第51讲 随机事件、频率与概率、古典概型、概率的基本性质课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦计数原理与概率模块核心内容，覆盖随机事件、频率与概率、古典概型及概率基本性质等高考必考点，依据课标要求梳理样本点、事件关系、概率运算等关键概念，通过基础检测与考点分类，明确古典概型计算、互斥对立事件判断等高频题型，体现备考的系统性与针对性。 课件亮点在于“考点解析+对应训练+素养培养”的设计，如以“摸球问题”“抽奖模型”为例，运用列举法、树状图法分析样本空间，培养学生数学思维与数据观念，帮助掌握事件关系转化、概率公式应用等技巧，助力学生高效突破考点，为教师提供精准复习教学指导。

第9章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第51讲 随机事件、频率与概率、古典概型、概率 的基本性质 2027届高考一轮复习数学 1 【课标要求】 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算. 3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则. 4.会用频率估计概率. 5.理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率. 2 【知识要点】 1.样本空间和随机事件 (1)样本点和有限样本空间 ①样本点:随机试验E的每个可能的　 　称为样本点，常用ω表示.  全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示. ②有限样本空间:如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 基本结果 3 (2)随机事件 ①定义:样本空间Ω的　 　称为随机事件，简称事件.  ②表示:大写字母A，B，C，…. ③随机事件的极端情形:必然事件、不可能事件. 子集 4 2.事件的关系和运算 定义 符号表示 包含关系 若事件发生，则事件__________，就称“包含 ” （或“包含于 ”） _______ （或 ） 相等关系 若且，则称事件与事件 相等 _______ 并事件 （和事件） 事件与事件 ____________发生，事件中的样本点 或者在事件中，或者在事件 中，称这个事件为事 件与事件 的并事件（或和事件） （或 ） 一定发生 至少有一个 5 定义 符号表示 交事件 （积事件） 事件与事件 ______发生，事件中的样本点既在事 件中，也在事件中，则称这个事件为事件 与事件 的交事件（或积事件） （或 ） 互斥事件 事件与事件______________，则称事件与事件 互斥（或互不相容） 对立事件 事件和事件 在任何一次试验中有且仅有一个发 生，称事件与事件互为对立.事件 的对立事件记 为 ， 且 同时 不能同时发生 续表 6 3.频率与概率 (1)频率的稳定性 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐　 　事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性.  (2)频率稳定性的作用 可以用频率fn(A)估计概率P(A). 稳定于 7 4.古典概型 (1)定义: 具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性:样本空间的样本点只有　 　个;  ②等可能性:每个样本点发生的可能性　 　.  (2)古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)==，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 有限 相等 8 5.概率的几个基本性质 (1)对任意的事件A，都有　 　.  (2)必然事件的概率P(Ω)=　　，不可能事件的概率P=　　.  (3)如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)=　 　.  (4)如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=　 　，P(A)=　 　.  (5)如果A⊆B，那么P(A)≤　 　.  (6)设A，B是随机试验中的两个事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)-　 　.  P(A)≥0 1 0 P(A)+P(B) 1-P(A) 1-P(B) P(B) P(A∩B) 9 【基础检测】 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)从装有3个大球、1个小球的袋中取出一球的试验是古典概型.(　　) (2)对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件.(　　) (3)若事件A和B是互斥事件，则A∩B是不可能事件.(　　) (4)若A∪B是必然事件，则事件A与B是对立事件.(　　) (5)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，则事件A的概率为.(　　) × × √ × √ 10 2.某人打靶3次，事件Ai=“击中i发”，其中i=0，1，2，3.那么A=A1∪A2∪A3表示的事件是　　　　 　.  至少击中1发 [解析] 根据并事件的定义可知，A=A1∪A2∪A3表示A1，A2，A3至少有一个发生，所以A=A1∪A2∪A3表示至少击中1发. 11 3.[必修2p238T1]某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶.假设此人射击1次，则其中靶的概率约为　　　　;中10环的概率约为　　　　.  0.9 0.2 [解析] 中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为=0.9，所以此人射击1次，中靶的概率约为0.9.同理得中10环的概率约为0.2. 12 4.[必修2p244T12]《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2部进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为　　　　.  [解析] 4本名著选两本共有=6种选法，选取的两本中含有《红楼梦》的共有=3种选法，所以任取2部进行阅读，取到《红楼梦》的概率为P==. 13 5.[必修2p244T7]一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是　　　　.  [解析] 先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为. 14 考点1 随机事件与样本空间 例1　(1)从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，记“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数”为事件B，则A+B和AB包含的样本点数分别为(　　) A.1;6 B.4;2 C.5;1 D.6;1 C [解析] 试验E的样本空间为Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}.其中事件A中所含的样本点为(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个;事件B中所含的样本点为(1，3)，(2，4)，共2个.所以事件A+B中所含的样本点为(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共5个;事件AB中所含的样本点为(2，4)，共1个.故选C. 15 (2)根据点数取1~6的扑克牌共24张，在花色为红桃的牌中依次不放回抽取2张(每次抽1张)，记录每张的点数.写出该试验的样本空间. [解析] 依次不放回抽取2张，点数不会相同，则所有结果如下表所示.故样本空间为Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}. 16 [小结]写样本空间的关键是找样本点,具体有三种方法 (1)列举法:适用样本点个数不是很多,可以把样本点一一列举出来的情况,但列举时必须按一定的顺序,要做到不重不漏. (2)列表法:适用于试验中包含两个或两个以上的元素,且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题,通常把样本归纳为“有序实数对”,也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏. (3)树状图法:适用较复杂问题中的样本点的探求,一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举. 17 1.袋中有白球3个(编号为1，2，3)、黑球2个(编号为1，2)，这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，写出摸出球的情况的样本空间. [解析] 设摸到白球的结果分别记为w1，w2，w3， 摸到黑球的结果分别记为b1，b2，则该试验的所有可能结果如图， 所以该试验的样本空间为Ω={w1w2，w1w3，w1b1，w1b2，w2w1，w2w3，w2b1，w2b2，w3w1，w3w2，w3b1，w3b2，b1w1，b1w2，b1w3，b1b2，b2w1，b2w2，b2w3，b2b1}. 对应训练 18 2.连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同}，事件B={两次出现的点数之和为4}，事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4}. 用样本点表示事件A∪B为　　　　　　　　 　  ; 若事件E={(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(5，1)，(6，2)}，则事件E与事件B∪C的运算关系是　　　　　　　　　　　.  A∪B={(1，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(3，3)， (4，4)，(5，5)，(6，6)} E=B∪C [解析] (1)由题意得，事件A={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，事件B={(1，3)，(2，2)，(3，1)}，事件C={(1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2)}. 则A∪B={(1，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}; B∪C={(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(5，1)，(6，2)}，所以E=B∪C. 19 考点2 事件的关系及运算 例2　(多选)某家商场举行抽奖活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件A=“两人都中奖”;B=“两人都没中奖”;C=“恰有一人中奖”;D=“至少一人没中奖”.则(　　) A.B∪C=D B.A∩C≠⌀ C.C⊆D D.B∩D=B ACD 20 [解析] 对于A，事件B∪C为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，所以B∪C=D，故A正确; 对于B，事件A∩C表示“两人都中奖且恰有一人中奖”，没有这样的事件，所以A∩C=⌀，故B错误; 对于C，“至少一人没中奖”包括“恰有一人中奖”和“两人都没中奖”两种情况，所以C⊆D，故C正确; 对于D，由A选项可知B⊆D，所以B∩D=B，故D正确.故选ACD. 21 [小结]1.判别互斥、对立事件的2种方法 (1)定义法 判别互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件. (2)集合法 ①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥. ②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 22 3.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件:Ci=“点数为i”，其中i=1，2，3，4，5，6;D1=“点数不大于2”，D2=“点数大于2”，D3=“点数大于4”，下列结论判断错误的是(　　) A.C1与C2互斥 B.D1∪D2=Ω，D1D2=⌀ C.D3⊆D2 D.C2，C3为对立事件 D [解析] 由题意C1与C2不可能同时发生，它们互斥，A正确; D1中点数为1或2，D2中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此D1D2为不可能事件，B正确; D3发生时，D2一定发生，但D2发生时，D3可能不发生，因此D3⊆D2，C正确; C2与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误.故选D. 对应训练 23 考点3 随机事件的频率与概率 例3　(多选)利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数分别为20，100，500时各做5组试验，得到事件“一枚正面朝上，一枚反面朝上”发生的频数和频率情况如下表: 序号 n=20 n=100 n=500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 24 根据以上信息，则(　　) A.试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性 B.试验次数较少时，频率波动较大;试验次数较多时，频率波动较小，所以试验次数越多越好 C.随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近 D.我们要想得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发生的频率即为概率 √ √ √ 25 [解析] 对于A:根据表中数据得到试验次数相同时，频率可能不同，则说明随机事件发生的频率具有随机性，故A正确; 对于B:分别对比每个序号重复试验次数分别为20，100，500的频率可得试验次数较少时，频率波动较大;试验次数较多时，频率波动较小，则试验次数越多越好，故B正确; 对于C:根据表中数据得到随机事件发生的频率会随着试验次数的增加而逐渐稳定在一个固定值附近，故C正确; 对于D:我们要想得到某事件发生的概率，需要进行多次重复试验才能得到概率的估计值，故D错误.故选ABC. 26 [小结]1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度,频率是随机的,而概率是一个确定的值,通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值. 2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率. 27 4.在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛(比赛采用3局2胜制)，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜，经随机模拟产生了如下20组随机数: 334 221 433 551 454 452 315 142 331 423 212 541 121 451 231 414 312 552 324 115 据此估计甲获得冠军的概率为　　　　　.  0.65 [解析] 20组数据中，334，221，433，315，142，331，423，212，121，231，312，324，115共13组数据表示甲获得冠军，故估计甲获得冠军的概率为=0.65. 对应训练 28 考点4 互斥事件与对立事件、概率的基本性质 例4　(1)从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥但不对立的事件是(　　) A.至少一个黑球与至少一个红球 B.至少一个黑球与都是黑球 C.恰有一个黑球与恰有两个黑球 D.至少一个黑球与都是红球 C [解析] 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，包括3种情况:①恰有一个黑球，②恰有两个黑球，③没有黑球. 对于A:至少一个黑球与至少一个红球，能同时发生的情况有“恰有一个黑球”，故不是互斥事件，不符合要求; 29 对于B:至少一个黑球与都是黑球，能同时发生的情况有“都是黑球”，故不是互斥事件，不符合要求; 对于C:恰有一个黑球与恰有两个黑球不可能同时发生，它们是互斥事件，再由这两件事的和不是必然事件，故他们是互斥但不对立的事件，符合要求; 对于D:至少一个黑球与都是红球，不能同时发生且“至少一个黑球”与“都是红球”必有一个发生，是对立事件，不符合要求.故选C. 30 (2)若某群体中的成员会用现金支付的概率为0.60，会用非现金支付的概率为0.55，且每位成员至少会用一种支付手段，则既用现金支付也用非现金支付的概率为(　　) A.0.10 B.0.15 C.0.40 D.0.45 B [解析] 设成员会用现金支付为事件A，会用非现金支付为事件B，则A∩B为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)=0.6，P(B)=0.55，则P(A+B)=1，P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.6+0.55-1=0.15.故选B. 31 [小结]1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来. 2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算;二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P()求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便. 32 5.从装有若干个红球和白球(除颜色外其余均相同)的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为(　　) A. B. C. D. C [解析] 设“两个球都是红球”为事件A，“两个球都是白球”为事件B，“两个球颜色不同”为事件C，则P(A)=，P(B)=，且=A∪B. 因为A，B，C两两互斥， 所以P(C)=1-P()=1-P(A∪B)=1-[P(A)+P(B)]=1--=.故选C. 对应训练 33 6.湘西州有甲草原:龙山县八面山空中草原，乙草原:泸溪县滨江大草原，暑假期间两草原供游客休闲旅游，记事件E=“只去甲草原”，事件F=“至少去一个草原”，事件G=“至多去一个草原”，事件H=“不去甲草原”，事件I=“一个草原也不去”.下列命题正确的是(　　) A.E与G是互斥事件 B.F与I是互斥事件，且是对立事件 C.F与G是互斥事件 D.G与I是互斥事件 B 34 [解析] 依题意基本事件有“去甲草原”“去乙草原”“一个草原也不去”“去甲、乙草原”共四个，事件F=“至少去一个草原”包含“去甲草原”“去乙草原”“去甲、乙草原”三个基本事件;事件G=“至多去一个草原”包含“去甲草原”“去乙草原”“一个草原也不去”三个基本事件;事件H=“不去甲草原”包含“去乙草原”“一个草原也不去”两个基本事件; 对于A，事件E，G有可能同时发生，不是互斥事件，故A错误; 对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确; 对于C，事件F与G有可能同时发生，不是互斥事件，故C错误; 对于D，事件G与I有可能同时发生，不是互斥事件，故D错误.故选B. 35 考点5 古典概型 例5　(1)在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是(　　) A. B. C. D. D 36 [解析] 根据题意，m，n的情况如下: (6，6)，(6，7)，(6，8)，(6，9)，(7，6)，(7，7)，(7，8)，(7，9)，(8，6)，(8，7)，(8，8)，(8，9)，(9，6)，(9，7)，(9，8)，(9，9)，共16种情况， 其中m，n满足|m-n|≤1的情况如下: (6，6)，(6，7)，(7，6)，(7，7)，(7，8)，(8，7)，(8，8)，(8，9)，(9，8)，(9，9)，共10种情况， 所以两人“心领神会”的概率是=，故选D. 37 (2)甲、乙、丙、丁、戊五人等可能分配到A，B，C三个工厂工作，每个工厂至少一人，则甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为　　　　　.  [解析] 由题设，甲、乙两人在同一工厂工作的分配方法有+种，所有的分配方法有·+种，所以甲、乙两人不在同一工厂工作的概率为P=1-=. 38 [小结]求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择. 39 7.一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于，则该批产品中一等品至少有(　　) A.3件 B.4件 C.5件 D.6件 C [解析] 设该批产品共有n件，n>5，n∈N*，从中任取3件产品，均不是一等品的概率为，则至少有1件一等品的概率为1-，由题意1-≥， 即n(n-1)(n-2)≥10×9×8，可得n≥10，则该批产品中一等品至少有10-5=5件.故选C. 对应训练 40 8.甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为(　　) A. B. C. D. C [解析] 人数配比为3∶1∶1时，有=60种不同安排方法; 人数配比为2∶2∶1时，有=90种不同安排方法; 所以共有60+90=150种不同安排方法. 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为3∶1∶1，则有=18种不同安排方法;若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为2∶2∶1，则有=18种不同安排方法;所以共有18+18=36种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为P==.故选C. 41 [小结]复杂事件概率的求解方法 (1)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和. (2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其对立事件,通过求其对立事件的概率,然后转化为所求问题. 42 $