河南省2025-2026学年高下学期一期末模拟数学考试卷（一）

**基本信息** 本卷覆盖高一必修一、二核心内容，通过概率应用、立体几何证明、函数性质等综合题，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、不等式、圆锥、向量、三角|基础概念辨析，如圆锥内切球表面积计算| |多选|3/18|命题真假、线面关系、函数新定义|第11题新定义函数，考查创新意识| |填空|3/15|分位数、投影向量、函数零点|分位数计算体现数据意识| |解答|5/77|概率应用、立体几何证明与夹角、向量运算、解三角形、函数最值|15题摸球概率结合实际，16题空间几何培养逻辑推理，19题函数恒成立考查抽象能力|

2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数，则（     ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（     ） A． B． C． D． 5．已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 6．已知为锐角，，，则=（    ） A． B． C． D．或 7．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．设表示不同直线，表示不同平面，以下推理不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 11．给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图象可能是一条直线 B． 的图象不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则__________. 13．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为__________． 14．设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”， “取出的小球上的数字分别为1，2，3”， “取出的3个小球上的数字之和大于5”． (1)求； (2)判断事件A，B是否相互独立，并说明理由． 16．如图，平面四边形是边长为的正方形.平面，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．已知向量，满足 ， ，且，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数 的值； (3)若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围. 18．在中，角，，的对边分别为 ， ，且. (1)求； (2)若的面积为且为锐角三角形，求周长的取值范围. 19．已知函数， (1)若，当时，求的最小值； (2)若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（一） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若复数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，则. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，， 得. 3．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先表示出，再化简，利用基本不等式可求最小值． 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 4．已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥内半径最大的球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知半径最大球的半径即为边长为2的等边三角形的内切圆半径，进而运算求解. 【详解】由题意可知：半径最大球的半径即为边长为2的等边三角形的内切圆半径， 即球的半径最大值为， 所以半径最大的球的表面积为. 5．已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量共线的定义计算即可. 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 6．已知为锐角，，，则=（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为为锐角，，所以. 因为，所以，且， 所以， 所以 . 7．已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 8．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在上单调递增，结合，得，由函数在上单调递增， 结合，得，同时，即可判断. 【详解】因为函数在上单调递增，， 所以，， 化简可得，，所以， 因为函数在上单调递增， ， 所以，即，所以， 又，所以，， 所以. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式性质及分式不等式求法逐项判断. 【详解】对于A：若，不等式两边同时乘以， 得，即，A错误； 对于B：若，则，即， 等价于，解得，B正确； 对于C：若，则，当时恒成立， 当时，得，C错误； 对于D：若，则，不等式两边同时乘以， 得，即，D正确. 10．设表示不同直线，表示不同平面，以下推理不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】ABC 【分析】对于A，B，C举出反例即可；对于D根据线面平行和面面平行的判定定理和性质定理判断即可. 【详解】对于A，若，则或，故A不正确； 对于B，若，则或与异面，故B不正确； 对于C，若，则或与相交，故C不正确； 对于D，若，则或；若，又因为，则或； 若，则或，故D正确. 11．给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图象可能是一条直线 B． 的图象不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】对A、B，作差发现存在使，由此可判断A、B；对C，令，即，解得，求出的值域，判断C；对D，由题得关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为，得，解不等式求的范围判断D. 【详解】对于A和B，由，故总存在使得， 又，所以不可能始终等于， 即的图象不可能是一条直线，故A错误，B正确； 对于C，当时，，令，即，解得， 当或时，，此时，有， 当时，，此时，有， 综上，的值域为，故C错误； 对于D，由，当时，， 当或时，，， 当时，，， 又当时 ，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：7，8，13，15，17，18，18，，25，27，若该组数据的70%分位数是19，则__________. 【答案】 20 【详解】由，得的70%分位数为，所以. 13．已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【详解】在上的投影向量为. 14．设函数，若方程有三个实数根，，，则的范围是___________，又，则的取值范围是___________． 【答案】 ； . 【分析】由题意可得直线与的图象有三个交点，作出函数的图象，结合图象可得第一空答案；由题意可得，令，则，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示： 因为方程有三个实数根， 即直线与的图象有三个交点， 由图象可知， 所以实数的取值范围为； 令，得， 令，得或， 又因为， 所以， 由题意可得， 即 所以， 所以， 令， 则， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以, 即的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有3个红球（分别标有数字1，2，3），2个黄球（分别标有数字1，2），1个白球（标有数字1）．现从袋中随机一次性摸出3个小球，记事件“3个小球的颜色均不相同”， “取出的小球上的数字分别为1，2，3”， “取出的3个小球上的数字之和大于5”． (1)求； (2)判断事件A，B是否相互独立，并说明理由． 【答案】(1) (2)事件 ："3个小球颜色均不相同"，即必须取到红、黄、白各一个.红球有3种取法，黄球有2种，白球1种，故 ，.事件 ："取出的小球上的数字分别为 "，即取到的三个数字恰好是1、2、3各一个.数字1的球有3个（），数字2的球有2个（），数字3的球有1个（），故 ，.事件 ：既满足颜色均不相同，又满足数字分别为1,2,3.在 的6种取法中，只有符合条件，故 ，.计算，而，两者不相等.因此 ，故事件A，B不相互独立． 【分析】（1）列举所有等可能的取法，统计数字和大于5的取法数，利用古典概型求概率； （2）分别计算 、 、 ，利用独立事件的定义 判断. 【详解】（1）设3个红球分别为（对应数字1，2，3），2个黄球分别为（对应数字1，2）， 白球为（数字1）.从中任取3个球， 取法有：，，， ，，，共个. 其中数字和大于5的有：，，，，，，，共7种. 故. （2）略 16．如图，平面四边形是边长为的正方形.平面，，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)因为平面，且，所以平面. 又平面，因此. 因为是正方形，所以. 又，且平面， 根据线面垂直的判定定理，所以平面. (2) 【分析】（1）由条件可得 平面，再结合底面是正方形及线面垂直的判定定理可得； （2）先延长并交于点，进而可得平面平面，再过过作，连接，则就是平面与平面的夹角的平面角.在底面中，由余弦及正弦定理得，进而在直角中，得，最后在直角中用勾股定理及直角三角形的边角关系计算可得. 【详解】（1）略 （2）因为 ，且，所以四边形为直角梯形， 因此直线与直线必交于一点. 连接，过作，垂足为，连接，如图： 因为，所以平面，所以平面. 同理，平面，所以平面， 因此是平面与平面的公共点， 又因为点也平面与平面的公共点，所以平面平面. 因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理得，且，平面，平面， 因此就是平面与平面的夹角的平面角. 因为在中， ，且，所以是的中位线， 所以，在中，，如图： 由余弦定理， 解得， 又由正弦定理，得. 在直角中，，， 所以. 以在直角中，， 由勾股定理得， 所以. 因此，平面与平面夹角的余弦值为. 17．已知向量，满足 ， ，且，的夹角为. (1)求； (2)若，求实数 的值； (3)若向量与向量的夹角为锐角求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先计算，再利用模的公式计算即可； （2）根据垂直的数量积表示，列方程求参数即可； （3）由向量夹角为锐角，则，注意排除夹角为0的情况． 【详解】（1）， 则； （2）， ， 解得； （3）向量与向量的夹角为锐角， ， 解得或， 又无解，即向量与向量不共线， 故实数的取值范围为或． 18．在中，角，，的对边分别为 ， ，且. (1)求； (2)若的面积为且为锐角三角形，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】通过正弦定理边角互换将边长化成角度正弦值，再利用三角形内角和将角B换成A与C的关系化简即可； 通过面积公式可以将边计算出来，再利用正弦定理将周长用角度表示出来，通过角度的关系可以找出周长的范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，. （2）因为，所以， 由正弦定理有， ， ， 所以，因为，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以，所以， 因为在上为单调递减，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围为. 19．已知函数， (1)若，当时，求的最小值； (2)若，当时， （ⅰ）若函数的最小值为2，求的取值范围； （ⅱ）对于任意的，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用基本不等式进行求解即可； （2）（ⅰ）根据基本不等式、公式法解绝对值不等式，结合基本不等式取等条件分类讨论进行求解即可； （ⅱ）根据任意性的定义，结合复合函数的单调性的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，当且仅当时取等， 故当时，最小值为2． （2）（ⅰ）由，或， 即， ，当且仅当时取等号， 即当时，函数的最小值为2， 所以当时，方程有解， 即方程，或有解， 即或有解，当有解时，， 当有解，， 所以； （ⅱ）由题意得当时，，， ①当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，； ②当时，在上单调递减，单调递增． ，设表示中最大的数， ， 且，即， 解得，； ③当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， ； ④当时， ，符合题意； ⑤当时，在上单调递增， ，即，化简，得， 去分母，得， 解得，． 综上所述：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $