第63讲 圆锥曲线中的定值与定点问题-第三课时 定直线问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆锥曲线中的定直线问题”，依据高考评价体系梳理了设点法、待定系数法、验证法三大解题方法，通过椭圆、抛物线、双曲线等典型案例分析，明确此类问题在高考中占12 - 15分的高频考点地位，归纳出“参数消元”“韦达定理应用”“特殊位置验证”等常考题型。 课件亮点在于“真题情境 + 素养导向”的备考设计，如以2025年吉林长春一模抛物线题为例，用设点法推导直线交点轨迹，培养学生的数学思维与推理能力，提炼“先特殊后一般”的论证技巧。特设“易错点警示”和“解题模板”，助力学生掌握定直线问题的通性通法，教师可据此开展专题突破，提升复习效率。

第63讲 圆锥曲线中的定值与定点问题 第三课时 定直线问题 2027届高考一轮复习数学 1 角度1.设点法 例1　已知椭圆E:+=1(a>b>0)，F为椭圆E的右焦点，三点中恰有两点在椭圆E上. (1)求椭圆E的标准方程; (2)设点A，B为椭圆E的左、右端点，过点M(2，0)作直线交椭圆E于P，Q两点(不同于A，B)，求证:直线AP与直线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程. 2 (1)求椭圆E的标准方程; [解析] (1)因为F(2，0)为椭圆E的右焦点，所以a2-b2=8，① 由对称性得，点在椭圆E上，代入得+=1，② 联立①②解得，a2=9，b2=1， 所以椭圆E的标准方程为+y2=1. 3 (2)设点A，B为椭圆E的左、右端点，过点M(2，0)作直线交椭圆E于P，Q两点(不同于A，B)，求证:直线AP与直线BQ的交点N在定直线上运动，并求出该直线的方程. [解析] (2)由条件知直线PQ与直线AB不重合，故直线PQ的斜率不为0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，设直线PQ的方程为x=my+2， 联立可得(m2+9)y2+4my-5=0， 4 则y1+y2=，y1y2=，m=， 由(1)可得A(-3，0)，B(3，0)， 由A，P，N共线得，==③， 由B，Q，N共线得，==④， 由③÷④消去y0并整理得，===5， 即=5，所以x0=， 综上所述，直线AP与直线BQ的交点N在定直线x=上运动. 5 [小结]设点的轨迹，通过已知点或直线轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. 6 1.已知过点H(8，0)的直线交抛物线E:y2=8x于A，B两点，O为坐标原点. (1)证明:OA⊥OB; (2)设F为抛物线的焦点，直线AB与直线x=-4交于点M，直线MF交抛物线于C，D两点(A，C在x轴的同侧)，求直线AC与直线BD交点的轨迹方程. 对应训练 7 (1)证明:OA⊥OB; [解析] (1)设A，B， ①当AB斜率不存在时，则直线AB为x=8，A(8，8)，B(8，-8)，·=(8，8)·(8，-8)=0，所以OA⊥OB; ②当AB斜率存在时，因为A，H，B三点共线，所以kAH=kBH， 所以=， 整理可得yAyB=-64， 所以·=+yAyB=0，所以OA⊥OB. 8 (2)设F为抛物线的焦点，直线AB与直线x=-4交于点M，直线MF交抛物线于C，D两点(A，C在x轴的同侧)，求直线AC与直线BD交点的轨迹方程. [解析] (2)设M(-4，m)，C(xC，yC)，D(xD，yD)， 由题意知F(2，0)，H(8，0)， 因为kCD=kMF=-，kAB=kMH=-， 所以kCD=2kAB， 又因为kAB==，kCD==， 所以=， 整理得(yA-2yC)(yAyC+32)=0. 9 因为A，C在x轴同侧，所以yA=2yC，同理可得yB=2yD. 所以=4，即8xA=4·8xC，即xA=4xC， 所以kAC====·=， 所以直线AC的方程为y=x+yA， 同理BD的方程为y=x+yB. 两式联立代入yAyB=-64，可得x=-4， 由题意可知交点不能在x轴上， 所以交点的轨迹方程为x=-4(y≠0). 10 角度2.待定系数法 例2　已知动点P到定点F(0，4)的距离和它到直线y=1距离之比为2. (1)求点P的轨迹C的方程; (2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，若存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，且=λ=λ成立，求出l的方程. 11 (1)求点P的轨迹C的方程; [解析] (1)设P(x，y)，由动点P到定点F(0，4)的距离和它到直线y=1距离之比为2， 可得=2， 化简得3y2-x2=12，即-=1， 故点P的轨迹C的方程为-=1. 12 (2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，若存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，且=λ=λ成立，求出l的方程. [解析](2)设l的方程为y=2m(m>1)，则D(0，2m)，故M(0，m)， 由题意知直线PQ斜率存在，故设直线PQ的方程为y=kx+m(k≠0)，故N. 联立消y得(3k2-1)x2+6kmx+3m2-12=0， 由-=1对应的渐近线方程为:y=±x，易判断3k2>1，Δ=12(12k2+m2-4)>0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 13 则x1+x2= ，x1x2= ，① 因为=(-x1，m-y1)，==(x2，y2-m)， =， 由=λ=λ得x1=λ，x2=λ， 消去λ得，x2=x1，即2x1x2-(x1+x2)=0，② 由①②得:+·=0，化简得m2-2=0，又m>1，故m=， 故存在定直线l:y=2满足条件. 14 角度3.验证法 例3　在平面直角坐标系中，已知两定点A(-4，0)，B(4，0)，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且2|MN|2=|AN|·|NB|. (1)求动点M的轨迹Γ的方程. (2)设过P(0，1)的直线交曲线Γ于C，D两点，Q为平面上一动点，Q不在直线CD上，直线QC，QD，QP的斜率分别为k1，k2，k0，且满足+=.问:动点Q是否在某一定直线上?若在，求出该定直线的方程;若不在，请说明理由. 15 (1)求动点M的轨迹Γ的方程. [解析] (1)设M(x，y)，则N(x，0)，由题意知-4<x<4. ∵2|MN|2=|AN|·|NB|， ∴2y2=(x+4)(4-x)，即2y2=16-x2， 故动点M的轨迹Γ的方程为+=1(-4<x<4). 16 (2)设过P(0，1)的直线交曲线Γ于C，D两点，Q为平面上一动点，Q不在直线CD上，直线QC，QD，QP的斜率分别为k1，k2，k0，且满足+=.问:动点Q是否在某一定直线上?若在，求出该定直线的方程;若不在，请说明理由. [解析] (2)当直线CD的斜率不存在时，设C(0，2)，D(0，-2)，Q(x，y)，x≠0，由+=得，+=，即=，即y(y-1)=y2-8，得y=8(x≠0)，故存在满足题意的Q，在定直线y=8(x≠0)上; 当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y=kx+1. 17 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，Q(x0，y0)， 则k1=，k2=，k0=，由此知x0≠0. 将y=kx+1代入x2+2y2=16，得(2k2+1)x2+4kx-14=0， 则x1+x2=-，x1x2=-.① +=即+=，也即+=0. 将y1=kx1+1，y2=kx2+1代入得 +=0⇒(y0-kx0-1)=0. 18 又Q(x0，y0)不在直线y=kx+1上， ∴y0-kx0-1≠0，从而得+=0， 即x1y2+x2y1-y0(x1+x2)=0. 将y1=kx1+1，y2=kx2+1代入得2kx1x2+(1-y0)(x1+x2)=0. 将①式代入得2k·(-14)+(1-y0)·(-4k)=0， 解得y0=8(x0≠0). 综上，存在满足题意的Q，在定直线y=8(x≠0)上. [小结]通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 19 2.(2025·吉林长春·一模)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过焦点F作一条直线l0交C于A，B两点，点M在C的准线l上，且直线MF的斜率为-1，△OFM的面积为1. (1)求抛物线C的方程; (2)在l上存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方，求出点N的坐标，请说明理由; (3)过焦点F且与x轴垂直的直线l1与抛物线C交于P，Q两点，求证:直线AP与BQ的交点在一条定直线上. 对应训练 20 (1)求抛物线C的方程; [解析] (1)由题意得，直线MF的方程为y=-=-x， 令x=-，则y=p，故M， 于是S△OFM=××p=1，解得p=2(负值舍去)， 故抛物线C的方程为y2=4x. 21 (2)在l上存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方，求出点N的坐标，请说明理由; [解析](2)设l0的方程为x=ty+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(-1，n)， 由题意得，kNA+kNB=，即+==， 可得+=，通分可得=，① 联立得到y2-4ty-4=0， Δ=16t2+16>0， 22 由y1+y2=4t，y1y2=-4，代入①可得 = ， 整理可得(t2+1)(n2+4n)=0，解得n=0或n=-4， 故N(-1，0)，N(-1，-4)满足题意. 23 (3)过焦点F且与x轴垂直的直线l1与抛物线C交于P，Q两点，求证:直线AP与BQ的交点在一条定直线上. [解析](3)由题意，P(1，2)，Q(1，-2)， 则直线AP:y-2=(x-1)，直线BQ:y+2=(x-1)， 两式相减得，-4=(x-1)， 由(2)知，x1=ty1+1，x2=ty2+1， 于是-4=(x-1)， 24 即-4=(x-1)， 即2t=(x-1)，即2t=(x-1)， 于是2t=(x-1)，解得x=-1， 即直线AP与BQ的交点在一条定直线x=-1上. 25 3.已知双曲线-y2=1的两焦点为F1，F2，P为动点，若|PF1|+=4. (1)求动点P的轨迹E的方程; (2)若A1(-2，0)，A2(2，0)，M(1，0)，设直线l过点M，且与轨迹E交于R，Q两点，直线A1R与直线A2Q交于S点.试问:当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上?若是，请写出这条定直线的方程，并证明你的结论;若不是，请说明理由. 26 (1)求动点P的轨迹E的方程; [解析] (1)双曲线-y2=1的两焦点为F1，F2，设动点P(x，y)， 因为|PF1|+=4，且4>， 所以动点P的轨迹E是以F1，F2为焦点的椭圆. 因为a=2，c=，b2=1， 所以轨迹E的方程为+y2=1. 27 (2)若A1(-2，0)，A2(2，0)，M(1，0)，设直线l过点M，且与轨迹E交于R，Q两点，直线A1R与直线A2Q交于S点.试问:当直线l变化时，点S是否恒在一条定直线上?若是，请写出这条定直线的方程，并证明你的结论;若不是，请说明理由. [解析] (2)由题意知直线l的斜率不为0，则可设直线l的方程为x=my+1， 取m=0，得R，Q， 所以直线A1R 的方程是y=x+，直线A2Q的方程是y=x-， 则直线A1R与直线A2Q的交点为S1. 若R，Q，则由对称性可知直线A1R与直线A2Q的交点为S2. 28 若点S在同一条直线上，则该直线只能为l:x=4. 下面证明:对任意的m，直线A1R与A2Q的交点S均在直线l:x=4上. 设R(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消x得y2+2my-3=0， 由韦达定理得y1+y2=-，y1·y2=-， 设直线A1R与直线x=4的交点为S0， 则由=，得y0=. 29 设直线A2Q与直线x=4的交点为S0'， 则由=，得y0'=， 因为y0-y0'= - = = =0， 所以S0与S0'重合. 所以当直线l在变化时，点S恒在直线x=4上. 30 $