2027届高考数学一轮复习讲义-第七章课时4 空间点、线、面的位置关系

该高中数学讲义聚焦空间点线面位置关系高考核心考点，依据课标要求构建“平面基本性质—位置关系判定—异面直线应用”的知识体系，通过知识梳理表格化呈现、基础回顾分层检测、考点扫描例题精讲与对点训练的教学流程，帮助学生系统突破三种语言转换、共点共线共面证明等难点。 资料特色在于以正方体等模型为载体培养空间观念（数学眼光），通过反证法判定异面直线、平移法求线线角等策略训练逻辑推理（数学思维），设置基础判断、多选题、解答题等分层练习，确保高效突破考点，助力学生提升空间想象与推理论证能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

课时4 空间点、线、面的位置关系 一、课标要求 1．初步掌握三种语言：文字语言、符号语言、图形语言之间的转换． 2．从定义、公理和定理出发，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定． 3．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．能证明一些空间位置关系的简单命题． 二、知识梳理 1．平面的基本性质 基本事实 内容 图形 符号 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 用来确定一个平面 基本事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 用来证明直线在平面内　 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 ⇒α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线 a∥b，b∥c⇒ 用来证明两条直线平行 2． 空间中直线、平面位置关系 （1）两条直线的位置关系 位置关系 特　点 相交 同一平面内，有且只有 公共点 平行 同一平面内， 公共点 异面直线 不同在 内，没有 （2）直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 公共点 公共点 公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 （3）两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 有 个公共点(在一条直线上) 符号表示 图形表示 【拓展知识】 1．异面直线的判定方法 （1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线异面． （2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2．判断线、面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 书桌面是平面. （ ） （2） 两个平面相交，它们只有有限个公共点. （ ） （3）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. （ ） （4）圆心和圆上两点可确定一个平面. （ ） 2．用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，正确的是(　　) A.A∉m，m⊂α B.A∉m，m∈α C.A⊄m，m⊂α D.A⊄m，m∈α 3．（多选题） 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列结论正确的有(　　) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 4．如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，已知AB＝2，AD＝2，AA′＝2，则BC和A′C′所成角的大小是__ __，AA′和BC′所成角的大小是____． 四、考点扫描 考点一 共点、共线、共面问题 例1 如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，已知E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证： (1)D，B，F，E 四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R 三点共线． 规律方法： 对点训练 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，G，H分别在边BC，CD上，且. (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线. 考点二 空间位置关系的判断 例2（1） (2025·湖北华师一附中月考)已知a，b，c是三条不同的直线，有下列三个命题： ①若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线； ②若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； ③若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面. 其中，真命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 （2）（2025春·上海高考）如图，是正四棱台，则下列各组直线属于异面直线的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 规律方法： 对点训练（1）在底面圆半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则(　 　) A．AE＝CF，AC与EF是共面直线 B．AE≠CF，AC与EF是共面直线 C．AE＝CF，AC与EF是异面直线 D．AE≠CF，AC与EF是异面直线 （2）(多选题)(2025·重庆名校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，则当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线一定与直线OP异面的有(　　) A.AB1 B.A1C C.A1A D.AD1 考点三 求两条异面直线所成的角 例3 （1）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. （2）如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 规律方法： 对点训练 （1）如图组合体是由正四棱锥与正四棱台组合而成，，则PA与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． （2）在三棱锥P－ABC中，AC＝，BC＝1，PA＝PB＝PC＝AB＝2，M为棱AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的余弦值是__ __． 课时4 空间点、线、面的位置关系参考答案 二、知识梳理 1．A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使得A，B，C∈α 两点 A∈l，B∈l，且 A∈α， 有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β 平行 a∥c 2． （1）一个 没有 任何一个平面 公共点 （2） 无数个 一个 没有 （3）没有公共点 无数 α∥β α∩β＝l 三、基础回顾 1．（1）×【解析】平面是向四周无限延展的. （2）×【解析】有无数个公共点. （3）√【解析】过不共线三点，有且只有一个平面. （4）×【解析】三点共线时无法确定平面. 2．A 【解析】由题意用符号表示“点A不在直线m上，直线m在平面α内”，即A∉m，m⊂α.故选A. 3． CD【解析】因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误； 取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误； 因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确； 同理D正确．故选CD. 4．45°；60°【解析】　连接A′C′(图略)，因为BC∥B′C′，所以异面直线BC和A′C′所成的角即为直线B′C′和A′C′所成的角，为∠A′C′B′．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝AB＝2，B′C′＝AD＝2，所以tan ∠A′C′B′＝1，所以∠A′C′B′＝45°，即异面直线BC和A′C′所成的角为45°．连接BC′(图略)．因为AA′∥BB′，所以异面直线AA′和BC′所成的角即为直线BB′和BC′所成的角，为∠B′BC′．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，所以tan∠B′BC′＝，所以∠B′BC′＝60°，即异面直线AA′和BC′所成的角为60°． 四、考点扫描 例1 【证明】(1) 如图，连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1．在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD．所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β．因为QA1C1，所以Qα．又QEF，所以Qβ．则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，所以α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，所以RA1C．所以Rα，且Rβ，则RPQ．故P，Q，R 三点共线． 对点训练【证明】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以.在中，因为，所以，所以，所以.所以E，F，G，H四点共面. （2）因为，所以.由已知，得，，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC.同理，平面ADC，平面ADC.所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点.又平面平面，所以，所以P，A，C三点共线. 例2（1）　A【解析】对于①，若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c相交，不是异面直线，如图，故①为假命题； 对于②，若a和b相交，b和c相交，则a和c可能相交、平行、异面，故②为假命题； 对于③，若a和b共面，b和c共面，则a和c共面，错误，如上图，AA′(a)与AB(b)共面，AB(b)与BC(c)共面，但AA′(a)与BC(c)异面，故③为假命题.故真命题的个数为0.故选A. （2）D【解析】根据题意，依次分析选项：对于选项，因为是正四棱台，所以，故错误； 对于选项，棱台的侧棱延长后交于一点，所以与相交，故错误； 对于选项，同理，与也相交，所以，，，四点共面，所以与相交，故错误； 对于选项，与既不相交，也不平行，是异面直线，故正确．故选． 对点训练（1）D【解析】如图，由题意知，圆柱的轴截面ABCD为边长为2的正方形，E是的中点，F是AB的中点，所以AC⊂平面ABC，EF与平面ABC相交，且与AC无交点，所以AC与EF是异面直线．又CF＝＝，AE＝＝，所以AE≠CF．故选D. （2）BCD【解析】　对于选项A，如图①，连接AB1，C1D，BD， 图① 当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确； 对于选项B，如图②，连接A1C，A1C1，AC，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确； 图② 对于选项C，如图②，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C， 所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确； 图③ 对于选项D，如图③，连接AD1，D1C，AC，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确.故选BCD. 例3 （1）D【解析】连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连结A1C1.由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝，A1B＝BC1＝，故cos∠A1BC1＝＝，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D. （2） D【解析】如图，过点E作圆柱的母线，交下底面于点F，连接AF，易知F为的中点， 设四边形ABCD的边长为2，则EF＝2，AF＝，所以AE＝＝.连接ED，则ED＝.因为BC∥AD，所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角)．在△EAD中，cos∠EAD＝＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.故选D. 对点训练 （1）　A【解析】延长，，，，交于点Q，易知：， 故是正八面体，故，，∠APD即为所求异面直线所成角，余弦值为.故选A. （2） 【解析】　如图，取PC的中点D，连接MD，BD.因为M为AC的中点，所以DM∥PA，且DM＝PA＝1，所以∠DMB为异面直线BM与PA所成的角或其补角．在△ABC中，AC＝，BC＝1，AB＝2，所以AB2＝BC2＋AC2，则AC⊥BC．又AM＝MC＝AC＝，所以BM＝＝．在△PBC中，BC＝1，PB＝PC＝2，由余弦定理可得cos∠DCB＝＝．在△BDC中，DC＝BC＝1，由余弦定理可得BD2＝DC2＋BC2－2DC·BC·cos∠DCB＝1＋1－2×1×1×＝．在△BMD中，由余弦定理可得cos∠DMB＝＝＝，所以异面直线BM与PA所成角的余弦值为． . 学科网（北京）股份有限公司 $