河南省2025-2026学年高一下学期期末模拟数学试卷（五）

**基本信息** 立足高一必修内容，以蜜桔质检统计分析、立体几何翻折探究等真实情境与动态问题，融合数学抽象、空间观念与数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、概率等|第3题结合运动会情境考查对立事件，体现应用意识| |多选|3/18|向量、正方体动态问题|第10题以正方体动点探究线面关系，发展空间观念| |填空|3/15|函数最值、向量投影|第14题函数零点问题，考查逻辑推理能力| |解答|5/77|统计、立体几何翻折等|16题蜜桔质检分析数据，17题翻折证明与体积计算，强化数学思维与建模能力|

2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（     ） A．小明只有一场比赛获奖 B．小明两场比赛均获奖 C．小明至多一场比赛获奖 D．小明两场比赛均未获奖 4．已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（     ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 5．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则 （    ） A． B． C． D． 8．若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．关于平面向量，下列说法正确的（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．如图，在棱长为2的正方体中，点 在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是（   ）    A．正方体的外接球表面积为 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．直线 平面 D．三棱锥 的体积随着点 的运动而变化 11．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（   ） A．函数的周期为4 B．函数在上单调递增 C．关于x的方程有且仅有2个不同的实根 D．当时， 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最大值为__________． 13．设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 14．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求 ． 16．台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这批蜜桔的平均质量； (3)若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 17．如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 18．记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ； (2)若，，求的面积． 19．已知函数． (1)当时，用定义法证明：是增函数； (2)当时，曲线与曲线的图象关于直线1对称，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高一期末模拟考试卷（五） 数学 考试范围：必修一、必修二；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的乘法运算先计算，再根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由， 所以复数在复平面内对应的点为位于第二象限. 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】借助并集与补集定义即可得. 【详解】由，则， 由，故. 3．学校举办运动会，小明仅参加了两场比赛，下列事件中与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的是（     ） A．小明只有一场比赛获奖 B．小明两场比赛均获奖 C．小明至多一场比赛获奖 D．小明两场比赛均未获奖 【答案】D 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】小明仅参加了两场比赛，情况如下： ①两次都获奖；②只有一次获奖；③两次均未获奖， 所以与事件“小明至少一场比赛获奖”互为对立的事件是“小明两场比赛均未获奖”. 4．已知球的半径为，球的一个截面圆的周长为，则球心到该截面所在平面的距离为（     ） A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 【答案】C 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】利用球心到截面的距离与球半径以及圆半径构造直角三角形，根据勾股定理解决问题． 【详解】因为截面圆的周长为，则，解得； 因为球半径，设球心到截面所在平面的距离为， 则，即，解得． 5．下列命题是假命题的为（    ） A．若，，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】判断命题的真假、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 6．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 7．已知，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】. 8．若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．关于平面向量，下列说法正确的（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【知识点】平面向量的概念与表示、相等向量、平行向量（共线向量） 【详解】对于A，向量既有大小，又有方向，因此向量不能比较大小，A错误； 对于B，相等向量是共线向量，B正确； 对于C，当时，可以是任意向量，因此不一定共线，C错误； 对于D，由，，得，D正确. 10．如图，在棱长为2的正方体中，点 在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是（   ）    A．正方体的外接球表面积为 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．直线 平面 D．三棱锥 的体积随着点 的运动而变化 【答案】BC 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求异面直线所成的角、证明线面平行 【分析】由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断A，由异面直线所成角的定义确定与的夹角范围判断B，根据线面平面平行的判定定理判断C，转换顶点后由三棱锥体积公式判断D． 【详解】正方体对角线长为，即为外接球直径，因此球半径为，球表面积为，A错； 正方体中与平行且相等，是平行四边形，， 是正三角形，与的夹角（锐角或直角）的范围是，因此B正确； 由上述知，而平面，平面，所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面，C正确； 由平面，因此到平面的距离不变，面积确定， 所以不变，D错． 11．已知函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，则（   ） A．函数的周期为4 B．函数在上单调递增 C．关于x的方程有且仅有2个不同的实根 D．当时， 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据给定条件，求出函数的周期判断A；利用周期及对称性确定单调性判断B；求出方程的根判断C；利用对称性求出解析式判断D. 【详解】对于A，由上的奇函数满足，得， 则，，因此函数的周期为4，A正确； 对于C，当时，，由是奇函数，则当时，单调递增， ，因此函数在上单调递增，， 由，得函数的图象关于直线对称，则在上单调递减，， 而函数的周期为4，则在上值域为， 当或时，，于是方程在上无解， 当时，由，得无解； 当时，，，由，得，解得； 当时，，由，得，解得； 显然函数的图象关于直线对称，当时，，， 由，得，于是，而此方程在上无解， 因此方程在各有一个解，C正确； 对于B，由选项C知，在上单调递减，由，得， 又周期为4，因此函数在上单调递减，B错误； 对于D，当时，，，D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 13．设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 【答案】 【知识点】已知数量积求模、求投影向量 【详解】因为在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以， 所以. 14．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】依题意作出函数的图象和值域，结合函数图象，根据函数与方程的关系，分类讨论解的个数，即可求解. 【详解】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为.    四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知向量，． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求 ． 【答案】(1) (2)． 【知识点】利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）根据平面向量夹角坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意得， ，， 所以与夹角的余弦值为． （2）， ， 因为， 所以， 得． 16．台州临海涌泉蜜桔，是浙江极具代表性的本土名优特产，果形饱满、风味清甜，深受市场青睐．为评估某蜜桔种植园的果品规格与整体品质，相关质检人员从园内全部8000颗涌泉蜜桔当中，随机挑选出100颗作为样本称重检测．所有样本的单果质量全部分布在区间内(单位：克)，将所得数据分成6组：，，，，，，并据此绘制得到频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这批蜜桔的平均质量； (3)若按质量由重到轻分为优等品、合格品和次品，其中优等品占10%，合格品占35%，次品占55%，则合格品的质量应不低于多少克？ 【答案】(1) (2) (3)95克 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】(1)根据频率之和为求得. (2)根据平均数的求法求得这批蜜桔的平均质量. (3)根据百分位数的求法求得合格品的质量的最小值. 【详解】（1）频率分布直方图中所有矩形的面积之和等于1，各组的组距均为10. 因此. 整理得，解得. （2）各组组中值依次为， 对应频率依次为. 因此. 据此估计这批蜜桔的平均质量为91.5克. （3）由题意，次品为质量较轻的前55%的数据，合格品的最低质量对应样本数据的第55百分位数. 各组累计频率：区间累计频率为，区间累计频率为， 区间累计频率为，区间累计频率为. 因此第55百分位数位于区间内， 设该百分位数为，则. 解得，即合格品的质量应不低于95克. 17．如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图1，在梯形中，取边的中点，连接. 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且， 所以平面 (2) (3)侧棱上不存在点，使得二面角的余弦值为. 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）先在等腰梯形中构造平行四边形，借助直角三角形斜边中线逆定理证得 ；翻折前后边长不变，结合的长度条件，用勾股定理逆定理证得 ；再依据线面垂直判定定理，证得平面； （2）先根据面面垂直的性质定理确定三棱锥的高线，算出高线长度与底面面积，再利用棱锥体积（底面积乘以高除以3）的公式求解体积即可； （3）先根据几何法作垂线构造二面角的平面角，引入参数表示动点对应的线段长度，结合相似三角形表示出平面角两条直角边长；再由已知二面角余弦值算出正切值，列方程求解参数，最后结合侧棱长度约束参数取值范围，判断点是否存在. 【详解】（1）略 （2）如图2，取棱的中点，连接， 由（1）可知平面，且平面，则平面平面， 因为，且为线段的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积. （3）假设存在满足条件的点. 如图2，作，垂足为，作，垂足为. 由（2）可知平面平面，又，且平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面，，所以平面. 因为平面，所以， 则为二面角的平面角. 由翻折知，，且， 在中，由余弦定理： ， 又，故， 设，在中： ， 因为，且， 所以，， 所以，则，故， 由题意可得， 所以， 因为平面，且平面，所以， 所以，则，解得，故. 因为侧棱线段总长，， 所以点落在的延长线上，线段上不存在满足条件的点， 所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为. 18．记的内角，，的对边分别为 ，， ，已知 ． (1)求角 ； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理与正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和化简求解； （2）利用余弦定理与面积公式，通过“和平方”将转化为，即可计算面积. 【详解】（1）已知， 由余弦定理，则， 代入可得：. 由正弦定理（为外接圆半径）， 可得，，， 代入上式得：， 整理得：， 根据两角和的正弦公式，即， 因为，所以得，解得， 又因为，所以. （2）已知，，， 由余弦定理，代入得， 所以， 则面积为：. 19．已知函数． (1)当时，用定义法证明：是增函数； (2)当时，曲线与曲线的图象关于直线1对称，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数对称性的应用、判断指数函数的单调性 【分析】（1）利用增函数的定义证明即可； （2）根据对称的性质可得与值域相同，且即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 任意取，且，则， 因为，，故， 所以是增函数． （2）因为曲线与曲线的图象关于直线1对称， 则与值域相同，所以， 由于曲线与曲线在处的函数值相同， 则，解得，， 故． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $