精品解析：湖南省衡阳市衡阳县2024届高三第一次模拟考试数学试卷

衡阳县2024届高三第一次模拟考试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再结合交集的定义，即可求解． 【详解】由，得，解得， 故， ， 所以. 故选：D. 2. 已知复数z满足4且，则的值为 A. ﹣1 B. ﹣2 2019 C. 1 D. 2 2019 【答案】D 【解析】 【分析】 首先设复数z=a+bi（a，b∈R），根据z4和z|z|0得出方程组，求解可得： z，通过计算可得：，代入即可得解. 【详解】设z=a+bi（a，b∈R）， 由z4且z|z|=0，得 ，解得a=﹣1，b. ∴z， 而1， . ∴. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的计算，考查了共轭复数，要求较高的计算能力，属于较难题. 3. 在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由中点可知，根据模长关系可得，设，结合平面向量的线性运算以及基本定理可得，用表示，结合模长运算求解. 【详解】因为D为AB的中点，则， 可得，即，解得， 又因为P为CD上一点，设， 则， 可得，解得，即， 则， 可得，即. 故选：D. 【点睛】关键点睛：1.根据模长关系可得； 2.设，根据平面向量基本定理求得； 3.以为基底表示，进而运算求解. 4. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取） A. 第6天 B. 第7天 C. 第8天 D. 第9天 【答案】C 【解析】 【分析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、，依题意得到、的通项公式，即可求出、，再由得到，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度）， 则，， 所以， ， 由，可得， 即，即， 解得或（舍去）， 由则，因为， 即，又，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数列求出公式求出天后树的总长度，从而得到不等式，再结合指数函数的性质解得. 5. 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别为和的中点，平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，求出圆的半径，利用圆心到直线距离求点M到直线距离的最小值. 【详解】如图，设四棱锥的内切球的半径为r，取的中点为H，的中点为N，连接，，， 球O为四棱锥的内切球， 底面矩形，侧面为正三角形且垂直于底面， 则平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆， 此圆为内切圆，半径为r，与，分别相切于点E，F， 平面平面，交线为，平面， 为正三角形，有，平面， 平面，， ，，则有，，， 则中，，解得. 所以，四棱锥内切球半径为1，连接. 平面，平面，， 又，平面，， 平面，平面，可得， 所以内切球表面上一点M到直线的距离的最小值即为线段的长减去球的半径， 又. 所以四棱锥内切球表面上的一点M到直线的距离的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛： 四棱锥的内切球，与四棱锥的五个面都相切，由对称性平面截四棱锥的内切球O所得的截面为大圆，问题转化为三角形内切圆，利用面积法求出半径，即内切球的半径，由球心到直线的距离，求点M到直线的距离的最小值. 6. 已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性的定义和性质以及利用反证法证明不等式，结合选项先证明，再根据，可得，构造函数，根据函数单调性即可得出结论. 【详解】得到， 因为单调递增，所以不恒等于，故， 因为在上单调递增，故， 若存在使得，则， 则恒等于1，与单调递增矛盾，故， ，若存在，使得 因为连续，，故存在，使得， 与上述矛盾，故, 对于本题，，当且仅当时取等， 因为单调递增，故不取等号，即 当时，有，即， 当时，令，, 因为单调递减，所以单调递增， 因为，所以，单调递增， 因为，， 所以，所以. 综上所述. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据选项先证明，构造函数，根据单调性得出结论. 7. 已知抛物线C：的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，的重心的纵坐标，再表示出、的垂直平分线方程，从而求出，即可得解. 【详解】设，，显然，直线的方程为， 由整理得，显然，所以，， 所以，所以的重心的纵坐标， 又的外心既在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 又的垂直平分线方程为 整理得， 同理可得的垂直平分线方程为， 则，解得， 即外心的纵坐标，所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 8. 已知函数，，若成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，得到，关于的函数式，进而可得关于的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值. 【详解】令，则，， ，，所以， 若，则， ，有， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 即的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：令确定关于的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（ ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 直线是曲线的切线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，先由函数周期以及可得，再由条件可得的值，即可得到，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】由，又，可得， 又，则，即， 若上单调，则，即， 令，则， 即在上单调递减， 即，即， 此时，此时，不符合题意， 所以在上不单调， 即在上不单调， 又，即，即， 即，， 若， 此时，符合题意； 若， 此时，不符合题意； 综上可得，，即， 对于A，，故错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，当，则， 且在上先递减后递增，故C错误； 对于D，因为，所以， ，可得是在处的切线，故D正确； 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据最值之差求出的值，需要对该区间内函数的单调性进行分类讨论，从而确定函数解析式，再一一分析选项即可. 10. 已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（　　） A. 数列的第项小于 B. 数列不可能是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 数列中存在大于的项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由数列前项和与通项的关系求出和的值，可判断选项A，利用反证法判断选项B和D，分析的符号，即可判断选项C. 【详解】由题知，因为， 所以当时，，可得， 当时，，可得， 又，且， 所以，A错误； 对于B，假设数列是等比数列，设其公比为， 由于，即， 变形可得， 必有，与等比数列定义矛盾，B正确； 对于C，当时，可得， 必有即，则是递增数列，C正确； 对于D，假设数列中不存在大于项， 即对于，有， 则， 所以有， 变形得， 与假设矛盾，故D正确. 故选：BCD 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求解A，根据勾股定理以及弧长公式即可求解B，根据球的截面性质可得求解C，根据余弦定理，取反例即可求解D. 【详解】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确. 若，则，则.B正确. 若，则，， 则平面的外接圆半径为，则到平面的距离， 则三棱锥的体积， 则球面的体积.C正确. 由余弦定理可知因为，所以，则. 取，，则，， 则.D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】记从乙盒中取出的是红球为事件，从甲盒中取出的球为红球为事件，取出白球为事件，由已知可得出的值，然后根据全概率公式，即可得出答案. 【详解】记从乙盒中取出的是红球为事件，从甲盒中取出的球为红球为事件，取出白球为事件， 由已知可得，，，，， 根据全概率公式可得，. 故答案为：. 13. 展开式中的常数项是120，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出的通项公式，得到与，从而得到展开式常数项，得到方程，求出. 【详解】∵展开式的通项公式为， 令得，即． 令得，即， ∴展开式中的常数项为， 故，解得． 故答案为：2 14. 正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法求得正面体内切球的半径为，取的中点为，利用向量的运算得到，易知当的长度最小时，取得最小值，由是的中点，则三点共线求解. 【详解】解：由正四面体的棱长为6，则其高为， 则其体积为， 设正四面体内切球的半径为， 则，解得， 如图， 取的中点为， 则， 显然，当的长度最小时，取得最小值， 设正四面体内切球的球心为，可求得， 则球心到点的距离， 所以内切球上的点到点的最小距离为， 是的中点，三点共线， ， 在中，边上的高为. . 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解. （2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即，由正弦定理得， 显然，，所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 因为外接圆的半径为，所以，所以，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即，即． 令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减， 在上单调递增，且，，， 所以，即， 所以，即的取值范围为. 16. 已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列， （1）求； （2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质和等比中项列方程解出公差，再由基本量法写出等差数列的通项公式. （2）由已知和等比数列的性质求出，再由错位相减法和等差数列的前和公式共同求出结果. 【小问1详解】 ∵是等差数列，，，∴，． ∵，，构成等比数列，∴， 化简可得，∴，所以． 【小问2详解】 ∵，，， 又数列为等比数列，∴， 而，∴，∴， 所以，设数列的前项和为， 则①， ②， ①②相减得，化简可得 又因为等差数列的前项和为， 综上可得． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合勾股定理逆定理可得，后结合平面平面，可得，后结合可得结论； （2）由（1）结合题意建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 不妨设， ， 由余弦定理得， 在中，， 平面平面，平面平面平面， 平面． 平面， 四边形是菱形，， 又，且平面平面平面． 【小问2详解】 在平面内，过点作的垂线，垂足为， 平面平面，平面平面， 平面， 又四边形是菱形，， 均为等边三角形， 以点A为坐标原点，及过点A平行于直线分别为轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 则， 由（1）平面， 为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则即． 令，可得，， 平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表： 不太了解 比较了解 合计 男生 20 40 60 女生 20 20 40 合计 40 60 100 （1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异； （2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及. 附：①，其中； ②当时有95%的把握认为两变量有关联. 【答案】（1）没有 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意和公式求出，然后根据附②即可得出结论； （2）由题得出的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望. 【小问1详解】 根据列联表中的数据， 得， 所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异. 【小问2详解】 这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人， 则抽取的男生有3人，女生在2人， 所以的取值依次为0，1，2， ，，， 所以的分布列为 0 1 2 . 19. 已知函数. （1）证明：； （2）设，求证：对任意的，都有成立. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）构造新函数，根据导数的性质判断新构造函数的单调性，利用单调性进行运算证明即可； （2）根据对数的运算性质，结合分析法、构造函数法进行运算证明即可. 【小问1详解】 设， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 于是有，即. 【小问2详解】 要证明成立， 即证明成立， 即证明成立， 也就是证明成立， 因为，所以原问题就是证明成立， 由，设， 即证明，也就是证明成立， 设， 所以当时，函数单调递增，即有， 从而成立. 【点睛】关键点睛：本题的关键是构造新函数，利用导数的性质判断其单调性，运用函数的单调性进行证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县2024届高三第一次模拟考试卷 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足4且，则值为 A. ﹣1 B. ﹣2 2019 C. 1 D. 2 2019 3. 在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（ ）（参考数据：取） A 第6天 B. 第7天 C. 第8天 D. 第9天 5. 已知四棱锥的底面为矩形，，，侧面为正三角形且垂直于底面，M为四棱锥内切球表面上一点，则点M到直线距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线C：的焦点为，过作不与轴垂直的直线交于两点，设的外心和重心的纵坐标分别为（是坐标原点），则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知函数，，若成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 记函数的最小正周期为，若，且在上的最大值与最小值的差为3，则（ ） A B. C. 在区间上单调递减 D. 直线是曲线的切线 10. 已知数列各项均为负数，其前项和满足，则（　　） A. 数列的第项小于 B. 数列不可能是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 数列中存在大于的项 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为______. 13. 展开式中的常数项是120，则实数______． 14. 正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． （1）求角大小； （2）求的取值范围 16. 已知数列是等差数列，，，且，，构成等比数列， （1）求； （2）设，若存在数列满足，，，且数列为等比数列，求的前项和． 17. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，点在上，且． （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表： 不太了解 比较了解 合计 男生 20 40 60 女生 20 20 40 合计 40 60 100 （1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异； （2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及. 附：①，其中； ②当时有95%的把握认为两变量有关联. 19. 已知函数. （1）证明：； （2）设，求证：对任意的，都有成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $