湖南衡阳市第一中学2026届高三下学期一模检测数学试题

**基本信息** 衡阳市一中2026高三一模数学卷，以高考命题趋势为导向，覆盖函数、几何、概率等核心模块，通过公交路线时间分析（第5题）、信息加密（第16题）等真实情境，考查数学眼光观察现实、思维分析问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、命题、三角函数、正态分布|第5题结合公交路线正态分布，培养数据观念| |多选题|3/18|函数性质、立体几何|第10题函数对称性与周期性，考查逻辑推理| |填空题|3/15|概率、立体几何体积、导数应用|第12题抽奖概率，体现应用意识| |解答题|5/77|解三角形、概率与信息熵、立体几何、圆锥曲线、导数|第16题信息加密结合信息熵，创新应用数学语言表达|

衡阳市第一中学2026年高三一模检测数学试题 答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A B D AD BC 题号 11 答案 ABD 10 12.49 得 14.{x-2026<x<-2025 15.(1)如图，在△DBC中，CD=5,BC=6.BD=1 D+Bc-cD.P+(6-(5_6 根据余弦定理，得cos∠DBC= 2BD·BC 2×1×√6 3 B 又在△ABC中，cos∠ABC=. 3,BC=V6,AB=2, 根据余弦定理，得os∠1BC-B+BC-AC_2+(6-AC26 2AB.BC 2×2×V6 3 解得4C-v2 (2)如图，延长BA,使AE=AC,则△AEC为等腰三角形，∠AEC=∠ACE, ∠BAC=∠AEC+∠ACE=2∠AEC, D 又∠BAC=2∠BCD,所以∠BCD=∠AEC,所以∠BDC=∠BCE, EB BC AB+AEBC 所以△BDC~△BCE,则CBBD,即CB=BD, 2+ACBC 所以CB=1,则BC2=2+AC, 又1C=d+DC,Bc=BD+DC 所以Ad=AD+DC=AD°+DC+2 ADDCcos∠BDc, BC"=BD+DC"=BD"+DC+2BD.DCcos LADC, 所以Ad+Bc=2aD+Dc）=2P+(]=8, 所以AC2+AC+2=8,即AC2+AC-6=0,解得AC=2或AC=-3(舍)· 16()记事件M为4,8通过第次如密后学节1的个数为，1=0,1,2， 事件N为“A,B通过第二次加密后字节1的个数为2”， P)=P)日-.P)=2日，N1-g,N-子.N- 9, ()-P(M)+(M))+P(ML.)N)- 教，1)=》，)PVM.4 P(N) P(N) 9: (2)由题知X=0,1,2, 自)aPx=2)-p+号-p0-pr= 同理可得P(X=)-CpI-p)+p+-pr]+CpI-p)-: 则P(x=0=1-P(X=)-Px=2刘- 故X的信息熵 -份付卧仙-e, (3)由题知P化=川=-pP,其中=1,2,3，， 则E(Y)=0-pp+20-p八p++al-prp 因为立-p9-P空n-pr 20-p=0-p+20-p+0-p++(a--p+mM-p ,① (1-p)∑0-p)=0-p'+21-p)2+31-p3++ a-l)d-p+m-p八，② p∑i-p)=1-p)°+1-p}'+1-p}2++1-p)-n1-p） ①-②得台 _1-0=py-n1-py 所以0-1广-a-p时 p 当n无限增大时，1-p八和1-pヅ都无限趋近于0，且1-p)'>0,n-p八'>0， 所以E(y)< p 17.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC, 又因为平面FBC⊥平面ABCD,平面FBC∩平面ABCD=BC, 且ABc平面ABCD,所以AB⊥平面FBC, 因为ABIIEF,所以EF⊥平面FBC. (2)解：连接EB和EC,则几何体1 BCDEF 的体积等于 VABCDEF=VE-ABCD+VE-F8C 因为EF⊥平面FBC,所以EF是三棱锥E-FBC的高， 丽4r-分2x449-85 23, 因为AFBC中边BC上的商为阳，且升=Bc=2自 2 ,所以FH⊥BC, 又因为平面FBC⊥平面ABCD,且平面FBC∩平面ABCD=BC,FHC平面FBC, 所以FH⊥平面ABCD，, 又因为AB/IEF,所以FH是四棱锥E-ABCD的高， 所w25x44=2 3, 所以几何体ARCDEF的体积等于o+c= 3258340W5 333· (3)解：以为H坐标原点，建立如图空间直角坐标系H-2，如图所示， 则(0,0,0），F0.0,25),所以m=(00,2) 因为A(4,2,0）,D(4,-2,0),E2,0,23). 可得D1=(04,0）),E=(-2,-2,25) n.DA=4y=0 设平面ADE的法向量为i=(,少，2)，则A正=-2x-2y+2W5z=0: 取2=l,可得x=5,y=0,所以i=(5.0， 丽 2W5 所以 HF V5+1Px25 2, 1 设直线FH与平面4DE所成角为Q,则sina=2, 1 所以直线FH与平面ADE所成角的正弦值为2· 18.(1)解：设P(x,)是曲线C的任意一点， 因为动点P到定点F(0,少的距离比到X轴距离大1，可得V+0-=+1, 2=4yx=0y≤0) 整理得 或 所以曲线C的轨迹方程为=40≥0或x=0心y≤0) (2)解：②设1(，B(5y) 因为正=2丽.可得，1W=24-,所以5=25， y=x+1 设直线AB的方程y=c+1,联立方程组x2=4y,整理得x2-46-4=0, 则A=(4灯+16>0且5+5=4，=4， 上+五-+发-+-2x五=任+-2=4k-2= 因为x2xx2 X x2 x X2 2,解得2 8 则h=iFG+-4-Fg6g4(-号， ，,1 自y,可得式，则儿yh, 所以面线C在A处的切线方程为"-方红-，即式=《-)， 1 112 可得式，同星到得以， 1 1 y= 联立方程组 1 12,两式相减得1 y 2-4 -x4-)=01 群得==2冰，则y=方2冰==低%=1， 2 所以M2k-),可得M-+0w-1-4联+4-32 2， 因为1.5号短 19.(1)当a=l时，f()=(2-x)n ,函数定义域为∈(0，o) 故f)=-nx+2f0=1, 又f0=0 所以切线方程为”=x-1 (2)由题意得f()=-1nc+2a-x>0) 右内不存在竿对路X间，则-+2-1s0皮立，即2a5+:瓦成立， 令8)=nr+xg'()=2+lne 当e(e3,w)时8(>0，当e0e)时g()0 所以（在Q,c单调递减，在e,)单调递增。 所以8=8e）=-文，所以2a白可0≤-过 1 因此所求实数Q的取值范围为2g+” )由2如f-m+b7=}<0 x x2 所以了y在0，四)单调還藏.又了)=1+2e>0,e)2a+21<0, f()=-ln+2a-1=0 所以必存在正数X,使 。,即2a=+xln此 x∈0， 由(2)知当 0e时，2a<0即a<0,当=e时，2a=0即a=0, 1 当e 时，2a>0即a>0, 由上可知四在0单调递增，在（气， 单调递减， 所以f()s=f()=(2a-x), 所以a+b≥(2a-)n,即b-5a≥(2a-)h,-6a b-5a 2xo (Inxo)-3xolnxo-3xo 令h()=xm-3xhx-3xx>3 因为h()=(n-lr-6=(ax-3)nr+2） °时，h()单调递减，当xe(e,+时，h()单调递增， 所以()=h(e)=-3e 所以b-5a的最小值为-3e 衡阳市第一中学2026年高三一模检测数学试题 （总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则的值为（   ） A．5 B． C． D． 2．已知命题，，那么为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．老张每天17:00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条路线可以选择．乘坐路线A所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家，要5分钟，乘坐路线B所需时间（单位：分钟）服从正态分布，下车后步行到家要12分钟．下列说法从统计角度认为合理的是（    ） （参考数据：，则，，） A．若乘坐路线A，则在17:48前到家的可能性超过1% B．若乘坐路线B，18:00前一定能到家 C．乘坐路线A和乘坐路线B在17:58前到家的可能性一样 D．乘坐路线B比乘坐路线A在17:54前到家的可能性更小 6．已知，用表示中的最大者，记为，则（ ） A． B． C． D． 7．已知的内角的对边分别为，若，，，则（   ） A．4 B． C． D． 8．若函数是偶函数，则（    ） A．0 B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知曲线，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线与轴有4个公共点 C．曲线上存在一点，使得 D．曲线上任意一点，都有 10．已知定义在R上的函数满足关于对称，且满足，则（    ）. A．的图象关于直线对称 B．是以4为周期的周期函数 C．的图象关于点对称 D． 11．已知三棱锥的各顶点都在球上，点分别是的中点，平面，，，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．球的体积是 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面被球所截的截面面积是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有1个红球、1个白球、1个黑球，共3个形状、大小完全相同的小球.活动规则为：每人有放回地先后两次摸球（每次至少摸1个），摸到红球或白球各计1分，摸到黑球计3分.若两次摸到的小球记录的总得分为5分，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为______. 13．正三棱柱的棱长均为，，分别是棱，的中点，过点，，的平面分别交直线，于点，，则三棱柱与三棱锥公共部分的体积为______． 14．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在中，，为的中点，. (1)若，求的长； (2)若，求的长. 16．信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若 A， B是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为p，若A，B的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后A，B中含有字节1的个数为 (1)若两次加密后的A，B中字节1的个数为2，且，求A，B通过第一次加密后字节1的个数为2的概率； (2)若一条信息有种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，，，，，则称其中为这条信息的信息熵，试求A，B通过两次加密后字节1的个数为X的信息熵 ； (3)将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复通过第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节通过第二次加密的次数为证明： . 17．如图，在几何体中，四边形是正方形，是等边三角形，，平面平面，中边上的高为，且．    (1)证明：平面； (2)求几何体的体积； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知动点到定点的距离比到轴距离大1，记动点的轨迹为曲线. (1)求轨迹的方程； (2)过的直线交曲线于，曲线在点处的切线相交于点. ①证明：； ②时，求的面积. 19．已知函数，其中． (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数存在单调递增区间，求实数的取值范围； (3)若R，对任意的恒成立，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $