微专题18_隐圆与阿氏圆问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“隐圆与阿氏圆”微专题，依据高考评价体系梳理了隐圆轨迹判定、阿氏圆距离比关系两大核心考点，通过近三年高考真题分析明确轨迹方程求解、距离与面积最值为高频考查方向，归纳出4类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“题型建模+真题演练+素养提升”策略，如例1两直线垂直交点的隐圆问题，通过几何直观转化轨迹培养数学眼光；例2阿氏圆轨迹推导，用坐标法推理训练数学思维。对应训练题融入2025广东茂名一模等真题，提供“轨迹转化-圆性质应用-最值求解”三步法，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，高效提升复习质量。

第10章 直线与圆、圆锥曲线 微专题18：隐圆与阿氏圆问题 2027届高考一轮复习数学 1 题型一.隐圆问题 例1　(1)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x-a)2+(y-a+2)2=1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，则实数a的取值范围是　　　　　.  [0，3] [解析] 设M(x，y). 由|MA|2+|MO|2=10，得x2+(y-2)2+x2+y2=10， 整理得x2+(y-1)2=4，即点M在圆E:x2+(y-1)2=4上. 由题知圆E与圆C有公共点，所以2-1≤|CE|≤2+1，即1≤≤3， 所以1≤2a2-6a+9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3]. 2 (2)在平面直角坐标系xOy中，直线l1:kx-y+2=0与直线l2:x+ky-2=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线l:x-y-4=0的距离的最大值为　　　　.  3 [解析] 由题意，直线l1过定点A(0，2)，l2过定点B(2，0)，且l1⊥l2， 所以点P在以AB为直径的圆T:(x-1)2+(y-1)2=2上. 如图，圆心T(1，1)到直线l的距离d==2， 从而点P到直线l的距离的最大值为d+=3. [小结]若动点符合圆的定义，可转化动点的轨迹为圆，利用圆的性质求解. 3 1.已知圆O:x2+y2=1，直线l:ax+y=3，若直线l上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点是A，B，使得∠APB=60°，则实数a的取值范围是　 　 .  a≤-或a≥ [解析] 由∠APB=60°可得∠APO=30°， 由OA=1可得OP=2， 所以点P在以O为圆心，OP为半径的圆上，其方程为x2+y2=4. 又点P在直线l:ax+y=3上，故直线l与圆x2+y2=4有公共点，所以d=≤2， 解得a2≥，所以a≤-或a≥. 对应训练 4 2.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是　　　　.  5 [解析] 由题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0，0)，动直线mx-y-m+3=0， 即m(x-1)-y+3=0，经过定点B(1，3). 因为1×m-m×1=0，所以动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直， P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB， 所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10， 故|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时取“=”). 5 题型二.阿氏圆问题 例2　(1)古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A(-4，0)，B(2，0)，点M满足=2，则点M的轨迹方程为　　　 　　.  (x-4)2+y2=16 [解析] 设M(x，y)，由==2，得x2+y2-8x=0，即(x-4)2+y2=16. 6 (2)(多选)在平面直角坐标系xOy中，A(-2，0)，B(4，0)，点P满足=.设点P的轨迹为C，则(　　) A.C的方程为(x+4)2+y2=9 B.在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得= C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线 D.在C上存在点M，使得|MO|=2|MA| [解析] 设点P(x，y)，则()2=()2=，化简整理得x2+y2+8x=0， 即(x+4)2+y2=16，故A错误; BC 7 当D(-6，0)，E(-12，0)时，=，故B正确; (另解:设D(m，0)，E(n，0)， 由=得4[(x-m)2+y2]=(x-n)2+y2，化简得3x2-8mx+4m2+3y2=n2-2nx， ∵P点轨迹的方程为x2+y2+8x=0， ∴-8mx+4m2-24x=n2-2nx，即(24-2n+8m)x=4m2-n2， ∴得(舍)或 ∴D(-6，0)，E(-12，0)时，符合) 8 对于C选项，cos∠APO=，cos∠BPO=， 要证PO为角平分线，只需证明cos∠APO=cos∠BPO， 即证=，化简整理即证PO2=2AP2-8， 设P(x，y)，则PO2=x2+y2， 2AP2-8=2x2+8x+2y2=(x2+8x+y2)+(x2+y2)=x2+y2=PO2，得证， 故cos∠APO=cos∠BPO，故C正确; 对于D选项，设M(x0，y0)，由|MO|=2|MA|可得=2，整理得3+3+16x0+16=0，而点M在圆C上，故满足++8x0=0， 联立解得x0=2，y0无实数解，于是D错误. 故选BC. 9 例3　(1)在三角形ABC中，BC=4，角A的平分线AD交BC于点D，若=，则三角形ABC面积的最大值为　　　　　.  3 [解析] ==， 所以==， 因为∠ADB=180°-∠ADC， 所以sin∠ADB=sin(180°-∠ADC)=sin∠ADC，因为角A的平分线AD交BC于点D， 所以∠BAD=∠CAD，所以=，所以==，以D为坐标原点建立如图平面直角坐标系，因为BC=4，=， 10 所以B(-1，0)，C(3，0)， 设A(x，y)，则=， 所以x2+3x+y2=0， 所以+y2=， 故点A(x，y)的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除去(-3，0)和(0，0))， 故当A的纵坐标最大，即A时，△ABC面积取最大值为S△ABC=×4×=3. 11 (2)已知在平面直角坐标系中，圆O:x2+y2=1，点A和点B，M为圆O上的动点，则2|MA|-|MB|的最大值为　　　　.  [解析] 设M(x，y)，令2|MA|=|MC|， 则=，设点C(m，n)，则==， 整理得x2+y2+x+y=，比较两方程可得=0，=0，=1， 即m=-2，n=0，点C(-2，0)， 当点M位于图中M1的位置时，2|MA|-|MB|=|MC|-|MB|的值最大，最大值为|BC|=. 12 [小结]若点A，B为两定点，动点P满足|PA|=λ|PB|，则λ=1时，动点P的轨迹为直线;当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，此圆称之为阿波罗尼斯圆. 13 3.若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足=，若点P不在直线AB上，则△PAB面积的最大值为　　　　　.  [解析] 以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系， 如图，则B(2，0).设点P(x，y)，由=，得3|PA|2=|PB|2， 即3x2+3y2=(x-2)2+y2，整理得(x+1)2+y2=3.因此点P的轨迹是 以点C(-1，0)为圆心，为半径的圆(除去与x轴的交点)，则P到直线AB距离的最大值为，所以△PAB面积的最大值为S=|AB|×=. 对应训练 14 4.(2025·广东茂名·一模)动点P与两个定点O(0，0)，A(0，3)满足|PA|=2|PO|，则点P到直线l:mx-y+4-3m=0的距离的最大值为　　　　　.  2+ [解析] 令P(x，y)， 则=2，整理得x2+(y+1)2=4， 所以P的轨迹是圆心为(0，-1)，半径为2的圆， 又直线l:mx-y+4-3m=0可化为m(x-3)-(y-4)=0，易知直线l过定点(3，4)， 由32+(4+1)2>4，故点(3，4)在圆x2+(y+1)2=4外， 则圆心与定点所在直线与直线l垂直时，圆心与直线l距离最大， 所以点P到直线l距离的最大值为+2=2+. 15 5.已知圆C:(x-6)2+y2=16，B(4，0)，Q(5，-1)，若点P是圆C上的动点，则2|PB|+|PQ|的最小值为　　　　　　.  5 [解析] 设P(x，y)，因为点P在圆C:(x-6)2+y2=16上运动，所以x2+y2=12x-20， 设点A(-2，0)， 则===2，即2|PB|=|PA|， 则2|PB|+|PQ|=|PA|+|PQ|，如图所示， 所以当P，Q，A三点共线且点P在A，Q两点之间时，2|PB|+|PQ|取最小值，此时(2|PB|+|PQ|)min=|AQ|=5. 16 $