第6章一元一次方程期末综合复习训练题 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

**基本信息** 以一元一次方程概念为起点，通过定义辨析-解法深化-应用拓展-创新探究的逻辑链条，系统整合等式性质、解法技巧及实际建模方法，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题（单选1/2/填空8）|定义要素（未知数次数/系数）、等式变形规则|从概念本质到性质应用，构建方程认知基础| |解法应用|6题（单选3/4/5/解答15/16）|去分母防漏乘、整体代换法、解的逆向验证|从基本解法到易错点突破，强化运算能力| |实际应用|7题（单选6/7/填空11-14/解答17/20）|行程/利润/配套问题建模、古代问题转化|从生活情境到数学模型，发展应用意识| |创新拓展|2题（解答18/19）|新定义“友好方程”迁移、动点问题分类讨论|从知识应用到创新探究，提升推理能力|

2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册《第6章一元一次方程》 期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列各式 ； ； ； 中，是一元一次方程的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列等式的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．小明解方程，去分母时，方程右边的忘记乘12，因而求出的解为，则原方程正确的解为（    ） A． B． C． D． 4．若关于的一元一次方程的解为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为（  ） A．3 B．4 C．6 D．5 6．某校开展了“剪纸文化知多少”的知识竞赛，选手需要从题库中随机抽取20道题依次进行作答，答对一道得3分，不答或答错扣1分．已知小明得了36分，则他答对的题数为（     ） A．8道 B．9道 C．12道 D．14道 7．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载了这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余辆车无人乘坐；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘．问人数与车辆数各是多少？若设共有人，则列出方程正确的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______． 9．若是一元一次方程的解，则代数式的值为_____． 10．老师在黑板上写有这样一个式子：，则“”所表示的数为________． 11．今年，小明的爷爷的年龄是小明年龄的5倍，小明发现，12年之后，小明的年龄将变成爷爷年龄的，则小明爷爷今年的年龄是______岁． 12．一件衣服在进价的基础上提高标价，再打8折出售仍可获利18元，则这件衣服的进价为______元． 13．某车间有10名工人，每人每天可以生产螺栓9个或螺母12个，设名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，要求每天生产的螺栓和螺母按刚好配套，则可列方程为________． 14．创客工坊中有一些工具需要放进箱子（箱子数量一定），如果每个箱子放6把工具，那么还剩4把工具无箱子可放；如果每个箱子放8把工具，那么就空出一个箱子．创客工坊有________把工具需要放进箱子． 三、解答题 15．解下列方程 (1) (2)． 16．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 17．今年五一假期期间，甲、乙两人从同一地点出发，前往距离出发点的新甫山景区旅游．甲骑自行车以的速度先出发，30分钟后，乙骑摩托车以的速度追赶甲．乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇．问：从开始出发到两人相遇，共经过了多长时间？ 18．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，则______；若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为，则______． (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的一元一次方程和是“友好方程”，请直接写出关于y的一元一次方程的解． 19．综合与探究 如图，在长方形中，，，动点从点开始，沿边向点以的速度运动；动点从点开始，沿边向点以的速度运动．点同时开始运动，当点到达点时，点和点同时停止运动，用表示运动的时间． (1)当点在边上运动时，为何值，使得？ (2)当为何值时，等于长方形周长的？ (3)当点Q在上运动时，且点与点的距离为3时，直接写出的值． 20．根据表格素材，完成表中的任务． 探究优惠购物问题 素材1 九中重视学生的课外体育活动，打算在某商店采购一批足球和跳绳．已知购买 个足球 根跳绳花费元，购买个足球与购买根跳绳所花的钱一样多． 素材2 该商店给学校提供以下两种优惠方案： 方案①：足球和跳绳都按单价的八五折付款； 方案②：买一个足球送一条跳绳． 现学校要购买足球个，跳绳（）根． 问题解决 (1)求足球的单价与跳绳的单价各是多少？ (2)当为何值时，使用方案①，方案②购买足球和跳绳的总费用相同？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，请你通过计算费用给出更省钱的购买方案． 参考答案 1．解：由一元一次方程的定义可得，只有是一元一次方程． 2．解：A选项：∵若，可得或，∴A变形错误； B选项：∵若，根据等式性质，两边同时加同一个数等式仍成立，可得，∴B变形错误； C选项：∵中分母不为，隐含条件，等式两边同乘可得，∴C变形正确； D选项：∵若，当时，与无意义，该变形不成立，∴D变形错误． 3．B 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据小明的错误去分母过程，将代入错误方程，求出参数的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 将代入上述方程得：， 解得， 则原方程为， 方程两边乘12得：， 即， 整理得， 移项、合并同类项得， 解得， 故选：B． 4．B 【分析】本题主要考查的是一元一次方程解的定义和一元一次方程的解法，解决此题的关键是求出a、b间的关系代入方程求解． 先根据已知方程的解得到a与b的关系式，再将该关系式代入所求方程，通过化简计算求出x的值 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 ∴把代入方程得： ∴ ∵所求方程可整理为 ∴将代入得： ∵原方程是一元一次方程， ∴ ∴两边同时除以得：． ∴． 故选：B． 5．D 【分析】先求解第一个一元一次方程得到x的值，再利用解相同的条件，将x代入第二个方程即可求出k的值． 【详解】解：解方程， 移项得：， 即， ∴， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程，得， 解得． 6．D 【分析】设答对题的数量为未知数，根据总题数得到不答或答错的题数，结合得分规则列方程求解． 【详解】解：设小明答对的题数为道，则不答或答错的题数为道， 根据题意，列出方程为， 整理得， 解得， ∴小明答对的题数为道． 7．A 【分析】设共有人，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设共有人， 根据题意得，． 8． 【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ， ∴． 9． 【分析】将代入方程得到，对所求代数式变形后整体代入即可求值． 【详解】解：是一元一次方程的解， ， ． 10．9 【分析】将看作未知数，按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．60 【分析】设出小明今年的年龄，表示出爷爷今年的年龄，再根据12年后两人年龄的数量关系列出方程，求解后即可得到爷爷今年的年龄． 【详解】解：设小明今年的年龄为岁，则小明爷爷今年的年龄为岁． 根据题意列方程，得 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 因此小明爷爷今年的年龄为岁． 12． 【分析】本题考查了一元一次方程在商品销售问题中的应用，解题的关键是根据利润公式找到等量关系，列出方程求解． 设进价为未知数，先根据进价表示出标价和售价，再根据“利润=售价-进价”列方程求解． 【详解】解：设这件衣服的进价为元， 则标价为元，售价为元． 根据题意，得， 解得． 13． 【分析】根据题意设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母，再根据螺栓与螺母配套的数量关系列方程即可． 【详解】解：设名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 由题意得：． 14．40 【分析】利用工具总数不变建立等量关系，设箱子数量为未知数，列一元一次方程求解箱子数量后，再计算工具总数即可． 【详解】解：设箱子共有个， 根据工具总数不变，列方程得：， 解得：， 则工具总数为（把）． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解题的关键． （1）根据方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可； （2）根据方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解即可； 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 16．(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 17．从开始出发到两人相遇，共经过了小时 【分析】设从开始出发到两人相遇共经过了小时，根据“乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇”可知两人总的行驶路程，进而列方程求解即可． 【详解】解：设从开始出发到两人相遇共经过了小时． ∵乙到达景区后立即返回，在返回途中与甲相遇， ∴两人总的行驶路程， 因此可列方程：， 解得， 答：从开始出发到两人相遇，共经过了小时． 18．(1)12，或3 (2) (3) 【分析】（1）根据“友好方程”的定义进行解答，注意分类讨论； （2）利用“友好方程”的定义求解的值即可； （3）根据方程可以改写成，利用“友好方程”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，方程， 解得， 方程的解为， 由于方程与方程是“友好方程”， 则， 解得； 若“友好方程”的两个解的差为5，其中一个解为n，另一个解为， ①， 解得， ②， 解得， 则或， 故答案为：12；或3； （2）解：方程，解得， 方程解得， 由题意，得， 解得； （3）解：方程解得， 由于方程和方程是“友好方程”， 则方程的解为， 将方程改写为， 则，即， 因此方程的解为． 19．(1) (2)或 (3)5或11 【分析】（1）找出点Q在边上运动且运动时间为时，、的值，令其相等，即可求出t值； （2）分两种情况：当点在边上运动时，当点在边上运动时，分别列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分两种情况：当点Q在点P左侧时，当点Q在点P右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当点在边上运动时，，根据题意，得： ， 解得：． 答：当为时，． （2）解：当点在边上运动时，，， 根据题意，得， 解得； 当点在边上运动时，，， 根据题意，得， 解得． 综上所述，当为或时，等于长方形周长的． （3）解：当点Q在点P左侧时，， 解得：； 当点Q在点P右侧时，， 解得：； 综上，t的值为5或11． 20．(1)足球的单价是元，跳绳的单价是元 (2)当时，两种方案购买总费用相同 (3)先按方案②购买个足球（赠送条跳绳），再按方案①购买剩余条跳绳更省钱 【分析】（1）先根据素材给出的总价关系列方程求出足球和跳绳的单价， （2）分别列出两种优惠方案的总费用代数式，令两者相等求出总费用相同时的值， （3）计算时不同购买方案的总费用，比较后得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设跳绳的单价为元，由题意得2个足球的费用等于11根跳绳的费用，因此足球单价为元． 根据题意列方程： 化简得 解得 则足球单价为 （元）． 答：足球的单价是110元，跳绳的单价是20元． （2）由题意得，， 方案①总费用： （元） 方案②总费用： （元） 令总费用相等，得： 解得． 答：当时，两种方案购买总费用相同． （3）当时，分别计算不同方案的费用： ①全部使用方案①：总费用为 （元） ②全部使用方案②：总费用为 （元） ③混合使用两种方案：先用方案②购买30个足球，赠送30条跳绳，剩余条跳绳用方案①购买，总费用为： （元） 混合方案费用更低． 答：先按方案②购买30个足球（赠送30条跳绳），再按方案①购买剩余30条跳绳更省钱． 学科网（北京）股份有限公司 $