浙江宁波市镇海中学2025-2026学年高三下学期5月第五周限时模拟训练数学试题

**基本信息** 精选多地区高三模拟题，覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，通过基础题、中档题、创新题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题|集合运算（题1）、复数象限（题2）、向量关系（题3）|以马赫数情境（题7）考查指数对数互化，体现科学情境真实性| |填空|3题|二项展开式（题12）、双曲线离心率（题13）|结合抛物线与双曲线交点（题13），考查解析几何综合应用| |解答|5题|数列通项（题15）、立体几何外接球（题17）、概率证明（题19）|萨默维尔四面体（题9）融合折叠与线面角，概率题（题19）通过摸球模型考查逻辑推理，契合高考命题趋势|

2026年5月第五周 限时模拟训练 1．（安徽省蚌埠市2022届高三下学期第四次教学质量检查理科数学试题·★★）已知集合、都是的子集，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（福建省莆田市2024-2025学年高三下学期第四次教学质量检测·★★）已知，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（北京市海淀区2024-2025学年高三下学期期末练习（二模）·★★☆）已知是非零平面向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（山东省日照市2024-2025学年高三下学期第二次校际联合考试数学试卷·★★☆）已知一组样本数据，，，，恰好构成公差为5的等差数列，则这组数据的方差为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 5．（河北省石家庄市2025届普通高中毕业年级教学质量检测（二）数学试卷·★★☆）已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．（北京市海淀区2024-2025学年高三下学期期末练习（二模）数学试题·★★☆）在锐角中，，则的一个可能的取值为（    ） A． B． C．2 D．3 7．（北京市东城区2024-2025学年高三下学期第二次综合练习数学试题·★★☆）马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（江西省九江市2025届高三第三次高考模拟统一考试·★★★）方程表示的曲线可能是（   ） A． B． C．D． 9．（云南昆明市2025届高三“三诊一模”高考模拟考试·★★★）如图，长方形的长为，宽为2，，，，分别为长方形四条边中点，沿，，，，折叠，使长方形的四个顶点重合于点，所得四面体称为“萨默维尔”四面体，在此四面体中，下列结论正确的是（    ） A． B．平面平面 C．直线与平面所成角为 D．平面与平面的夹角为 10．（湖南省湘潭市2025届高三5月适应性考试数学试题·★★★）定义域为R的函数满足：①，②的图象过点，则（    ） A． B．为偶函数 C．的图象关于点中心对称 D． 11．（四川省德阳市2025届高三第三次诊断考试数学试卷·★★★☆）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．当时，的值域为 B．当时， C．的最小值依次成等比数列 D．值域是值域的子集 12．（北京市东城区2024-2025学年高三下学期第二次综合练习数学试题·★★★）已知，则实数_____ 13．（江苏省苏锡常镇四市2024-2025学年高三下学期教学情况调研（二）·★★★）在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距长为.若和抛物线交于，两点，且为正三角形，则的离心率为______. 14．（2025届辽宁省沈阳市高三三模数学试卷·★★★）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为_____． 15．（河南省五市2024-2025学年高三下学期第二次联考数学试题·★★★）已知等比数列的前n项和为，且． (1)若，求数列的通项公式； (2)若．求b． 16．（广东省广州市2025届高三二模数学试卷·★★★）已知函数（，且）. (1)若，直线与曲线和曲线都相切，求的值； (2)若，求的取值范围. 17．（四川省攀枝花市2025届高三第三次统一考试·★★★）如图，在四面体中，D为棱上一点，，，，且，，二面角的大小为． (1)证明：平面； (2)求四面体外接球的体积； (3)求的长． 18．（福建省厦门市2025届高三第四次质量检测·★★★☆）已知椭圆：的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)过点且不垂直于y轴的直线与E交于A，B两点，直线与E交于点C（异于A）． （i）证明：为等腰三角形； （ii）若点M是的外心，求面积的最大值． 19．（江西省九江市2025届高三第三次高考模拟统一考试·★★★★）箱子中有个小球，标号为1，2，…，，现从中摸2次球，每次摸一个小球，记录标号后放回．已知每次摸出小球的标号服从概率分布，其中，．当不全为0时，该箱子中的小球是不均匀的，否则是均匀的． (1)记第一次摸出的小球标号为，第二次摸出的小球标号为． （i）当时，设事件“”的概率为，试比较与的大小，并说明理由； （ii）设事件“”的概率为，证明：． (2)证明：对于任意的，其中，都有． 试卷第4页，共4页 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C B B C D ACD AC 题号 11 答案 ABC 1．B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、利用Venn图求集合 【分析】推导出，即可求得结果. 【详解】如下图所示，已知为全集，、为全集的两个子集，且，则， 本题中，因为集合、都是的子集，且，则， 因此，. 故选：B. 2．D 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】由，求出，利用复数的运算法则求出表达式，进而可得对应象限. 【详解】因为，所以，所以， 在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 3．B 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、判断命题的充分不必要条件、用定义求向量的数量积、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律，结合充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得，故必要性成立； 由，得，得， 不一定成立，故充分性不成立. 所以“”是“”必要不充分条件. 故选：B 4．C 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的性质及平均值求法得均值为，再应用方差公式求方差即可. 【详解】由题设， 所以 . 故选：C 5．B 【难度】0.65 【知识点】圆柱表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】画出轴截面，利用长度关系求出圆柱半径和母线，进而得到答案. 【详解】如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 6．B 【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用、求cosx(型)函数的值域 【分析】依题意可得，再由正弦定理将边化角，利用二倍角公式转化为的三角函数，结合的范围及余弦函数的性质计算可得. 【详解】在锐角中，，则，又， 所以， 又，所以，所以， 所以， 故符合题意的只有B. 故选：B 7．C 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】当马赫数分别为8和13时，由指对运算计算得，，即可求解. 【详解】当马赫数为8时，速度， 解得，即，， 当马赫数为13时，速度， 解得，即，， 所以,. 故选：C. 8．D 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、由方程求曲线的图形 【分析】由诱导公式可得或，，据此可排除错误答案. 【详解】因，则，或，. 对于，若，则， 表示直线或，故可排除A； 若，表示焦点在x轴上，左右顶点为的双曲线， 若，表示焦点在y轴上，上下顶点为的双曲线； 对于，因， 则时表示以原点为圆心，半径为的一系列同心圆，则可排除B； 注意到，则半径最小的圆在双曲线内部，据此可排除C. 故选：D 9．ACD 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、求线面角、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面，平面，即可求解AB，结合线面角以及面面角的几何角，利用三角形的边角关系即可求解CD. 【详解】对于A，由题意可得，，， 由题意可知是的中点，连接， 又，，所以，， 平面，故平面， 平面，故，A正确， 对于C，由于，， 则，所以， 又，平面，所以平面， 故为直线与平面所成角，，故，故C正确， 对于D，过作于，连接， 由于平面，平面，故 ， 又平面，故平面， 因为平面，故， 故为平面与平面的夹角， 由等面积法可得， 又，故，故，D正确， 对于B，由于平面，而 平面，且与平面不平行， 故平面与平面不垂直，故B错误 故选：ACD 10．AC 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断或证明函数的对称性、求函数值 【分析】令，，即可判断A；令，结合A即可判断B；令，即可判断C；由上述结论得出即可判断D． 【详解】由①，， 对于A，令，，则， 由②可知，所以 ，解得，故A正确； 对于B，令，则，即， 故为奇函数，故B错误； 对于C，令，则， 即的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，由于且， 则有，即， 所以，，…，，故D错误， 故选：AC． 11．ABC 【难度】0.15 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、由导数求函数的最值（不含参）、等比中项的应用 【分析】选项A，直接带入求值域，选项B,用三角函数的恒等变换及三角函数的有界性，不等式与放缩等从多角度解决问题，选项C，，得到当或，此时（最大值）.找到函数零点，然后结合单调性分析，得出结果.选项D，列举法说明.得出结果. 【详解】选项: 当时，的值域为， ， 当时，（最大值）， 当时，（最小值）， 因此值域为.故正确. 选项:当时，， ， ， ， ， ， 因为，且. 的值域是，因此，.故B正确. 选项C:， 当或，此时（最大值）， 当，即，. 在处，函数的单调性分析表明这是最小值点. 用函数单调性分析，当，，函数单调递减. 当，，函数单调递增. 因此是极小值点.. 对，最小值依次为，，， 因此，最小值为，这是一个首项为1，公比为的等比数列.故C正确. 选项D:，，值域为. ，值域为. ,的最小值为，最大值仍为，因此值域为， 的值域是值域的子集， 但是的值域不是值域的子集， （因为可以取到，而不能）.故D错误. 故选:ABC 12． 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 13． 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求直线与抛物线的交点坐标 【分析】由对称性可知、为与抛物线的交点，联立求出其中一个交点坐标，代入双曲线方程，结合焦距得到，进而求出离心率. 【详解】由对称性知、关于轴对称，为正三角形， 则由正三角形对称性可知、为与抛物线的交点， 联立与得或0（舍去），当时，， 故其中一个交点为， 设双曲线方程为，故，解得， 在双曲线上，，， 故离心率为； 故答案为： 14． 【难度】0.4 【知识点】直线截距式方程及辨析 【分析】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为，由题意可得，化简得出，可知为的正约数，列举出的所有可能取值，即可得解. 【详解】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为， 由于直线过点，则，故， 所以为的正约数，故. 即满足条件的正整数的个数为. 因此，满足题设条件的直线的条数为. 故答案为：. 15．(1) (2)． 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）通过，得到方程，联立求解即可； （2）法一：通过或结合通项公式化简求解即可，法二：原式化为化简求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 由题意知：当时：    ① 当时：    ② 联立①②，解得，． 因为，所以数列的通项公式． （2）由（1）知． 方法一：故当，时，原式可化为 ． 因为，所以； 所以． 同理当，即时，原式可化为， 所以． 所以，解得． 方法二：原式可化为． 即． 即，． 所以，解得． 16．(1)8 (2) 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，联立切线与，利用可求解；解法2：设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的意可求得，进而求得切线方程，设直线与曲线的切点坐标为，利用导数的几何意义可求解； （2）解法1：当时，计算可得，不符合题意，当时，由题意可得，令，利用导数可求得的最小值，可求解.解法2：由题意可得，令，利用导数求得的最小值即可. 【详解】（1）解法1：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 由得， 由，解得或（舍去）， 当时，得，符合题意， 所以. 解法2：设直线与曲线的切点坐标为， 由于，则， 解得， 则切点坐标为. 直线，即. 当时，函数的定义域为， 设直线与曲线的切点坐标为， 由，得，得. 得，即， 则. 解得. （2）解法1：①当时，则函数的定义域为. 由于， 则，不符合题意. 所以不符合题意. ②当时，则函数的定义域为. 显然. 当时，由，得，即. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 解法2：当时，由，得，即， 得. 令，则. 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. 则当时，取得最小值，其值为. 则，即. 综上所述，的取值范围为. 17．(1)证明见解析； (2)； (3). 【难度】0.65 【知识点】球的体积的有关计算、面面角的向量求法、多面体与球体内切外接问题、证明线面垂直 【分析】(1)利用勾股定理证明一个线线垂直，再利用一个已知的垂直关系，即可证明线面垂直； (2)利用线面垂直可得线线垂直，再证明平面，从而可得直角四面体，利用补形法求外接球半径，即可求出体积； (3)利用换底面建立空间直角坐标系，把所求的线段长设为参数，结合已知数据表示各点坐标，通过法向量夹角余弦值的绝对值为，建立相等关系求解即可. 【详解】（1）由，，，可得：， 则由勾股定理得：，又，，平面， 所以平面； （2）由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 则四面体满足平面，， 因此这个四面体可以放在一个长方体里， 所以外接球的直径就是该长方体的体对角线， 因为，所以外接球的半径， 即该外接球的体积， （3）把这个三棱锥换成以作底面，因为，所以以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 由于平面，，，, 设，则， 即， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， 因为二面角的大小为， 所以，解得 故 18．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【难度】0.4 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、由导数求函数的最值（不含参）、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而得解； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，分析、的斜率均存在，由，即可得证； （ii）设的中点为，求出的垂直平分线，即可求出点坐标，再由表示出三角形的面积，再换元，利用导数求出函数的最大值. 【详解】（1）依题意可得，解得，所以， 所以椭圆方程为； （2）（i）设直线的方程为，，， 由，整理得， 所以，则， 所以，， 若轴，由，解得，则，此时的斜率，即（不合题意）， 所以、的斜率均存在， 所以 ， 又， 所以，即， 又因为、均在椭圆上， 由椭圆的对称性可知，即为等腰三角形； （ii）设的中点为，则，， 所以， 所以的垂直平分线为， 令可得，所以， 所以的面积， 令，设，， 所以， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得最大值， 所以面积的最大值为. 19．(1)（i），理由见解析；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】（1）（i）事件“”的概率为 ，由，即可得解； （ii）证明：事件“”的概率： ，结合，即可求解； （2）设，则，令，得到，转化为证明，设为从装有个小球的箱子中抽出标号为的小球的概率，得到，结合（ii），即可得证. 【详解】（1）（i）事件“”的概率为 因为，可得，当且仅当小球均匀时取等号． （ii）证明：事件“”的概率： ， 因为，则，当且仅当小球均匀时取等号， 根据概率的对称性，事件“”的概率等于事件“”的概率，所以． 所以，当且仅当小球均匀时取等号． （2）设，则， 令，则， 要证， 即证 即证， 设为从装有个小球的箱子中抽出标号为的小球的概率， 则可看成是第一次摸出号球， 第二次摸出的球号小于的概率， 由（ii）知，， 所以，证毕． 答案第16页，共16页 答案第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $