9.2 用样本估计总体【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦“用样本估计总体”高考核心考点，涵盖百分位数、平均数、方差等统计量及频率分布图表应用，按概念梳理-公式应用-图表分析逻辑架构知识，通过双基自测、核心梳理、题型突破、限时训练四环节，帮助学生系统掌握数据处理方法，突破高考高频难点。 资料以“数学眼光观察数据”“数学思维分析规律”为导向，设计频率分布直方图分析（如例2估计及格率与百分位数）等情境化题型，结合分层练习（基础自测到综合解答），培养数据分析与实际应用能力，助力学生高效提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

　第九章 统计与成对数据的统计分析 §9.2　用样本估计总体 【高考考向预测】 用样本估计总体依托抽样获取样本数据，借助频率分布表、直方图、茎叶图整理数据，再通过平均数、中位数、方差等样本数字特征估算总体分布与整体特征，侧重识图、数据分析与公式计算；近三年常在选择、填空题出现，偶尔结合概率出解答小问，考频稳定；预测2027 年命题贴近生活情境，多融合图表信息辨析、方差实际意义考查，常与抽样、成对数据分析综合出题，注重数据处理与实际应用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.(　 　) (2)方差与标准差具有相同的单位.(　 　) (3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.(　 　) (4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.(　 　) 2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是(　　) A.平均数 B.众数 C.百分位数 D.标准差 3.(2025·全国Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　) A.8 B.9 C.12 D.18 4.(2025·周口模拟)已知一组从小到大排列的数据为a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则2a+b=　　　　　. 【核心梳理●明考点】 1.百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2.平均数、中位数和众数 (1)平均数：=(x1+x2+…+xn). (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 3.方差和标准差 (1)方差：s2=(xi-)2或-. (2)标准差：s=. 4.总体方差和总体标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2=(Yi-)2. (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为S2=fi(Yi-)2. 1.若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么mx1+a，mx2+a，…，mxn+a的平均数为m+a，方差为m2s2. 2.数据x1，x2，…，xn与数据x1'=x1+a，x2'=x2+a，…，xn'=xn+a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变. 【题型突破●明方向】 题型一　样本数字特征的估计 例1　(1)(多选)已知某市连续七天的日平均气温(单位：℃)分别为28，25，27，26，25，23，28，则这组数据的(　　) A.平均数为26 B.方差为3 C.中位数为26 D.第80百分位数为25 (2)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 跟踪训练1　(1)(多选)(2025·佳木斯模拟)下列说法正确的是(　　) A.一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为16 (2)若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是　　　　　　　；中位数是　　　　　　. 题型二　总体集中趋势的估计 例2　某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占的比例)； (2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； (3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数. 跟踪训练2　某市为了研究高三学生在全市质检中的数学成绩的情况，从全市16 000名学生中随机抽取了1 600名学生的数学成绩作为样本(成绩均在[70，140]内)，将所得的成绩分成七组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，得到频率分布直方图如图所示. (1)求a的值，并估计该市数学成绩落在区间[90，110)内的学生人数； (2)估计本次考试全市数学成绩的中位数(精确到0.01)和平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表). 题型三　总体离散程度的估计 例3　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，…，10).试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 跟踪训练3　(2025·大庆模拟)从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. (1)求第七组的频率，并求出样本中位数； (2)已知该校有600名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为173.5和17.75，女生身高总体数据的平均数和方差分别为163和30，估计该校学生身高的平均数和方差. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的(　　) A.极差 B.平均数 C.中位数 D.众数 2.(2025·武汉模拟)在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为(　　) A.5，8 B.6，8 C.5，7 D.6，7 3.(2025·南平模拟)如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态.根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是(　　) A.图(1)中平均数<中位数=众数 B.图(2)中平均数<众数<中位数 C.图(2)中众数<平均数<中位数 D.图(3)中平均数<中位数<众数 4.(2026·成都模拟)在某次射击比赛中，甲、乙两人在决赛中14次射击环数如图，则(　　) A.甲的平均射击环数超过10.6 B.乙射击环数的第80百分位数为10.65 C.甲射击环数的标准差小于乙射击环数的标准差 D.乙射击环数的极差小于甲射击环数的极差 5.(2025·六安模拟)某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用按比例分配的分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为(　　) A.168，35 B.168，20 C.169.6，35 D.169.6，20 6.(2025·海口模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x10满足xi-xi-1=1(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是(　　) A.中位数不变 B.若x1=1，则数据x1，x2，x3，…，x10的第75百分位数为7.5 C.平均数不变 D.方差变小 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2023·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 8.某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是(　　) A.a=0.010 B.估计该校学生数学竞赛成绩的众数为75 C.该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80 D.估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在[70，80)内 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是　　　. 10.已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为　　　　　. 四、解答题(共28分) 11.(13分)第8届中国-南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作，共谋发展”为主题，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家、地区和国际组织参会，2 000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[90，100]内，并将部分数据整理如表： 分数 [90，92) [92，94) [94，96) [98，100] 频数 10 10 20 20 (1)估计这100家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；(6分) (2)估计这100家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(7分) 12.(15分)某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生.为分析他们的英语成绩，该老师计划用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数. (1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01~60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端.求抽出的学生编号的中位数；(5分) 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 (2)已知甲班的样本平均数为=72，方差为=92，两班总的样本平均数为=76，方差为s2=96. ①求乙班的样本平均数和方差；(5分) ②判断两班学生的英语成绩是否有明显差异.(如果|-|≥2，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异)(5分) [每小题5分，共10分] 13.已知x是-4，-2，-1，1，x，3，5，6，11这九个数据的中位数，且-1，0，2，x2，y-这五个数据的平均数为3，则y的取值范围为(　　) A. B.[6，14] C. D.[5，14] 14.已知实数x0，x1，…，x2 024，则使|xi-k|和最小的实数k分别为x0，x1，…，x2 024的(　　) A.中位数，标准差 B.平均数，中位数 C.中位数，平均数 D.标准差，平均数 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 　第九章 统计与成对数据的统计分析 §9.2　用样本估计总体 【高考考向预测】 用样本估计总体依托抽样获取样本数据，借助频率分布表、直方图、茎叶图整理数据，再通过平均数、中位数、方差等样本数字特征估算总体分布与整体特征，侧重识图、数据分析与公式计算；近三年常在选择、填空题出现，偶尔结合概率出解答小问，考频稳定；预测2027 年命题贴近生活情境，多融合图表信息辨析、方差实际意义考查，常与抽样、成对数据分析综合出题，注重数据处理与实际应用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对一组数据来说，平均数和中位数总是非常接近.(　 　) (2)方差与标准差具有相同的单位.(　 　) (3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.(　 　) (4)在频率分布直方图中，可以用最高的小长方形底边中点的横坐标作为众数的估计值.(　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√ 2.在下列统计量中，用来描述一组数据离散程度的量是(　　) A.平均数 B.众数 C.百分位数 D.标准差 【答案】D 【解析】标准差反映了数据离散程度的大小，所以说标准差是用来描述一组数据离散程度的统计量，故D正确. 3.(2025·全国Ⅱ卷)样本数据2，8，14，16，20的平均数为(　　) A.8 B.9 C.12 D.18 【答案】C 【解析】样本数据2，8，14，16，20的平均数为=12. 4.(2025·周口模拟)已知一组从小到大排列的数据为a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位数等于其极差，则2a+b=　　　　　. 【答案】10 【解析】因为10×0.7=7，所以a，2，2，4，4，5，6，b，8，8的第70百分位数为，其极差为8-a，所以=8-a，解得2a+b=10. 【核心梳理●明考点】 1.百分位数 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2.平均数、中位数和众数 (1)平均数：=(x1+x2+…+xn). (2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时). (3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据). 3.方差和标准差 (1)方差：s2=(xi-)2或-. (2)标准差：s=. 4.总体方差和总体标准差 (1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S2=(Yi-)2. (2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i=1，2，…，k)，则总体方差为S2=fi(Yi-)2. 1.若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，那么mx1+a，mx2+a，…，mxn+a的平均数为m+a，方差为m2s2. 2.数据x1，x2，…，xn与数据x1'=x1+a，x2'=x2+a，…，xn'=xn+a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变. 【题型突破●明方向】 题型一　样本数字特征的估计 例1　(1)(多选)已知某市连续七天的日平均气温(单位：℃)分别为28，25，27，26，25，23，28，则这组数据的(　　) A.平均数为26 B.方差为3 C.中位数为26 D.第80百分位数为25 【答案】AC 【解析】这组数据的平均数为×(28+25+27+26+25+23+28)=26，A正确； 这组数据的方差为×[(28-26)2+(25-26)2+(27-26)2+(26-26)2+(25-26)2+(23-26)2+(28-26)2]=，B错误； 将这组数据从小到大排序为23，25，25，26，27，28，28，其中位数为26，C正确； 因为7×0.8=5.6，则第80百分位数为从小到大排序的第6个数据，为28，D错误. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表： 亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是(　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 【答案】C 【解析】对于A，根据频数分布表可知， 6+12+18=36<50， 所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误； 对于B，亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34，所以低于1 100 kg的稻田占比为×100%=66%，故B错误； 对于C，因为1 200-900=300，1 150-950=200，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067，故D错误. 【思维升华】计算一组n个数据第p百分位数的步骤 跟踪训练1　(1)(多选)(2025·佳木斯模拟)下列说法正确的是(　　) A.一组样本数据为7，12，13，17，18，20，32，若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数不可能相等 B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为16 【答案】CD 【解析】对于A，该组数据的平均数等于=17，去掉17后，得到的新数据的平均数仍然为17，两组数据的平均数相等，故A错误； 对于B，因为数据1，2，m，6，7的平均数是4，所以m=4×5-1-2-6-7=4， 这组数据的方差是s2=[(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(7-4)2]=，故B错误； 对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，又8×70%=5.6，即第70百分位数为第6个数据，为23，故C正确； 对于D，依题意设样本数据x1，x2，…，x10的方差为，数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为，则=82，则=22×=162， 故数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的标准差为16，故D正确. (2)若某校高一年级10个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，96，95，则这组数据的众数是　　　　　　　；中位数是　　　　　　. 【答案】96　92.5 【解析】这组数据从小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，95，96，96，其中96出现的次数最多，则这组数据的众数是96，中位数是=92.5. 题型二　总体集中趋势的估计 例2　某考试机构举行了新高考适应性考试，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习情况，作出升学规划，决定是否参加强基计划.在本次适应性考试中，某学校为了解高三学生的联考情况，随机抽取了100名学生的联考数学成绩作为样本，并按照分数段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分组，绘制了如图所示的频率分布直方图. (1)求出图中a的值并估计本次考试的及格率(“及格率”指得分为90分及以上的学生所占的比例)； (2)估计该校学生联考数学成绩的第80百分位数； (3)估计该校学生联考数学成绩的众数、平均数. 【解析】(1)由频率分布直方图的性质，可得(a+0.004+0.013+0.014+0.016)×20=1， 解得a=0.003. 本次考试的及格率约为(0.016+0.014+0.003)×20=0.66=66%. (2)得分在110分以下的学生所占的比例为(0.004+0.013+0.016)×20=0.66， 得分在130分以下的学生所占的比例为0.66+0.014×20=0.94， 所以第80百分位数位于[110，130)内， 由110+20×=120，估计第80百分位数为120. (3)由题图可得，众数的估计值为100. 平均数的估计值为0.08×60+0.26×80+0.32×100+0.28×120+0.06×140=99.6. 【思维升华】频率分布直方图中的数字特征 (1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标. (2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等. (3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和. 跟踪训练2　某市为了研究高三学生在全市质检中的数学成绩的情况，从全市16 000名学生中随机抽取了1 600名学生的数学成绩作为样本(成绩均在[70，140]内)，将所得的成绩分成七组：[70，80)，[80，90)，[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140]，得到频率分布直方图如图所示. (1)求a的值，并估计该市数学成绩落在区间[90，110)内的学生人数； (2)估计本次考试全市数学成绩的中位数(精确到0.01)和平均数(同一组中的数据用该区间的中点值作代表). 【解析】(1)由题意知(0.012+0.018+0.028+a+0.010+0.008+0.002)×10=1，解得a=0.022， 所以该市数学成绩落在区间[90，110)内的频率为(0.028+0.022)×10=0.5， 估计该市数学成绩落在区间[90，110)内的学生人数是16 000×0.5=8 000. (2)由频率分布直方图得，分数在区间[70，90)内的频率为(0.012+0.018)×10=0.3， 在区间[70，100)内的频率为(0.012+0.018+0.028)×10=0.58， 设该市数学成绩的中位数为m，则m在区间[90，100)内， 所以(m-90)×0.028+0.3=0.5， 解得m=≈97.14， 数学成绩的平均数为75×0.12+85×0.18+95×0.28+105×0.22+115×0.1+125×0.08+135×0.02=98.2. 题型三　总体离散程度的估计 例3　(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行了10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i=1，2，…，10).试验结果如下： 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2. (1)求，s2； (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高). 【解析】(1)由题意得zi=xi-yi 的值分别为9，6，8，-8，15，11，19，18，20，12， 则=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11， s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61. (2)由(1)知，=11，2=2=， 故有≥2， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【思维升华】总体离散程度的估计 标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度.标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小. 跟踪训练3　(2025·大庆模拟)从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160)，第二组[160，165)，…，第八组[190，195]，如图是频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人. (1)求第七组的频率，并求出样本中位数； (2)已知该校有600名女生，男生身高总体数据的平均数和方差分别为173.5和17.75，女生身高总体数据的平均数和方差分别为163和30，估计该校学生身高的平均数和方差. 【解析】(1)第六组的频率为=0.08， 则第七组的频率为1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06， 前三组的频率为5×(0.008+0.016+0.04)=0.32， 前四组的频率为0.32+5×0.04=0.52， 所以中位数位于第四组，设中位数为m， 由0.32+(m-170)×0.04=0.5，解得m=174.5， 即样本中位数为174.5. (2)该校学生身高的平均数为=169， 该校学生身高的方差为 =50. 【限时训练】 （40分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的(　　) A.极差 B.平均数 C.中位数 D.众数 【答案】C 【解析】由题意得众数为2，极差为5-1=4，平均数为=，中位数为=2.5. 2.(2025·武汉模拟)在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为(　　) A.5，8 B.6，8 C.5，7 D.6，7 【答案】A 【解析】这6个数据的平均数为(3+9+5+8+4+1)=5； 这6个数中，最大值为9，最小值为1，所以这组数据的极差为9-1=8. 3.(2025·南平模拟)如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图(3)形成“左拖尾”形态.根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是(　　) A.图(1)中平均数<中位数=众数 B.图(2)中平均数<众数<中位数 C.图(2)中众数<平均数<中位数 D.图(3)中平均数<中位数<众数 【答案】D 【解析】对于图(1)，平均数=中位数=众数，故A错误； 对于图(2)，众数<中位数<平均数，故B，C错误； 对于图(3)，平均数<中位数<众数，故D正确. 4.(2026·成都模拟)在某次射击比赛中，甲、乙两人在决赛中14次射击环数如图，则(　　) A.甲的平均射击环数超过10.6 B.乙射击环数的第80百分位数为10.65 C.甲射击环数的标准差小于乙射击环数的标准差 D.乙射击环数的极差小于甲射击环数的极差 【答案】C 【解析】由题知，甲的射击环数只有2次10.8环，5次10.6环， 其余都是10.6环以下，所以甲平均射击环数低于10.6，故A错误； 将乙的射击环数从小到大排列为9.7，10，10.2，10.3，10.3，10.4，10.4，10.4，10.5，10.6，10.6，10.7，10.7，10.8，由于14×0.8=11.2，故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B错误； 由于乙的射击环数更分散，故标准差更大，故C正确； 乙射击环数的极差为10.8-9.7=1.1， 甲射击环数的极差为10.8-10.3=0.5，故D错误. 5.(2025·六安模拟)某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用按比例分配的分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为(　　) A.168，35 B.168，20 C.169.6，35 D.169.6，20 【答案】A 【解析】男学生和女学生人数比例为600∶400=3∶2， 故样本中男生人数为50×=30，女生人数为50×=20， 样本的平均数为×172+×162=168， 样本的方差为×[9+(172-168)2]+×[14+(162-168)2]=35. 6.(2025·海口模拟)已知数据x1，x2，x3，…，x10满足xi-xi-1=1(2≤i≤10)，若去掉x1，x10后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是(　　) A.中位数不变 B.若x1=1，则数据x1，x2，x3，…，x10的第75百分位数为7.5 C.平均数不变 D.方差变小 【答案】B 【解析】原来的中位数与现在的中位数均为==x1+4.5，故中位数不变，故A正确； 当x1=1时，数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.因为10×75%=7.5，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误； 由于xi-xi-1=1(2≤i≤10)，故x2=x1+1，x3=x1+2，…，x9=x1+8，x10=x1+9，原来的平均数为==x1+4.5，去掉x1，x10后的平均数为==x1+4.5，平均数不变，故C正确； 原来的方差为[(x1-x1-4.5)2+(x2-x1-4.5)2+…+(x10-x1-4.5)2]=8.25，去掉x1，x10后的方差为[(x2-x1-4.5)2+(x3-x1-4.5)2+…+(x9-x1-4.5)2]=5.25，方差变小，故D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2023·新高考全国Ⅰ)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　) A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数 B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数 C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差 D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差 【答案】BD 【解析】取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9， 则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为=，故A，C均不正确； 根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确； 根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确. 8.某校对120名学生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的是(　　) A.a=0.010 B.估计该校学生数学竞赛成绩的众数为75 C.该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80 D.估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在[70，80)内 【答案】ABD 【解析】由于组距为10，所以有a+0.020+0.035+0.025+a=0.1，得a=0.010，故A正确； 数学竞赛成绩在[70，80)内的学生最多，可以将该区间的中点值75作为众数的估计值，故B正确； [50，60)，[60，70)两组的频率之和为0.3，[70，80)的频率为0.35，所以中位数一定落在[70，80)内，小于80，故C错误； 0.1×55+0.2×65+0.35×75+0.25×85+0.1×95=75.5，落在[70，80)内，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第40百分位数是　　　. 【答案】6 【解析】由题意知该组数据的极差为17-2=15， 中位数为， 所以=15×=9，解得m=6， 又6×40%=2.4， 所以该组数据的第40百分位数是该组数据的第三个数6. 10.已知某7个数的平均数为2，方差为4，现加入一个新数据2，此时这8个数的方差为　　　　　. 【答案】 【解析】原7个数的方差为=4， 即=4×7=28， 加入一个新数据2后所得8个数的平均数为 ==2， 所以这8个数的方差为s2=[28+(2-2)2]=. 四、解答题(共28分) 11.(13分)第8届中国-南亚博览会暨第28届中国昆明进出口商品交易会在昆明滇池国际会展中心隆重开幕.本届南博会以“团结协作，共谋发展”为主题，共设15个展馆，展览面积15万平方米，吸引82个国家、地区和国际组织参会，2 000多家企业进馆参展.某机构邀请了进馆参展的100家企业对此次展览进行评分，分值均在[90，100]内，并将部分数据整理如表： 分数 [90，92) [92，94) [94，96) [98，100] 频数 10 10 20 20 (1)估计这100家企业评分的中位数(保留小数点后一位)；(6分) (2)估计这100家企业评分的平均数与方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(7分) 【解析】(1)由题意得这100家企业评分在[96，98)内的频数为100-10-10-20-20=40. 设这100家企业评分的中位数的估计值为x， 因为评分在[90，96)内的频数之和为10+10+20=40<50， 评分在[90，98)内的频数之和为40+40=80>50， 所以x∈[96，98)，由=， 得x=96.5. (2)这100家企业评分的平均数的估计值为=(91×10+93×10+95×20+97×40+99×20)=96， 这100家企业评分的方差的估计值为 s2=[(91-96)2×10+(93-96)2×10+(95-96)2×20+(97-96)2×40+(99-96)2×20]=5.8. 12.(15分)某英语老师负责甲、乙两个班的英语课，其中甲班有60名学生，乙班有48名学生.为分析他们的英语成绩，该老师计划用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取18名学生，统计他们英语考试的分数. (1)该老师首先在甲班采用随机数法抽取所需要的学生，为此将甲班学生随机编号为01~60，按照以下随机数表，以第2行第21列的数字4为起点，从左到右依次读取数据，每次读取两位随机数，重复的跳过，一行读完之后接下一行左端.求抽出的学生编号的中位数；(5分) 7816　6572　0802　6314　0702　4369　9728　0198 3204　9243　4935　8200　3623　4869　6938　7481 2976　3413　2841　4241　2424　1985　9313　2322 8303　9822　5888　2410　1158　2729　6443　2943 (2)已知甲班的样本平均数为=72，方差为=92，两班总的样本平均数为=76，方差为s2=96. ①求乙班的样本平均数和方差；(5分) ②判断两班学生的英语成绩是否有明显差异.(如果|-|≥2，则认为两班学生的英语成绩有明显差异，否则不认为有明显差异)(5分) 【解析】(1)根据按比例分配的分层随机抽样的规则，需要在甲班抽取的样本数为18×=10， 在随机数表中依次读取的编号为48，38，29，34，13，28，41，42，24，19， 编号从小到大依次为13，19，24，28，29，34，38，41，42，48， 所以抽出的学生编号的中位数为=31.5. (2)①依题意，样本中甲班学生有10人，乙班学生有8人，由按比例分配的分层随机抽样的平均数和方差的公式， 得=+， 因此===81， s2=+]++]， 即96=(92+42)++52)，解得=56， 所以=81，=56. ②因为|-|=|72-81|=9， 2=2<2=<9， 因此|-|≥2成立， 所以两班学生的英语成绩有明显差异. [每小题5分，共10分] 13.已知x是-4，-2，-1，1，x，3，5，6，11这九个数据的中位数，且-1，0，2，x2，y-这五个数据的平均数为3，则y的取值范围为(　　) A. B.[6，14] C. D.[5，14] 【答案】C 【解析】因为x是-4，-2，-1，1，x，3，5，6，11这九个数据的中位数，所以x∈[1，3]， 因为-1，0，2，x2，y-这五个数据的平均数为3， 所以-1+0+2+x2+y-=15，即y=-x2+14， 所以y=-x2+14，x∈[1，3]， 因为函数y=，y=-x2+14在[1，3]上均单调递减， 所以y=-x2+14在[1，3]上单调递减， 因为当x=1时，y=-12+14=14，当x=3时，y=-32+14=， 所以y的取值范围为. 14.已知实数x0，x1，…，x2 024，则使|xi-k|和最小的实数k分别为x0，x1，…，x2 024的(　　) A.中位数，标准差 B.平均数，中位数 C.中位数，平均数 D.标准差，平均数 【答案】C 【解析】|xi-k|=|x0-k|+|x1-k|+…+|x2 024-k|，表示2 025个绝对值之和， 根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值， 因为2 025为奇数，所以k取x0，x1，…，x2 024的中位数时，|xi-k|有最小值； =-2kxi+k2)=(+++…+)-(2x0+2x1+2x2+…+2x2 024)k+2 025k2为关于k的一元二次函数， 故当k=时，有最小值， 即k为x0，x1，…，x2 024的平均数时，有最小值. / 学科网（北京）股份有限公司 $