第十章 课时2 用样本估计总体讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦“用样本估计总体”核心考点，涵盖集中趋势参数、离散程度参数、百分位数及总体取值规律估计，按课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描逻辑架构知识体系。通过概念辨析、公式推导、真题精讲（如2023全国乙卷）及分层训练，帮助学生系统掌握统计参数含义与应用，突破数据处理难点。 资料突出数学眼光与数学思维培养，如例2通过稻田亩产量频数表分析中位数、极差等，引导学生从数据中抽象规律。采用“真题情境化”教学，结合2024新课标Ⅱ卷等实例，训练用样本数字特征解决实际问题的能力。设置基础判断、选择及综合应用题，配合规律方法总结，助力学生高效提升统计素养，为教师精准复习提供清晰路径。

课时2 用样本估计总体 一、课标要求 1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义. 2．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参 数的统计含义. 3．结合实例，能用样本估计总体的取值规律． 4．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义. 二、知识梳理 1．平均数或均值 样本数据的算术平均数，即 . 若取值为的频率分别为，则其平均数为 . 2.方差与标准差 设一组样本数据，其平均数为，则称 为这个样本的方差，其算术平方根 为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差. 3.平均数、标准差与方差反映了数据的哪些特征？ 平均数反映了数据取值的平均水平，标准差、方差反映了数据对平均数的波动情况，即标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；反之离散程度越小，越稳定． 4.百分位数 (1)一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有％的数据 这个值，且至少有（1-p）%的数据 这个值. (2)计算一组个数据的第百分位数的步骤 第一步：按从小到大顺序排列原始数据； 第二步：计算％； 第三步：若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据，若是整数，则第百分位数为第项与第项的数据的平均数. 【拓展知识】 1．众数、中位数 （1）众数：在一组数据中，出现次数最大的数据叫作这组数据的众数． （2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫作这组数据的中位数． 2. 众数、中位数、平均数的优点与缺点 （1）众数通常用于描述变量的值出现次数最大的数．但显然它对其他数据信息的忽视使得它无法客观地反映总体特征. （2）中位数等分样本数据所占频率，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点. （3）平均数与每一个样本数据有关，可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使得平均数在估计总体时可靠性降低. 3. 方差的公式推广的说明 (1)若数据的平均数为，则的平均数是 . (2)数据的方差为. ①数据的方差为 ； ②数据的方差为 ； ③. （3）分层随机抽样的方差 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，则这个样本的方差为. 4. 中位数相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数，这三个分位数把一组按由小到大顺序排列后的数据分成四等分，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）一组数据，去掉最大的和最小的数以后，平均数和中位数都不变.（ ） （2）若一组数中每个数都减1，则这组数的平均数变小，方差不变． （ ） （3）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，平均数一定大于中位数. （ ） （4） 标准差刻画了数据的离散程度和波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. （ ） 2．某射击运动员7次训练的成绩（单位：分）分别为86,88,90,89,88,87,85，则这7次成绩的第80百分位数为(　 　) A．88.5 B．89 C．91 D．89.5 3．（多选题）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位：环)，得到如下数据： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则有(　 　) A．甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差 B．甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值 C．甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数 D．甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差 4．某校举行歌咏比赛，7位评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分后，所得平均分作为该班节目的实际得分.对于某班的演出，7位评委的评分（单位：分）分别为9.65，9.70，9.68，9.75，9.72，9.65，9.78，则该班节目的实际得分是　　　　. 四、考点扫描 考点一 样本的数字特征的计算与应用 例1 （2023•全国乙卷）某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为． （1）求，的值； （2）试判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 对点训练 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提 高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 旧设备 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为，样本方差分别记为和． (1)求，，，的值； (2)试判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高. 注：若，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；否则，不认为有显著提高． 例2 （1）（2024·全国新课标Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理如下表： 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 24 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 （2）（多选题）（2025·广东广州市一模）某位射击运动员的两组训练数据如下，第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则有（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 对点训练（1）记样本x1，x2，…，xm的平均数为，样本y1，y2，…，yn的平均数为 (≠)．若样本x1，x2，…，xm，y1，y2，…，yn的平均数为＝＋，则的值为(　 　) A．3 B．4 C． D． （2）棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中随机抽测了20根棉花的纤维长度(单位：mm)，按从小到大排序结果如下： 25　28　33　50　52　58　59　60　61　62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 则估计这批棉花的第45百分位数为__ __． 规律方法： 考点二 利用样本的数字特征解决决策问题 例3 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 28 17 34 21 （1）试分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 对点训练 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩(单位：分)中随机抽取8次，数据如下表所示． 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 75 80 80 90 85 92 95 (1) 试计算这两组数据的平均数、中位数. (2) 现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，选派哪名工人参加合适？请说明理由． 课时2 用样本估计总体参考答案 二、知识梳理 1． 2． 4.（1）小于或等于 大于或等于 【拓展知识】 3. (1) (2)① ② 三、基础回顾 1．（1）【解析】中位数不变，平均数可能变化. （2）√ （3） 【解析】对一个单峰的频率分布直方图来说，平均数和中位数可能差不多，也可能平均数大于中位数，也可能平均数小于中位数. （4） √ 2. B【解析】 因为7次训练的成绩从小到大排列为85,86,87,88,88,89,90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位数为从小到大排列的数据中的第6个数据，即89．故选B. 3. BC【解析】甲成绩的极差为93－87＝6，乙成绩的极差为92－88＝4，故A错误； 甲成绩的平均值为＝90，乙成绩的平均值为＝90，故B正确； 甲成绩的中位数为90，乙成绩的中位数为90，故C正确； 甲成绩的样本标准差为＝2，乙成绩的样本标准差为＝，故D错误．故选BC. 4．9.70【解析】＝×（9.65＋9.70＋9.68＋9.75＋9.72）＝9.70. 四、考点扫描 例1【解】（1）， ，， 的值分别为， 故 （2）由（1）知，，，故.所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 对点训练【解】（1）由题中数据可得，×（9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7）＝10，×（10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5）＝10.3， （2）， 因为，所以，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 例2 （1）C【解析】对于选项A, 根据频数分布表可知, ,所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于选项B，亩产量不低于的频数为，所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于选项C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于选项D，由频数分布表可得，亩产量在的频数，所以平均值为，故D错误.故选C. （2）AD【解析】第一组数据从小到大排序为：，其平均数为， 其方差为， 其极差为，其中位数为；第二组数据从小到大排序为，其平均数为，其方差，其极差为，其中位数为，所以AD正确，BC错误.故选AD. 对点训练（1）D【解析】由题意知x1＋x2＋…＋xm＝m，y1＋y2＋…＋yn＝n，＝＝＝＋＝＋，所以＝，＝，可得3m＝n，所以＝．故选D. （2）61.5【解析】由题意知20×45%＝9，所以这批棉花的第45百分位数为从小到大排列的第9个数与第10个数的平均数，即＝61.5． 例3【解】（1）由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为. （2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表如下： 利润 65 25 −5 −75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表如下： 利润 70 30 0 −70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为.比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 对点训练【解】（1） 甲＝×(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85(分)，乙＝×(83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95)＝85(分)．甲、乙两组数据的中位数分别为83分，84分． （2）由(1)知甲＝乙＝85分，所以s＝×[(95－85)2＋(82－85)2＋…＋(78－85)2]＝35.5，s＝×[(83－85)2＋(75－85)2＋…＋(95－85)2]＝41． ①从平均数来看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数来看，乙的中位数大于甲的中位数，乙的成绩好于甲； ③从方差来看，因为甲＝乙，s＜s，所以甲的成绩较稳定； ④从数据来看，获得85分以上(含85分)的次数，甲有3次，而乙有4次，故乙的成绩好些； ⑤从数据的变化趋势来看，乙后 3次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此乙更具潜力． 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好成绩． . 学科网（北京）股份有限公司 $