以58＝5×11＋m，即m＝3.所以模型②的回归方程为＝5x2＋3，根据模型①的回归方程可得＝－12，＝23，＝58，＝93，＝128.根据模型②的回归方程可得＝8，＝23，＝48，＝83，＝128.因为[(y1＋12)2＋(y2－23)2＋(36－58)2＋(92－93)2＋(142－128)2]－[(y1－8)2＋(y2－23)2＋(36－48)2＋(92－83)2＋(142－128)2]＝(y1＋12)2－(y1－8)2＋222－122＋12－92＝40y1＋340，且y1≥0，所以模型①的残差平方和大于模型②的残差平方和，所以模型②的拟合效果更好. 对点训练【解】（1）由题意，得，.又，，所以，所以，所以经验回归方程为. （2）根据题意，得，解得，又，所以至少要请位主播进行直播. （3）对于乙款包装箱，由，所以.设采用甲款包装箱每箱获得的利润的数学期望为，则.设采用乙款包装箱每箱获得的利润的数学期望为，则.令，解得.因为，所以令，解得， 令，解得.综上所述，当时，采用两款包装箱获得的利润一样； 当时，采用甲款包装箱获得的利润更大；当时，采用乙款包装箱获得的利润更大. 例2【解】（1）中老年共有150人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍， 所以愿意购买新能源车的中老年人数为100，愿意购买燃油车的中老年人数为50，青年共有250人，愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为200人，愿意购买燃油车为50人，得到如下2×2列联表：         单位：人     购车意向 合计 愿意购买新能源车 愿意购买燃油车 年龄段 青年 200 50 250 中老年 100 50 150 合计 300 100 400 零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关，.根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关. （2）愿意购买新能源车的共有300人，青年人与中老年人的比例为2：1，所以分层随机抽样抽取的9人中6人是青年人，3人是中老年人，记这4人中，青年的人数为，则的可能取值为1，2，3，4，， ，，，所以的分布列如下： 1 2 3 4 ，所以这4人中青年人数的期望为. 对点训练 【解】（1）列联表如下： 单位：人 男生 女生 合计 喜欢食堂就餐 40 20 60 不喜欢食堂就餐 10 30 40 合计 50 50 100 零假设：假设食堂就餐与性别无关，由列联表可得.根据小概率的独立性检验推断不成立，即可以得到学生喜欢食堂就餐与性别有关，此推断犯错误的概率不超过. （2）由题意可知，抽取的10名学生，喜欢饭堂就餐的学生人数服从二项分布，且喜欢饭堂就餐的频率为，则，故其期望，方差. 四、巩固提升 1. 【解】(1)提出假设H0：喜欢哪种机型与性别无关．由表中数据可得χ2＝≈8.333>6.635，即有99%的把握认为喜欢哪种机型与性别有关． (2)由题意，324∶216∶108＝3∶2∶1，所以12人中有青年人6人，中年人4人，老年人2人，则X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，则概率分布如下： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2.【解】（1）令，则，根据已知数据表得到如下表： x y 则，，可得，，通过上表计算可得：，因为回归直线过点，则，所以y关于的回归方程. （2）由题意可知：7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天，从散点图中任取4个点，即从这7天中任取4天，所以这4个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为1，2，3，4，则有：；；；.所以随机变量的分布列如下： 1 2 3 4 随机变量的期望值. . 学科网（北京）股份有限公司 $