云南玉溪市峨山彝族自治县第一中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷

**基本信息** 高三数学开学考试，覆盖函数、数列、立体几何等核心知识，通过圆锥体积比、投资利润分配等问题设计，考查空间观念、数学建模与逻辑推理，适配高三开学学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、概率、函数性质|第7题圆锥与球体积比，融合空间想象与运算求解| |填空题|3题15分|抛物线切线、函数定义域、导数几何意义|第14题直线与曲线切线问题，考查数学抽象与转化思想| |解答题|5题77分|解三角形、数列、函数应用、立体几何、函数与数列综合|第17题投资利润分配，体现数学建模与应用意识；第19题函数性质与数列求和，考查逻辑推理与创新思维|

云南省峨山县第一中学2025-2026学年下学期开学考试 高三 数学 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，则（） A. B. C. D. 2.设复数z满足，则（） A. B. C. D.5 3.已知随机变量，且，则的最小值为（） A.4 B.8 C.16 D. 4.已知，则（） A. B. C. D. 5.已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（） A. B. C. D. 6.已知是等差数列，是数列的前项积，若，则（） A.15 B.21 C.108 D.243 7.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球后，还可以放入一个半径为1的小球，则小球的体积与容器体积之比的最大值为（） A. B. C. D. 8.函数在上的图象大致为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列选项正确的是（ ） A.若正实数满足，则的最小值为10 B.函数的值域是 C.若正实数满足，则的最大值为 D.若正实数满足，则的最小值为 10.设随机变量，令，则下列说法正确的是（） A.是减函数 B. C.是偶函数 D.的图象关于点对称 11.已知曲线，则下列说法正确的是（） A.当时，曲线关于直线对称 B.当时，是两条直线 C.当时，若点是曲线上的任意一点，则 D.当时，曲线上的点到原点距离的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12.过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则                   . 13.已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是                   ． 14.若直线上一点可以作曲线的两条切线，则点纵坐标的取值范围为                   ． 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15.（13分） 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，． (1) 求a； (2) 若的面积为，求AB边上的高CD． 16.（15分） 已知数列满足． (1) 证明：数列是等比数列； (2) 求数列的前n项和． 17.（15分） 某公司研发甲、乙两种新产品，根据市场调查预测，甲产品的利润y（单位：万元）与投资（单位：万元）满足：（为常数），且曲线与直线在（1，3）点相切；乙产品的利润与投资的算术平方根成正比，且其图像经过点（4，4）. (1) 分别求甲、乙两种产品的利润与投资资金间的函数关系式； (2) 已知该公司已筹集到40万元资金，并将全部投入甲、乙两种产品的研发，每种产品投资均不少于10万元.问怎样分配这40万元投资，才能使该公司获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ （参考数据：） 18.（17分） 已知长方体中，，，点M在棱上，点N在棱上，且，，P为棱中点． (1) 求证：平面； (2) 求平面与平面夹角的余弦值； (3) 平面把长方体分割成两部分，求较小部分几何体的体积． 19.（17分） 已知定义在上的函数满足以下条件： ①； ②当时，； ③对，均有，且． (1) 用表示； (2) 判断的单调性，并证明你的结论； (3) 已知数列满足，求数列的前n项和． 高三 数学答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.B【解析】由，解得，即. 又，所以. 故答案选：B. 2.C【解析】由， 可得， 其共轭复数. 因此. 故答案选：C. 3.B【解析】已知随机变量，其正态分布均值. 由对称性可得，解得. 因为，所以. 则 . 当且仅当，即时取等号. 故答案选：B. 4.C【解析】已知，则， 化简得， 即， 即， 所以，得，则. 因此 . 故答案选：C. 5.C【解析】因为函数为奇函数，则有， 即. 令，得. 所以函数对称中心为，且有.① 在①式中令，得，解得. 在①式中令，得. 因为函数为偶函数，则. 令，得. 求导得，即.② 由①②得. 令，得. 所以函数是周期为的周期函数. 所以 . 故答案选：C. 6.D【解析】已知为等差数列，设公差为. 由，可得， 所以是等比数列，， 根据等比数列性质，， 则. 故答案选：D. 7.A【解析】由题可知，圆锥形容器底面半径，高. 边长为正三角形内切圆半径：， 则该圆锥内切球半径为， 所以小球与容器侧面、底面均相切. 要使小球体积与容器体积比最大，则小球半径需最大， 此时小球与小球、容器侧面都相切. 其轴截面情况可得：. 小球体积与容器体积之比为：. 故答案选：A. 8.A【解析】. 所以是偶函数，图象关于轴对称. 由此可知B和D选项错误. ，故C选项错误. 故答案选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.AC【解析】A选项： ， 当且仅当，即时等号成立，A正确. B选项：， 当且仅当时等号成立，函数值域为，B错误. C选项：由为正实数且， ，得， 当且仅当，即时等号成立，C正确. D选项：由，得. ， 当，即， 因，最小值取不到，D错误. 故答案选：AC. 10.ABD【解析】设任意实数，且. A选项：因为， 所以是减函数，A正确. B选项：已知随机变量，其曲线关于对称， 则，B正确. C选项：， 所以不是偶函数，C错误. D选项：由正态分布对称性，有， 即，所以图象关于点对称，D正确. 故答案选：ABD. 11.BCD【解析】A选项：当时，曲线方程为. 设点在曲线上，其关于对称点为. 将代入曲线方程得. 所以点不在曲线上，曲线不关于对称，A错误. B选项：当时，曲线方程为，即. 解得，所以是两条直线，B正确. C选项：当时，曲线方程为. 则，即. 解得或，所以，C正确. D选项：当时，曲线方程为. . 由均值不等式得. 当且仅当，即，时取等号. 所以. 曲线上的点到原点距离最小值为，D正确. 故答案选：BCD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12.【解析】设,由在抛物线上得;圆的圆心为,半径. 由切圆于,得,,. 故. 由得,由,代入得. 故,当时,取得最小值. 由最小值为12得,即. 平方得,即,解得. 由得. 13.【解析】 由函数定义域、值域,得不同函数个数为. {1,2},{3},{4}{1},{2,3},{4}{1},{2},{3,4}. 14.【解析】 由得. 在曲线上任取一点,由得,故曲线在点处的切线方程为,即. 由切线过点得,即. 令,由得. 因为当时,所以单调递增;当时,所以单调递减，故. 由方程有两个不同实根，即直线与曲线有两个交点，又时,时,所以. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15.(1)解：由及,得. 由正弦定理得,故. 因为,所以,得. (2)解：由的面积,代入,,得,解得. 由余弦定理得,因为,所以,解得. 由且,得,故. 16.(1)证明：由递推关系， 将括号内通分整理得， 两边同时除以得， 又因为， 所以数列是首项为、公比为的等比数列. (2)解：由(1)可得， 因此， 于是前项和为， 考虑构造错位相减法，令， 两边乘以得， 两式相减得， 等式右边前项构成等比数列求和，得， 因此. 17.(1)解：由甲产品利润函数（）,得. 由点在直线上,得. 因为曲线与直线在处相切,故且. 由,得;由,得,故（）. 设乙产品利润函数为（）,由其过点,得,故,即（）. (2)解：设甲产品投资万元,则乙产品投资万元,由每种产品投资不少于10万元,得. 公司利润,得. 由,得;由,得,故时取得最大值. 计算得（万元）,此时乙产品投资万元. 18.(1)证明：取中点,连接,由得,由得,故.因为为中点且,所以,又,且,故四边形为平行四边形,得.由且,得.又平面,平面,故平面. (2)解：以为原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,得,,,故,.设平面的法向量为,由得,由得,取,得,,故.平面的一个法向量为.设平面与平面夹角为,则. (3)解：取中点,由(1)知,故、、、四点共面,四边形为梯形.设,则为三棱台且为体积较小部分. 计算得,,两底面距离为.由三棱台体积公式得. 19.(1)解：由条件③,令,,得f(1) =f(1) f(0) +f(1) +f(0)[f(1) +1]f(0)=0f(1)=2>0f(0)=0y=-xf(0) =f(x)f(-x)+f(x)+f(-x)=0f(x)． (2)解：是上的单调递增函数．证明:对任意且,由条件③得,故． 由,得;由条件②,时,故． 当时,,由(1)得,故;又时,,故对任意,,即． 因此,即,故是上的单调递增函数． (3)解：由条件③,令,得． 由,结合,得;重复递推次,得;由(1),故． 由单调递增,故． 数列的前项和． 设,则,;两式相减得,故． 又,故． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $