概率统计专题练习-2026届高三数学二轮专题复习

**基本信息** 以中档偏上题量构建概率统计专项突破体系，通过多地区名校模拟题提炼解题方法，强化知识逻辑与核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列组合|2题|插空法、排除法|从位置限制到不相邻排列，构建分步计数逻辑| |概率计算|5题|全概率公式、二项分布模型|独立事件→条件概率→随机变量分布，形成概率推理链| |统计应用|3题|回归方程、相关系数、正态分布|从数据关联分析到预测推断，体现数学建模思想|

2026年5月第四周 概率统计 5月第四周，我们进行 2026届二轮复习·概率统计 ，题目难度中档偏上。二轮复习专门突破重难点和盲点，加油哦！ 1．（广东深圳市高级中学等校2026年3月标准学术诊断性测试数学试卷·★★★）在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 2．（浙江金丽衢十二校26届高三联考·★★★）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 3．（广东省佛山市顺德区2026届高三二模数学试题·★★★）设为两个相互独立的随机事件，且．已知在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是，则（   ） A． B． C． D． 4．（广东省汕头市2025-2026学年高三下学期第一次模拟考试数学试题·★★★）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 5．（重庆市巴蜀中学校2026届高三一模数学试题·★★★）已知 ，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．中，与最大 6．（浙江湖州、衢州、丽水三地市2026届高三下学期4月教学质量检测数学试题·★★★）已知连续型随机变量Y服从正态分布，记函数，，则（    ）．（注：若，则，） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 7．（山东威海市2026届高三上学期一模·★★★☆）甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一．初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（   ） A． B． C． D． 8．（安徽省江淮十校2025届高三第一次联考（一模）数学试题·★★★）现有4个相同的袋子，里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这4个袋子混合后，任选其中一个袋子，并且连续取出三个球（每个取后不放回），则第三次取出的球为白球的概率为______． 9．（2025届江西省南昌市高三二模数学试题·★★★☆）某次庆典后，墙壁上的装饰品需要取下来，如图，由于材料特性，每次能取一个，且所取的装饰品只能有个或个相邻的装饰品，则不同的取法数有__________种. 10．（山东济南市2026届高三第二次模拟考试数学试题·★★★☆）甲和乙各自从门选修课中任意选取3门，记为被甲或乙选中的选修课数量，则的数学期望为______． 11．（福建泉州市2026届高中毕业班质量检测（一）高三·★★★）为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. (1)根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； (2)由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； (3)假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 12．（广东省佛山市2025~2026学年普通高中教学质量检测（一）·★★★☆）某款（人工智能）机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，时获胜，时落败，已知该款机器人射门的命中率为，各次射门相互独立. (1)求机器人恰好射门4次后获胜的概率； (2)表示“机器人射门次，游戏仍未结束”. （i）若，求和； （ii）若，求游戏结束时的数学期望. 13．（广东广州市2026届高三毕业生一模数学试卷·★★★☆）甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜．假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响． (1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为，求（用，表示）； (2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值． 参考公式：若，则． 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D C A D ACD AC ACD 1．D 【难度】0.65 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题、二项展开式的应用 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 2．C 【难度】0.65 【知识点】不相邻排列问题、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 3．A 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、计算条件概率、概率的基本性质 【详解】设， 由题意，在至少一个发生的条件下，恰有一个发生的概率是， 则， 即，解得，即. 4．D 【难度】0.4 【知识点】实际问题中的组合计数问题、建立二项分布模型解决实际问题 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为或. 5．ACD 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数、求系数最大（小）的项、奇次项与偶次项的系数和 【分析】令可得，根据二项式定理确定展开式中的表达式，根据二项式系数的性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，令可得，故A正确； 对于B，令可得， 所以， 设展开式的通项为， 取，可得，所以，故B错误； 对于C，令可得①， 令可得②， 由①②可得，故C正确； 对于D，由选项B可知，， 若最大，则 所以，， 解得，则，故或， 又，所以中，与最大，故D正确. 故选：ACD. 6．AC 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、正态曲线的性质、特殊区间的概率、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的性质进行判断即可. 【详解】因为，所以连续型随机变量服从正态分布，且均值，标准差， A选项， ，而， 代入、，得，由正态分布的性质得：， 所以，所以A选项正确； B选项，，由解析A可知：， 由正态分布的对称性可知：， 又， 所以，解得：，因此，所以B选项错误； 对于C，，则， ， 而Y服从正态分布，区间和关于直线对称， 故，即的图象关于直线对称，C选项正确； 对于D，，若的图象关于点对称，则， 即， 而Y服从正态分布，则，， 故， 当时，， 即的图象不关于点对称，D错误. 7．ACD 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、独立事件的乘法公式、二项分布的方差、利用全概率公式求概率 【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，通过分类讨论列出概率的递推式，借助于等比数列求出概率解析式，运用二项分布的方差公式计算即可逐一判断. 【详解】初始时球在甲手中，即，第一次抛硬币：若正面朝上（概率为）：球在甲手里，； 若反面朝上（概率为），球传给乙或丙，各占，所以，即满足，故A正确； 第次拋硬币后，球在甲手中的概率为（*）， 其中表示球在丙手中的概率，且由对称性知，则，故C正确； 因 ，则，代入（*）可得：， 同理，由对称性，则有. 又由可得，即数列为首项是，公比为的等比数列， 则，即，同理，故 ，故D正确； 因为表示前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数，每次传球的概率为，且各次独立， 则，故其方差为，故B错误. 故选：ACD. 8． 【难度】0.85 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设“取出第个袋子”，“，结合全概率公式，即可求解. 【详解】由题意，设“取出第个袋子，其中”， “从袋子中连续取出三个球，第三次取出的球为白球”， 则，且两两互斥． ，所以， 所以，． 故答案为： 9． 【难度】0.4 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、其他排列模型 【分析】对小球进行编号，然后对前三个球的取法进行分类讨论，进而对后续小球的摸球顺序进行讨论，结合分步乘法与分类加法计数原理可得结果. 【详解】将这个小球编号如下图所示： 分以下两种情况讨论： 第一种，第一步，先取、、号球，第二步，再取、、号球依次取个球， 最后一步，从剩余两球依次摸取，此时不同的抽法种数为种； 第二种，将、、视为三个整体， 前三个球从其中一个整体和每支不与号球相邻的小球中依次摸取，有种， 以、、为例，可依次为、、，共种， 剩余、、、号球，先从、号球中摸一个，有种情况， 比如先取号球，剩余三个相邻的小球，接下来从、号球中取一个，有种情况， 最后剩余两球摸取的先后顺序任意， 此时，不同的取法种数为. 综上所述，不同的取法种数为种. 故答案为：. 10． 【难度】0.48 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出. 【详解】将门选修课编号为， 设为第i门课是否被选中，， 则， 又， 则． 11．(1)0.997，与的线性相关程度强； (2)，1.78 (3)该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 【难度】0.74 【知识点】指定区间的概率、相关系数的计算、求回归直线方程、用回归直线方程对总体进行估计 【分析】（1）由散点图可知与之间线性相关，用不同公式计算可知相关系数，即线性相关程度强； （2）用不同的公式计算出回归直线方程为，将代入可得出估计值为1.78. （3）依题意可知，再结合正态分布的对称性计算即可. 本小题主要考查变量间的相关关系､样本相关系数､一元线性回归方程､正态分布的等知识；考查运算求解能力等；考查数形结合思想､化归与转化思想､或然与必然思想等；体现综合性､应用性，导向对数学建模､数学运算核心素养的关注. 【详解】（1）解法一： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） 解法二： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， ，，， ， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） （2）解法一： 设，则， 所以， 故时，. 解法二： 设，则， 所以， 故时，. （3）依题意，得， 由正态分布性质，可知. 因为， 所以. 因为， 所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 12．(1) (2)（i）；；（ii）游戏结束时的数学期望为. 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）（i）利用条件概率公式即可得到答案；（ii）分第2次游戏结束和第2次游戏未结束两种情况讨论即可. 【详解】（1）若机器人恰好射4次获胜，则前两次仅射中一次，后两次射中， 故； （2）（i）由题意得，， 所以； 若第次，游戏结束，则第次，第次仅射中一次（）为奇数， 可得； 所以； （ii）， 得到，解得； 设游戏结束时的概率为，的概率为， 因为游戏结束时或，所以， 又因为每次射门射中概率为，未射中概率为， 设， 则 即，解得 即，， 根据数学期望公式， 可得. 13．(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】独立重复试验的概率问题、递推法求概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）判断出甲第2次射击且获胜的情形，利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可. （2）分别求出乙先射击，甲、乙获胜的概率，根据题意列出不等式求解即可. 【详解】（1）甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，乙第1次未命中，甲第2次命中. 所以. （2）设乙先射击并获胜的概率为，甲获胜的概率为. 乙获胜的情况为： 乙第1次射击并命中，概率为； 第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为； 第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为； 第轮甲乙均未命中，乙第次射击并命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 甲获胜的情况为： 第1轮乙未命中，甲命中，概率为； 第2轮乙未命中，甲命中，概率为； 第3轮乙未命中，甲命中，概率为； 第轮乙未命中，甲命中，概率为； 这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以. 由题意知，恒成立，即恒成立， 因为，，所以， 所以恒成立，即. 因为，所以，，所以. 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $