精品解析：广东广州市天河中学2025-2026学年高二下学期6月月考数学试题

高二数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分 考试用时120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，再由导数可得到函数的单调递增区间. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 根据导数与函数单调性的关系，令 ， 整理得，解得， 因此函数的单调递增区间为. 2. 在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，进而结合题意得，解方程即可求得答案. 【详解】设， 由题意得：，则， 因为曲线上一点处的切线平行于直线， 直线的斜率为， 所以，解得， 所以，即 3. 已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用正态分布对称性和概率性质计算即可. 【详解】解：对于，，故A错误； 对于，因为， 所以    ，故B错误； 对于C，显然， 所以， 所以，故C正确；  对于 ，因为， 所以，故D错误． 故选：C． 4. 的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 【答案】D 【解析】 【分析】原问题即为求展开式中的所有项的系数和，令，即可得答案. 【详解】解：展开式的通项公式为， 若展开式中的项不含z，则，此时符合条件的项为展开式中的所有项， 令，可得所有不含z的项的系数之和为， 故选：D. 5. 某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（ ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用决定系数大小关系排除AB；再利用数表中数据求出斜率判断CD. 【详解】由用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和， 得，则指数型回归模型最适宜拟合y与x关系，排除AB； 设y与x之间关系的函数为，两边取对数得，设，则， 因此，， 即，，C错误，D正确. 故选：D 6. 某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设第一周去AI兴趣小组为事件 ，第二周去AI兴趣小组为事件 ，根据条件概率公式及全概率公式求解即可． 【详解】设第一周去AI兴趣小组为事件 ，第二周去AI兴趣小组为事件 ， 则，， 所以， ， . 故选：A． 7. 已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（ ）个. A. 432 B. 257 C. 282 D. 504 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法和插空法来求个数即可. 【详解】第一步：把1、2、3、4、7、8奇偶数相间而排，共有种， 第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶， 所以插入后奇数旁边放6，偶数旁边放5，则这7个空共有种排法， 根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有个， 故选：D. 8. 已知函数，若恒成立，则正整数 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用公切线与隐零点，将问题转化为关于公切点的对勾函数求值域问题，即可得到答案. 【详解】原不等式等价于，由图可知 若满足题意，只需 小于与两个函数相切时的 的值即可， 设公切点为，因为，， 所以，所以，所以， 令，所以，所以单调递增， 因为，， 所以存在，使得， 所以，令，则， 根据对勾函数的性质知单调递减， 所以，所以正整数 的最大值为 . 故选：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下的列联表： 喜欢该项运动 不喜欢该项运动 总计 男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 由公式，算得 附表 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 参照附表，以下结论正确的是（ ） A. 依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关” B. 依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别无关” C. 认为“爱好该项运动与性别无关”，此推断犯错的概率不超过1% D. 认为“爱好该项运动与性别有关”，此推断犯错的概率不超过1% 【答案】BD 【解析】 【分析】对比临界值表，根据独立性检验的思想直接判断即可 【详解】由题意，本题所给的观测值， 则依据小概率值的独立性检验，可认为“爱好该项运动与性别无关”，即 B正确； 又因， 则可认为“爱好该项运动与性别有关”，此推断犯错的概率不超过1%，即D正确. 10. 设 ， ， 是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用条件概率公式计算判断选项A，D；利用全概率公式计算判断选项B；利用加法公式计算判断选项C． 【详解】已知，，，，， 选项A：由条件概率公式， 得，故A正确； 选项B：由全概率公式， 得，故B正确； 选项C：由加法公式， 得，故C正确； 选项D：由条件概率公式， 得，故D错误． 故选：ABC． 11. 三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，拐点处的切线方程为 B. 当时，在区间内存在最小值，则 的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则 的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据题设定义求得 ，再利用导数的几何意义即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成 与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则，， 令，解得 ， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在 处取得极小值， 又由，得到，解得 或， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，即 的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即 与有三个交点， 所以，即 的取值范围是，故C正确， 对于D，由，可得， 即，显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了研究物理成绩 与数学成绩 之间的关系，随机抽取 名学生的成绩，用最小二乘法得到 关于 的线性回归方程为，则样本中的样本点的残差为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线性回归方程及残差的定义计算可得. 【详解】由线性回归方程为，令，得， 所以时，，残差为. 因此样本点的残差为. 13. 如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有___________种. 【答案】6 【解析】 【分析】先涂点 ，再涂点 、 ，此时分颜色相同和颜色不同两种情况，即可得出四点的涂色情况，再利用分步乘法计数原理即可. 【详解】先给点 涂色，因为有红、黄、蓝3种颜色可供选择，所以点 有3种涂色方法； 再给点 、 涂色，若颜色相同，则需与点 不同，有 种，则点 、 只有1种； 若颜色不同，则点 、 无法保证同一条棱的两个顶点不同色， 则共有种 故答案为： 14. 已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是______；的值为______. 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】①令，则方程有两个不等的实根，，数形结合，根据的图象得出结果；②由韦达定理代入求值即可. 【详解】由， 令，∴， 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，. 作出大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点， （*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根，，其中，， 令，∴， 且，，， ∴， 故答案为：；1. 【点睛】求解复合函数零点问题的方法： (1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出两个图像； (2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数再根据个数与的图像特点，决定参数的范围. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前 项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）数列与中的所有项分别构成集合 与 ，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列和等差数列通项公式可求答案； （2）列举部分项，得出数列的前30项的组成，利用求和公式可得答案. 【小问1详解】 因为数列为等比数列，且， 所以. 又因为，所以， 又，则， 故等差数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，， 所以， 而. 因为在数列前30项内，不在数列前30项内， 即为的前30项，其集合为 则数列前30项和为：=1203. 16. 如图，已知四棱锥，底面 ，圆 为底面 的外接圆， 是直径，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线 与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得出线线垂直，利用圆的性质得出线线垂直，进而得出线面垂直，进而证明面面垂直； （2）利用垂直关系建立空间直角坐标系，结合已知条件得出相关点坐标和向量坐标，求出平面法向量，利用直线所在向量与平面法向量夹角的余弦值得出线面角的正弦值． 【小问1详解】 底面 ，底面 ， ， 又 圆 为底面 的外接圆， 是直径， ， ，平面，， 平面， 平面， 平面平面． 【小问2详解】 以 为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 由，得， ， ，，， 设平面的一个法向量为， ，， 设直线 与平面所成角为，， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左､右顶点分别为为椭圆 上异于的两点. （1）求椭圆 的方程. （2）已知直线过定点，设和的面积分别为，求的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 依题意知，解得， 故椭圆C的方程为 【小问2详解】 依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 如图，设其方程为， 并与椭圆C联立方程组，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则，所以， 结合对勾函数性质得 在上单调递增． 所以，则. 故的最大值是. 18. 已知函数，其中. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求 的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定 ，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和 的取值范围. 【小问1详解】 当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，不满足题意. 所以 ，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到 的取值范围是. 19. 某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． （2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 【答案】（1）① 0 1 2 3 ； ② （2） ； 当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率， 当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率. 【解析】 【分析】（1）①由题意可知，利用二项分布可得分布列进而可求得期望，②根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率； （2）分类讨论求出与的关系，做差比较大小即可得出结论. 【小问1详解】 ①因为，所以控制系统中正常工作的元件个数的可能取值为0，1，2，3； 因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为， 所以， 所以， ， ， 所以控制系统中正常工作的元件个数的分布列为 0 1 2 3 控制系统中正常工作的元件个数的数学期望为， ②设“设备正常运行”为事件“所有元件都正常工作”为事件 则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为， 【小问2详解】 因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件， 则设备正常运行有三种情况， 第一类：原系统中至少有个元件正常工作， 其概率为； 第二类：原系统中恰好有个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作， 其概率为； 第三类：原系统中有个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作， 其概率为； 所以 ， 即； 则， 所以，当时，，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率， 当时，，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分 考试用时120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 2. 在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中，所有不含z的项的系数之和为（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 5. 某科技公司在人工智能领域逐年加大投入，根据近年来该公司对产品研发年投入额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据统计，得到散点图如图．用线性回归和指数型回归模型拟合y与x关系的决定系数分别为和，则根据参考数据，下列表达式中最适宜描述y与x之间关系的函数为（ ） 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程的系数公式为． 参考数据：令 3 2.5 0.5 10 12 6 A. B. C. D. 6. 某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（ ）个. A. 432 B. 257 C. 282 D. 504 8. 已知函数，若恒成立，则正整数 的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下的列联表： 喜欢该项运动 不喜欢该项运动 总计 男 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110 由公式，算得 附表 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 参照附表，以下结论正确的是（ ） A. 依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别有关” B. 依据小概率值的独立性检验，认为“爱好该项运动与性别无关” C. 认为“爱好该项运动与性别无关”，此推断犯错的概率不超过1% D. 认为“爱好该项运动与性别有关”，此推断犯错的概率不超过1% 10. 设 ， ， 是同一概率空间中的随机事件，满足，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，拐点处的切线方程为 B. 当时，在区间内存在最小值，则 的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则 的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了研究物理成绩与数学成绩 之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于 的线性回归方程为，则样本中的样本点的残差为________． 13. 如图所示，用红、黄、蓝3种颜色给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有___________种. 14. 已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是______；的值为______. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前 项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． （1）求数列和数列的通项公式； （2）数列与中的所有项分别构成集合 与 ，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 16. 如图，已知四棱锥，底面 ，圆 为底面 的外接圆， 是直径，，． （1）求证：平面平面； （2）求直线 与平面所成的角的正弦值． 17. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左､右顶点分别为为椭圆 上异于的两点. （1）求椭圆 的方程. （2）已知直线 过定点，设和的面积分别为，求的最大值； 18. 已知函数，其中. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求 的取值范围. 19. 某企业的设备控制系统由个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为（例如：表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）． （1）若，且每个元件正常工作的概率． ①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望； ②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率． （2）请用表示，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $