第41讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦空间点、直线、平面位置关系这一高考核心模块，以基本事实及推论为基础，系统梳理共面共线共点证明、空间直线位置关系、异面直线所成角、线面角、二面角五大题型，通过基础回顾构建知识网络，题型精讲提炼方法策略，课时精练强化实战应用，形成完整复习链条。 资料突出数学思维与空间观念培养，如异面直线所成角采用“作、证、求”三步法，二面角结合定义法与面积射影法训练推理能力。设置分层练习适配不同学情，助力教师精准把握复习节奏，有效提升学生空间想象与解题规范，为高考立体几何突破提供有力支撑。

第41讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 题型一 共面、共线、共点问题的证明 3 题型二 空间两条直线的位置关系 13 题型三 异面直线所成的角 19 题型四 线面角的计算 27 题型五 二面角的计算 35 课时精练 43 【基础回顾】 知识点1．与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l (2)基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点2．空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a⊂ 3．基本事实4和等角定理 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：（0，]. 5．线面角 线面角是斜线与平面中其射影所成的锐角（范围：，斜线与平面垂直时角为，直线在平面内或平行于平面时角为）． 6．二面角 在二面角的棱上取一特殊点（如中点、端点），过该点分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（或其补角）即为二面角的平面角（范围：）． 【必备知识】 1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3． 2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 题型一 共面、共线、共点问题的证明 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【例题精讲】 1．如图，在长方体中，E，F，G分别为棱AB，BC，的中点，点K在棱上．以下说法正确的是（   ） A．若四点共面，则直线，三线共点 B．，使得直线平面 C．，直线与直线异面 D．与三直线，，同时相交的直线有无数条 【答案】D 【分析】对于A，B选项，分别取，的中点，连接，，取为的中点，可得六点共面，即可判断；对于C，取的中点，的中点，的中点为，可得四点共面即可判断；对于D，在上任取一点且点异于点，过作平行于，与交于，连接，可得四点共面，则与平面有一个交点连接，可得与直线，，三条线同时相交即可判断选项. 【详解】分别取，的中点， 连接，， 取为的中点， 此时易得， 所以六点共面， 因为平面，直线， 所以与直线为异面直线，则直线，不共点，故A错误； 对于B，假设直线平面，则五点共面， 由A选项可得为的中点，不在平面内，所以假设不成立，即不存在，使得直线平面； 对于C，取的中点，的中点，的中点为 所以， 由中位线的性质可知， 所以，则四点共面，所以直线与直线不是异面直线， 即当为靠近点的四等分点，四点共面，直线与直线不是异面直线，故C错误； 对于D，在上任取一点且点异于点，过作平行于，与交于，连接， 所以，则四点共面， 则与平面不平行，不在平面内，所以与平面有一个交点 连接，延长则与相交，所以与直线，，三条线同时相交， 由于上异于的点有无数个，则与三直线，，同时相交的直线有无数条，故D正确. 2．在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线性质与平行线分线段成比例定理证明且长度不等，得与共面且相交，再结合平面交线的公理判断交点位置. 【详解】连接、： 因为、分别为、的中点，由三角形中位线定理得：，且. 在中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理得：，且. 判断与的位置关系： 由且，可知四边形为梯形，、为梯形两腰，必相交且共面，故A（平行）、B（异面）错误. 判断交点的位置： 设，因为平面，故平面；又平面，故平面. 平面与平面的交线为，根据公理3：两个不重合的平面若有公共点，则所有公共点都在它们的交线上，可得，即交点一定在直线上，故C错误，D正确. 3．如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 【答案】D 【详解】连接．因为平面， 所以平面．又因为平面， 所以点在平面与平面的交线上， 即三点共线，故A正确； 因为，所以四点共面，又因为三点共线， 所以四点共面，四点共面，故B，C正确； 因为平面，平面， 所以四点不共面，D错误． 4．如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，，三点都在平面与平面的交线上，可判断（1）；由平面，可判断（2）；由，可判断（3）. 【详解】因为，直线平面， ，直线平面， 所以是平面与平面的一个公共点， 所以在平面与平面的交线上， 同理可证，也在平面与平面的交线上， 所以三点共线，所以（1）正确； 平面，所以（2）错误； 由于，所以（3）错误. 故选：B. 5．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 6．在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（   ） A．四点共面 B．三线共点 C．与是异面直线 D．与是相交直线 【答案】D 【分析】根据已知证明即可判断A，利用平面的基本性质证明共点判断B，应用异面直线的定义判断C、D. 【详解】由分别为和的中点，则， 而，故为平行四边形， 所以，则，故四点共面，A对， 由A知与共面，且，，所以与必交于一点， 若，即，而平面，则平面， 由，平面，则平面， 由平面平面，故， 综上，三线共点，B对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，C对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，D错. 7．如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 【答案】D 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确. 8．（多选）如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 【答案】BCD 【分析】根据线线平行得出平行四边形及菱形判断A，B，根据平行得出四点共面判断C，应用平面的基本性质得出三线共点判断D. 【详解】因为分别是的中点，所以， 当时，，所以， 四边形是一个平行四边形，且，易得， 所以四边形是一个菱形，则， 不能得出四边形是一个正方形，所以A错误，B正确； 对于C，当时，，，则， 所以四点共面，C正确； 对于D，当时，，但，而， 所以但不相等，所以四边形是一个梯形， 假设相交于点，因为平面，平面， 又平面平面，所以， 从而可得直线相交于一点，D正确，故选：BCD. 9．（多选）如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． 平面 C．与是异面直线 D．直线，，相交于一点 【答案】BCD 【分析】根据点，线，面的关系即可判断选项A；根据线面平行的判定即可判断选项B；先证明，，，四点共面，进而即可判断选项C；设，再证明是否在直线上，进而即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得，，平面，且，，三点不共线，而平面， 所以，，，四点不共面，故A错误； 对于B，因为，分别为棱，的中点，所以，且 ， 又平面，而平面，所以 平面，故B正确； 对于C，因为点，分别在棱，上，且，， 所以，且 ，所以，且 ，所以，，，四点共面， 又平面，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，因为，，，四点共面，且显然不平行，所以相交， 设，又平面，平面，所以平面，且平面， 又平面平面，所以，所以直线，，相交于一点，故D正确． 10．（多选）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D．在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 【答案】ABC 【分析】对于A，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于B，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于C，先考虑侧面，再考虑两个底面；对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条直线. 【详解】对于A，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以四点共面，故A正确； 对于B，如图，延长，相交于点， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面， 所以，所以三线共点，故B正确； 对于C，先考虑侧面，3个侧面将空间分为7部分，再考虑两个底面，两个底面切割后将空间分为个部分，C正确； 对于D，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一条经过重心且垂直于平面的直线，D错误. 题型二 空间两条直线的位置关系 空间两条直线位置关系的判定方法和技巧 【例题精讲】 1．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则与一定相交 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则与是异面直线 【答案】B 【分析】根据空间中线面、面面位置关系的定义和判定定理，逐一分析每个选项. 【详解】对于A，当时，因为，，可得，即与不相交，A错误； 对于B，因，，则与没有公共点，则有，B正确； 对于C，由，可得或，故C错误； 对于D，若，则无公共点，即或与是异面直线，故D错误. 2．过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（    ） A．173对 B．174对 C．183对 D．186对 【答案】B 【分析】使用“正难则反”的原则，从总数中剔除所有相交和平行的共面情况即可求解. 【详解】从正方体的8个顶点中任取4个顶点，共有种取法， 每4个顶点可分为共面与不共面两种情况， 其中共面的情况包括6个表面和6个对角面共12种情况， 此外，每组不共面的4个点构成的四面体中，均有3组异面直线， 所以共有对不同的异面直线． 3．三棱柱的9条棱所在的直线中，与直线是异面直线的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】三棱柱如图， 与直线是异面直线的直线为，，共2条. 4．在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，平面， 点直线，点直线，因此直线与直线互为异面直线，A是； 对于B，，直线与直线是相交直线，B不是； 对于C，连接，由，得四边形是平行四边形，直线与直线是相交直线，C不是； 对于D，由选项C，同理得直线与直线是相交直线，D不是. 5．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ） ①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用展开图还原为正方体，找重合的点与重合的棱，根据立体图形判断即可． 【详解】 由图可知，还原正方体后，点C与G重合，点F与B重合，则，故①正确； 可知CD与EF是平行直线，即共面直线，故②正确； AB与EF是相交直线，故③错误；GH与EF是异面直线，故④正确． 6．如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E，F，G，H四点共面 B．与FH是异面直线 C． D．EG，FH，三线共点 【答案】C 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；举反例即可判断C；利用平面的基本事实推理判断D. 【详解】 对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接，由是的中位线，得，由，且，得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，，所以与是异面直线，B正确； 对于C，由，且可知，四边形是梯形，若 ，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出，C错误； 对于D，延长，相交于点，由，平面，得平面，由，平面，得平面，而平面平面，则，三线共点，D正确. 7．如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据异面直线的定义判断ABD；根据线线平行可证四点共面，即可判断C. 【详解】由图可知：直线、直线、直线均与直线异面，故ABD错误； 连接，    由题意可知：，，则， 可知四点共面，所以直线与直线不是异面直线，故C正确. 8．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则图中的所在直线互为异面直线的有________对． 【答案】 【详解】将该正方体的展开图还原，如图所示 由图可得与互为异面直线，与互为异面直线，共对. 9．如图，正方体的棱长为1，过A点作平面的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①与是异面直线；②AH垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】由异面直线的定义可以判断①；证明平面平面，即可证得AH垂直于平面，即可判断②；易证平面，由线面垂直可得线线垂直，即可判断③. 【详解】由与既不平行，也不相交，不同在任何一个平面内，所以是异面直线，①正确； 由，平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，可得平面平面， 因为AH垂直于平面，所以AH垂直于平面，②正确； 连接，因为四边形为正方形，所以， 由正方体可得平面，平面，则， 又，所以平面，又平面， 所以，因此直线与直线所成的角是90°，③正确. 10．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： ①直线与直线的位置关系是______； ②直线与直线的位置关系是______； ③直线与直线的位置关系是______； ④直线与平面的位置关系是______. ⑤直线与平面的位置关系是______. 【答案】 平行 异面 相交 垂直 平行 【详解】对于①，长方体中，// // ，且， 所以四边形是平行四边形，所以直线与直线的位置关系是平行； 对于②，由①知，// ，由于过一点作已知直线的平行线，有且只有一条，所以直线与直线不平行， 直线平面，直线平面，且， 所以直线与直线不相交，所以直线与直线的位置关系是异面； 对于③，直线与直线有公共点，所以其位置关系是相交； 对于④，因为平面，所以平面. 即直线与平面的位置关系是垂直. 对于⑤，因为直线// ，平面，平面， 所以直线// 平面，即直线与平面的位置关系是平行. 题型三 异面直线所成的角 求异面直线所成角的步骤 (1)作：通过作平行线得到相交直线． (2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)． (3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 【例题精讲】 1．已知直线为两条不重合的直线，若与正方体的各棱所成的角相等，则“与正方体的各棱所成的角相等”是“ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】直线与正方体的各棱所成的角相等， 则它必与同一顶点出发的三条棱所成的角相等，显然正方体的体对角线满足条件. 当时，由等角定理可知结论成立，即必要性成立， 因正方体的四条体对角线交于同一点，故得不出，充分性不成立. 即“与正方体的各棱所成的角相等”是“”的必要不充分条件. 2．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过中位线得到异面直线与所成角的平面角，根据题意结合余弦定理即可求解；或者将三棱锥扩充为正方体，得到异面直线与所成角的平面角，根据正方体的性质即可求解. 【详解】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，，则， ，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，， ， 在中，由余弦定理可得，， 由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角， 因为为等边三角形，所以直线与所成角为， 即直线与所成角的余弦值为，故D正确. 3．2022年北京冬奥会的“雪如意”跳台滑雪中心的赛道可抽象为如下几何模型：底面是边长为2的正三角形的三棱锥，其中平面．施工人员需要在上取中点，在上取中点，搭建辅助支撑钢架，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，分析可得（或其补角）即为和所成的角，进而求解即可. 【详解】取的中点，连接，， 因为是的中点，所以，且， 因为是的中点，所以，且， 所以（或其补角）即为和所成的角， 因为平面，所以平面，而平面， 所以，所以，故， 则直线与所成角的余弦值为. 4．图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，求得，得到正三棱柱的体积为，利用导数求得，求得的单调性，得到时，取得最大值，结合异面直线所成角的求法，即可求解. 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为， 则，所以，其中，解得， 所以正三棱柱的体积为： ， 可得 令，即，解得或， 因为，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，此时， 在直角中，可得， 连接，可得， 在正三棱柱中，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 5．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 6．在工业级3D打印与航天精密构件设计中，圆锥结构常作为支撑部件．现有一个高为3的圆锥，其顶点为，底面圆的圆心为，半径为2，若、两点在底面圆周上，，为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，首先证明或其补角即为直线与直线所成的角，然后利用平面几何知识计算出和即可得出答案. 【详解】取的中点，连接，因为为的中点，所以， 所以或其补角即为直线与直线所成的角， 因为，，，平面，所以平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，，， 所以. 7．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 8．在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】/ 【详解】在三棱柱中，， 所以异面直线与所成的角即或其补角， 因为，，所以， 因为，，，平面，平面， 所以平面，又，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为异面直线所成角的范围是， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 9．四个同样大小的球两两相切，点是球上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为四个同样大小的球两两相切， 所以四点恰为正四面体的四个顶点，且正四面体的棱长为球的直径，设为. 在正四面体中，过作底面，则为底面中心.如图， 由，平面，可得平面. 所以. 当在直线上时，，即直线与直线所成角为， 此时直线与直线所成夹角最大，所以余弦值最小，为0； 作，则， 在平面内，过作球的切线，设切点为此时最大， 因为，所以， 所以最小，为，即直线与直线所成的最小角为，此时余弦值最大，为. 所以直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 故答案为：. 10．如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________． 【答案】 【分析】根据已知条件建立空间直角坐标系，再利用已知条件结合直三棱柱的性质得出相关点坐标，进而得出的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式求解． 【详解】三棱柱是直三棱柱，，， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系， ，分别是的中点，令，则 ， ， ． 与所成角的余弦值为． 故答案为：． 题型四 线面角的计算 步骤： 作：过斜线上一点（非斜足）作平面的垂线，垂足为射影的端点； 连：连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影； 算：斜线与射影的夹角即为线面角，在含该角的直角三角形中，利用三角函数（正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边）求解． 【例题精讲】 1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，， 取的中点，连接， 是中点，是中点， ， 底面，故底面， 是在底面的射影，是直线与底面所成角，    则，，， 底面，底面， ，即是直角三角形， ． 2．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正三棱台的上下底面的中心分别为，证得平面，得到为直线与底面所成的角，求得正三棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】设正三棱台的上下底面等边三角形的中心分别为, 分别连接，过作的垂线，垂足为，则， 因为平面，所以平面， 所以为直线与底面所成的角，所以， 因为正三棱台的上下底面的面积分别为和， 即等边的边长为，等边的边长为， 可得，所以， 因为，可得，所以， 即正三棱台的高， 所以正三棱台的体积为. 3．在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将该正三棱台补成一个正四面体，进而补成正方体，结合等体积法求解即可. 【详解】由题意可将该正三棱台补成一个正四面体，平面即为平面． 正四面体进一步又可以放到一个正方体内研究， 设正方体棱长为2，， 设点到平面的距离为，则， 所以，则. 设与平面所成角为，则． 4．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为圆锥底面直径,且，则是圆锥底面的圆心. 是圆锥的高，即圆锥底面，因此在底面的射影为， 所以与圆锥底面所成角为. 由题设，且，则是等腰直角三角形， 可得，即与圆锥底面所成角为 5．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用线面平行的判定及线面角的定义求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则， 由分别是的中点，得， 则四边形是平行四边形，，而平面，平面， 因此平面，所以直线与平面所成的角为. 6．已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面得到，由题中条件得到为的中点，从而得到三棱锥中和均为直角三角形，继而得到三棱锥的外接球是以为直径，为球心，利用三棱锥体积相等求解即可得到截面圆的半径，利用圆的面积求解即可. 【详解】平面，若直线与底面的夹角为，， ，， 为的中点，四边形是平行四边形，为的中点， ，，， ，，， 三棱锥中和均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径为， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， ， ，， ，， 截面半径，则截面面积为. 7．如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，由线面角的定义可得就是直线与平面所成的角，计算得解. 【详解】如图， 过点作，垂足为， 因为是的中点，所以，又平面，平面， 所以， 平面，，所以平面， 所以， 又平面，，所以平面， 连接，则就是直线与平面所成的角. 设，则，， 由，则，得， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 8．已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】设圆锥的侧面积为，底面半径为，母线长为，由等面积法可得该圆锥的内切球半径，结合圆锥侧面积可得，记为定值，进而得到，结合基本不等式可得，进而求解即可. 【详解】设圆锥的侧面积为，底面半径为，母线长为，    由，可得， 而圆锥侧面积为，即，记为定值， 则 ， 当且仅当，即，即时等号成立，此时， 所以圆锥的内切球体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为． 9．在三棱锥中，直线平面，，．设直线与平面所成的角为，则的最小值为______； 【答案】/ 【分析】先根据线面角的定义找出直线 与平面 所成的角 ，再结合线面垂直的性质将 转化为线段比的形式，接着在 中利用正弦定理建立线段间的关系，最后结合三角函数的有界性求出 的最小值. 【详解】 因为 平面 ，所以 是斜线 在平面 内的射影； 因为直线 与平面 所成的角 ，且， 在 中，， 设 ，则 ，其中 ， 在 中，由正弦定理，，即， 所以， 所以， 因为，则当 时，取得最大值1，此时 取得最小值. 10．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 【答案】 【分析】过点B作于点P，连接，可证平面，即就是与截面所成的角，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点B作于点P，连接， 因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，即就是与截面所成的角， ，因为， ， 所以，整理得，得． 题型五 二面角的计算 定义法：在二面角的棱上取一特殊点（如中点、端点），过该点分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（或其补角）即为二面角的平面角（范围：）． 垂线法（三垂线定理法）：过一个平面内一点作另一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上垂足，所得角即为二面角的平面角（利用三垂线定理：平面内的直线垂直于斜线的射影，则垂直于斜线）． 面积射影法：若一个平面内的多边形在另一个平面内的射影面积为，原多边形面积为S，则二面角满足（适用于多边形面积易求的情况）． 【例题精讲】 1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】如图所示，连接交于点，则为正方形的中心. 连接，则平面，所以. 取的中点，连接， 则，且. 因为平面，所以. 由，得； 所以为侧面与底面所成二面角的平面角. 所以. 2．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，根据等边三角形的性质可得，，进而可得即为二面角的平面角，在中，利用余弦定理即可求解. 【详解】取的中点，连接， 因为四面体是正四面体，所以和都是等边三角形， 所以，， 因为平面，平面，平面平面， 所以即为二面角的平面角， 设，则在中，，， 由余弦定理可得 所以二面角的余弦值是. 3．已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥，当平面平面时，二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面角的做法，作出角，构造三角形，在三角形中解三角形计算夹角． 【详解】 取AC的中点O，连接BO，，取中点M，连接AM，CM； 因为为菱形且，故与均为等边三角形； 变换之后与为等边三角形； 因为O为AC中点，故，； 故二面角的平面角为； 其中； 在中，由余弦定理可知： ； 根据原图可知，故，； 因为，故，故； 因为平面平面，故； 则在中，； 则；故； 代入计算可得：； 二面角的余弦值为． 4．在棱长为2的正四面体中，动点分别在棱上，且二面角的大小恒为，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用二面角的大小恒为得到三者的关系，从而得到三棱锥的体积的表达式，再计算出三棱锥体积的最大值. 【详解】 如图所示，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，那么 设那么 ， 设平面法向量为，则 取,则向量为平面的一个法向量， 取向量为平面的法向量，则 化简，得 ， ， 当时， 由于点与点在上运动，根据对称性可知在时最大，不妨设, 则, 当时，取得最大值 当时， 由于点与点在上运动，根据对称性可知在时最大，不妨设, 则, 当时，取得最大值,由于，故不符合舍去; 综上，三棱锥体积的最大值为. 5．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图像，取AB中点为C，连接OC，即为二面角的平面角，为60°，根据几何关系求出OB和PB即可求圆锥的侧面积. 【详解】如图， 作，则C为中点， ∵PB＝PA，∴， ∴为二面角的平面角， ∴. 在中，，， ∴. 在直角中，，， ∴. 在中，. ∴圆锥的侧面积为. 6．如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作辅助线，设，根据题意分析可知，，，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】如图，设的中点为，连接，，则，， 因为是三棱锥外接球的直径，则， 且，，则，可得， 则，可知二面角的平面角为， 设，则，， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 7．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设E为AC的中点，连接BE，DE，利用线面垂直的判定、勾股定理及面面垂直判定可得面平面，结合已知条件有为等腰直角三角形，进而可确定四面体外接球球心的位置，过点E作交OC于点F，易知即为二面角的平面角，即可求其正切值. 【详解】设E为AC的中点，连接BE，DE. 因为为等边三角形， 所以，又，且，BE，平面， 所以平面， 又平面，即， 由题意易知，，，又， 所以. 因为，所以， 即，又，AC，平面， 所以平面，而平面，则平面平面， 又，则，故为等腰直角三角形. 综上，四面体的球心O为的中心，即在线段BE靠近E的三等分点处. 过点E作交OC于点F，连接DF，则即为二面角的平面角. 在中，，，可求得，又， 所以. 8．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为__________. 【答案】 【分析】根据题意，证得平面，得到，由侧面与底面的夹角为，得到，结合，求得，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设正四棱台的上、下底面中心分别为，连接，则 平面， 取的中点，连接， 可得，且， 过作交于，则 平面， 又因为平面，则， 因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 由侧面与底面的夹角为，则， 又因为，则，， 由，得到，即， 又由且， 所以四棱台的体积为. 9．将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 【答案】 【详解】如图，取中点，连接，则，，所以是所求二面角的平面角， 因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，即二面角的大小为. 10．三棱锥中，、、与底面所成的线面角相等，二面角、、的大小也相等，且，，则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【分析】若平面，利用已知线面角、面面角的关系确定是的外心和内心，进而得到三棱锥是正三棱锥，应用外接球半径与棱锥高、底面三角形外接圆半径的关系列方程求外接球半径，即可得. 【详解】若平面，连接，即， 而，则， 所以是的外心，同上分析可得， 由平面，平面，平面，则， 若，且， 而平面，平面，平面， 所以平面，平面，平面，即， 所以，则， 所以是的内心， 综上，是等边三角形，该三棱锥是正三棱锥， 所以外接球球心落在过的高线上， 若棱锥的外接球半径为，的外接圆的半径为，则， 所以，而，则，， 所以，则三棱锥的外接球体积为. 课时精练 一、单选题 1．已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. 2．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【分析】A. 由点M与点D重合时判断；B.由点M与点重合时判断；C.由垂直于同一平面的两条直线平行判断；D.先证平面平面，再由平面判断. 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且， 所以平面，又平面，所以， 同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 3．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用异面直线的定义依次判断选项即可. 【详解】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 4．在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设大半圆半径为，小半圆半径为，圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为，由题意求得，，过作垂直，可得底面圆，是母线与底面所成角，进而求解即可. 【详解】设大半圆半径为，小半圆半径为，则， 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为， 将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长，对应圆台底面周长， 所以，则；小弧长对应顶面周长，所以，则， 圆台母线长，过作垂直，则，所以底面圆， 则母线与底面所成角为，底面与顶面半径差为， 在直角三角形中，，所以， 所以，即母线与底面所成角的度数是． 5．如图，在正方形中，E，F是的两个三等分点，将该正方形折成一个正三棱柱（与重合），则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用折叠后正三棱柱的几何关系建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而得到直线方向向量与平面法向量，通过向量夹角公式计算线面角的正弦值. 【详解】如图1所示，沿着，两条折痕将正方形折叠成正三棱柱， 如图2所示，E，F是的两个三等分点，折叠后，分别为的三等分点，设，所以，，， 如图3所示，作，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 作轴，因为，，所以，所以，，， 所以，，， 设平面的法向量，所以，不妨取， 所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为 6．已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出二面角的平面角，根据最小角定理，利用线面角求最小值即可. 【详解】过作，垂足为，于，连接，如图， 则，平面， 所以平面，平面，所以, 所以为二面角的平面角，故， 由最小角定理知，当为与所成线面角时，最小， 此时，重合，取得最小值， 设，则，又，则， 所以，即的最小值为. 7．若正三棱台的体积为，的面积为，，则侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱台的概念，将正三棱台补成正三棱锥，结合棱台的体积公式，计算棱锥的有关量，再结合线面角的概念，明确侧棱与底面所成的角，利用三角形的边角关系求其正切值. 【详解】如图1，设正三棱台三侧棱的延长线交于点，则三棱锥为正三棱锥， 过作平面于，交平面于，连接， 由，则. 又，则 ，则棱台体积，解得， 则. 设的边长为，则，解得， 由三棱锥为正三棱锥，得是的中心， 由平面，得为侧棱与底面所成的角， 所以. 故选：D 8．我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，，，要使三棱锥恰好是一个“鳖臑”， 则有，，由，，可得二面角的平面角 为，在中，． 二、多选题 9．（多选）如图，在该九面体中，六边形是边长为2的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B．该九面体的表面积为 C．该九面体外接球的体积为 D．二面角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据九面体的几何性质，结合已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，通过向量与平面法向量的数量积为0，结合线面平行判定定理判断选项A；根据九面体各面的性质，结合余弦定理和三角形面积公式计算判断选项B；根据外接球的性质求出外接球半径，再利用球的体积公式计算判断选项C；求出两个面的法向量，利用向量夹角余弦公式计算判断选项D． 【详解】取中点，中点，连接， 已知，均为正三角形，故，， 且平面，平面均垂直于平面， 平面平面，平面，所以平面， 平面平面，平面，所以平面， 所以，由已知， 取中点，则是正六边形的中心， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ， 平面的法向量为， ，且平面， 平面，故A正确； 底面正六边形的面积； 两个正三角形，的面积； 四个全等斜三角形： ， 由余弦定理， 由，则， ， 合计； 两个全等斜三角形： ， 由余弦定理， 由，则， ， 合计， 该九面体的表面积为：，故B正确； 由对称性，外接球球心位于轴上，设为， 球心到的距离：， 球心到的距离：， 联立方程，解得， 则， 外接球的体积为，故C错误； ，设平面法向量为， 则，令，则， ，设平面法向量为， 则，令，则， 设二面角为，则 ， ，故D正确． 10．（多选）已知在矩形中，，将沿折叠至，设球为三棱锥的外接球，则（   ） A．若平面平面，则三棱锥的体积为 B．球的半径为1 C．若与所成的角的正切值为，则二面角的大小为 D．直线被球所截得的线段长度的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据面面垂直的性质求出三棱锥的高，进而求出体积；对于选项B，利用矩形的性质确定外接球的半径；对于选项C，通过线面角找到二面角的平面角利用余弦定理计算；对于选项D，根据球的性质求出直线被球所截得的线段长度的取值范围. 【详解】选项A，在矩形中，，， 则 . 作垂直于点垂直于点， 在中，， 同时 ，可得. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为， 所以三棱锥的体积，故A错误； 选项B，在矩形中，为对角线，的中点到 的距离均为 . 折叠后，是直角三角形，的中点到的距离也为 ， 所以的中点就是三棱锥的外接球的球心，球的半径，故B正确； 选项C，因为，所以，则， 取，且，连接， 则与所成的角即为， 即为二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以，故C正确. 选项D，、均在球上，故直线被球截得的线段即为本身， 当在点时，，当在点时， . 因为不能落在平面上，所以，故D正确. 11．（多选）已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．与是异面直线 B．侧棱与底面的夹角正弦值为 C．平面平面 D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 【答案】ABD 【分析】由异面直线判定定理可判断A，通过平面于上的点，于点， 结合底面与侧面所成角即可判断B，通过平面平面得到，可判断C，记上下底面中心分别为，通 过且垂直于的平面截该棱台得一等腰梯形，结合这个截面图形即可判断D. 【详解】对于A，因为平面， 平面，故与是异面直线，A正确， 对于B，由正四棱台，可知在底面的投影在对角线上， 如图，作于上的点，则平面， 再作于点， 因为平面，平面， 则，由平面，， 则平面，又平面， 则，则即为正四棱台侧面与底面夹角， 不妨设，则， 侧面与底面所成夹角的平面角， 故，， 所以，B正确； 对于C，若平面平面， 由面面平行的性质定理可得：， 又， 则四边形为平行四边形， 则，又为的中点， 所以，从已知条件中无法得到这个信息，故平面平面不成立，故C错误， 对于D，先将问题转化为平面几何问题： 记上下底面中心分别为， 过且垂直于的平面截该棱台得一等腰梯形，其一半为如图所示直角梯形， 若存在球与该正四棱台每个面都相切，不妨记该内切球球心为，半径为， 因为正四棱台侧面与底面夹角为，即， 由，得， ，又， 即，解得，D正确． 三、填空题 12．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 【答案】 【分析】取上下底面对应边的中点，构造侧面与底面所成二面角的平面角，求出侧面等腰梯形的高，结合面积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心分别为， 取的中点，的中点， 连接. 由正棱台的性质可知， 平面，，， 且四点共面. 过作于点， 则平面，且. 因为，，，所以平面， 又平面， 所以. 同理. 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角， 由题意可知. 因为， 所以，， 又四边形为矩形， 所以. 所以， 在中，， 即侧面等腰梯形的高为. 上底面面积为，下底面面积为， 侧面积为， 所以该棱台的表面积. 13．在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 【答案】 【分析】法一在正四棱台中，由异面直线所成角可得，再根据面面角定义计算求解即可，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用二面角的向量求法并结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】法一：在正四棱台中，， 因为，，所以为异面直线与所成的角， 即，过点作平面的垂线，垂足为， 作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示： 由正四棱台性质可知，点在线段上，， 所以，，， 由二面角定义可知即为二面角的平面角， 而，故. 法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心，上底面中心， 以为原点，建立空间直角坐标系，设正四棱台的高为， 由题意得，，则，， ，，则，， 因为异面直线与所成角为， 所以，解得， 由题意得面的法向量为， 则，，， 设面的法向量为， 则，令，解得，， 得到，由图可知，是锐角，则， 由已知得，由同角三角函数的基本关系得， 故. 14．庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.若，，四个侧面与底面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为______，与平面所成的角的正弦值为______. 【答案】 120 【分析】根据两个平面的夹角可得，进而可求解长度，将五面体分割成棱柱和棱锥，即可由体积公式求解，根据线面角的定义以及三角形的边角关系，即可求解正弦值. 【详解】取的中点，连接， 过点作平面于点，过点作平面于点， 作，与相交于点，作，与相交于点，连接， 因为底面是矩形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以， 因为梯形与梯形是两个全等的等腰梯形，为全等的三角形， 所以点在直线上，且，, ，， 所以为平面与平面所成的角，故, 由于平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以为平面与平面所成的角，故, 进而可得, 所以. 则直三棱柱的体积, 四棱锥的体积为, 根据对称性可得四棱锥的体积也是24， 故该五面体的体积为. 由于平面，故即为与平面所成的角， 故 四、解答题 15．如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且.    (1)证明：四点共面； (2)设平面与棱的交点为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，用基底向量表示向量，进而可得四点共面；解法二：构造平面，再证明平面与棱的交点与重合，进而可得四点共面； （2）解法一：直接用向量的方法求点到面的距离可得；解法二：用等体积法求点到面的距离可得. 【详解】（1）解法一：在正方体中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 则， 于是，且向量不共线，           所以向量共面，又向量有公共点， 所以四点共面.   解法二：延长交于点，连接交于点， 因为，所以，且， 所以，所以，所以点与点重合， 故四点共面.    （2）解法一：设，则，由点平面，得， 即， 得，解得，，，即. ，而，则，，           设平面的法向量，则，即， 令，则，所以.          设点到平面的距离为， 则，所以点到平面的距离为. 解法二：等体积法，连接，设点到平面的距离为，如图：    由解法一知， 所以 ， . 由，所以，， 解得，点到平面的距离为. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是，的中点，点在棱上. (1)若，，，四点共面，求的值； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量共线和四点共面建立关于参数的方程并求解判断线段比例； （2）求解两个面的向量法进而求空间角的余弦值，进而建立关于的方程求解即可. 【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直. 在平面内作，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，则，，，，， ，，. 又，分别为，的中点，，. 设平面的法向量为， 则,可取. 又，，共面，，即，解得. . （2），. 设平面的法向量为， 则,可取. 设平面与平面的夹角为， 则， 整理得，解得， . 17．如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形， 是上的点，且，平面平面. (1)证明：四点共面； (2)设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合已知条件证明即可； （2）（i）求证和都是直角三角形，即可找到球心，再以为原点建系，利用向量计算点到平面的距离； （ii）先找出点的位置，再计算平面的法向量，利用向量计算线面角. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以 ， 又因为 ，所以四边形是正方形， 所以 ，所以， 所以四点共面. （2）（i）因为，平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 因为，所以平面，同理可得，平面， 因为平面，平面，所以，， 所以和都是直角三角形， 所以的中点就是球心， 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的一个法向量， 所以，令，所以， 所以， 所以点到平面的距离为. （ii）当三点共线时，球面上点到点的距离最小， 因为，所以球的半径，分别取中点， 则， 所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 由（i）知平面的一个法向量， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 18．如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））． (1)求证：； (2)若，，求直线与平面所成的角的正弦值； (3)设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)相交，理由见解析 【分析】（1）先证平面，即可得证线线垂直； （2）由所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后由空间向量法求线面角即可； （3）利用作图法来判断与平面相交． 【详解】（1），平面， 平面， 平面 （2）是等腰直角三角形且，则到的距离为2， ，所以，可由所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图），设，结合图（1）得 ， 设面的法向量， 令， 设直线与平面所成角为， ， （3） 延长交于点，连接，因为平面，所以平面， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，平面，所以平面平面， 由平面平面，即， 因为平面，所以与平面相交. 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，AC与BD交于点O．    (1)求证：平面ABCD； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 【答案】(1)因为底面是菱形，， 所以为等边三角形，，，， 又，为中点， 故，， 已知，则， 则，故，           因为，平面， 所以平面． (2)． 【分析】（1）利用线面垂直的判定条件即可证明； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，通过求出两个平面的法向量即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知    两两垂直，以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系．    如图所示，则，，，，， 设平面的法向量为， ，， 则，即，令，得，     设平面的法向量为， ，， 则，即，令，得， 设平面与平面的夹角为，且为锐角， 则， 所以，平面与平面的夹角的余弦值为． 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $ 第41讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 题型一 共面、共线、共点问题的证明 3 题型二 空间两条直线的位置关系 6 题型三 异面直线所成的角 8 题型四 线面角的计算 10 题型五 二面角的计算 12 课时精练 13 【基础回顾】 知识点1．与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l (2)基本事实1的三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 知识点2．空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 a⊂ 3．基本事实4和等角定理 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角 (1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：（0，]. 5．线面角 线面角是斜线与平面中其射影所成的锐角（范围：，斜线与平面垂直时角为，直线在平面内或平行于平面时角为）． 6．二面角 在二面角的棱上取一特殊点（如中点、端点），过该点分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（或其补角）即为二面角的平面角（范围：）． 【必备知识】 1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3． 2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角． 题型一 共面、共线、共点问题的证明 共面、共线、共点问题的证明 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内． (2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 【例题精讲】 1．如图，在长方体中，E，F，G分别为棱AB，BC，的中点，点K在棱上．以下说法正确的是（   ） A．若四点共面，则直线，三线共点 B．，使得直线平面 C．，直线与直线异面 D．与三直线，，同时相交的直线有无数条 2．在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 3．如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（   ） A．三点共线 B．四点共面 C．四点共面 D．四点共面 4．如图，在四面体中作截面，若，的延长线交于点，，的延长线交于点，，的延长线交于点则下列四个选项中正确的个数是（    ） （1），，三点共线； （2），，，四点共面； （3）. A． B． C． D． 5．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（    ） A．四点共面 B． C．三线共点 D． 6．在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（   ） A．四点共面 B．三线共点 C．与是异面直线 D．与是相交直线 7．如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 8．（多选）如图，在空间四边形中，，分别是的中点，分别在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．当时，四边形是一个正方形 B．当时， C．当时，四点共面 D．当时，直线相交于一点 9．（多选）如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B． 平面 C．与是异面直线 D．直线，，相交于一点 10．（多选）如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的有（    ） A．四点共面 B．三线共点 C．此三棱柱的各面所在的平面将空间分成21部分 D．在空间，到三个顶点距离相等的点的轨迹是一个平面 题型二 空间两条直线的位置关系 空间两条直线位置关系的判定方法和技巧 【例题精讲】 1．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，则与一定相交 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则与是异面直线 2．过某正方体的任意两个顶点作直线，在这些直线中，不同的异面直线共有（    ） A．173对 B．174对 C．183对 D．186对 3．三棱柱的9条棱所在的直线中，与直线是异面直线的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（    ） ①；②CD与EF是共面直线；③；④GH与EF是异面直线． A．①② B．②③ C．③④ D．①②④ 6．如图，三棱柱ABC－中，点E，F，G，H分别为的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E，F，G，H四点共面 B．与FH是异面直线 C． D．EG，FH，三线共点 7．如图，，，，是正方体所在棱的中点，则与直线不是异面直线的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 8．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则图中的所在直线互为异面直线的有________对． 9．如图，正方体的棱长为1，过A点作平面的垂线，垂足为点H，有下面三个结论：①与是异面直线；②AH垂直于平面；③直线与直线所成的角是90°．其中正确结论的序号是______． 10．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： ①直线与直线的位置关系是______； ②直线与直线的位置关系是______； ③直线与直线的位置关系是______； ④直线与平面的位置关系是______. ⑤直线与平面的位置关系是______. 题型三 异面直线所成的角 求异面直线所成角的步骤 (1)作：通过作平行线得到相交直线． (2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)． (3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． 【例题精讲】 1．已知直线为两条不重合的直线，若与正方体的各棱所成的角相等，则“与正方体的各棱所成的角相等”是“ ”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．2022年北京冬奥会的“雪如意”跳台滑雪中心的赛道可抽象为如下几何模型：底面是边长为2的正三角形的三棱锥，其中平面．施工人员需要在上取中点，在上取中点，搭建辅助支撑钢架，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 6．在工业级3D打印与航天精密构件设计中，圆锥结构常作为支撑部件．现有一个高为3的圆锥，其顶点为，底面圆的圆心为，半径为2，若、两点在底面圆周上，，为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（   ） A． B． C． D． 7．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______. 9．四个同样大小的球两两相切，点是球上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是__________. 10．如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为___________． 题型四 线面角的计算 步骤： 作：过斜线上一点（非斜足）作平面的垂线，垂足为射影的端点； 连：连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影； 算：斜线与射影的夹角即为线面角，在含该角的直角三角形中，利用三角函数（正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边）求解． 【例题精讲】 1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 2．已知正三棱台的上、下底面的面积分别为和， 侧棱与底面所成角的余弦值为， 则该正三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 3．在正三棱台中，，则与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，为圆锥底面直径，，若，则与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 5．在棱长为2的正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．已知平行六面体的所有棱长均为2，为的中点，且平面，若直线与底面的夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正三棱柱中，，D 为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知某圆锥的侧面积为定值，则当该圆锥的内切球的体积最大时，其母线与底面所成角的余弦值为________． 9．在三棱锥中，直线平面，，．设直线与平面所成的角为，则的最小值为______； 因为 平面 ，所以 是斜线 在平面 内的射影； 因为直线 与平面 所成的角 ，且， 10．在长方体中，，面对角线与截面所成的角为，则____. 题型五 二面角的计算 定义法：在二面角的棱上取一特殊点（如中点、端点），过该点分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（或其补角）即为二面角的平面角（范围：）． 垂线法（三垂线定理法）：过一个平面内一点作另一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上垂足，所得角即为二面角的平面角（利用三垂线定理：平面内的直线垂直于斜线的射影，则垂直于斜线）． 面积射影法：若一个平面内的多边形在另一个平面内的射影面积为，原多边形面积为S，则二面角满足（适用于多边形面积易求的情况）． 【例题精讲】 1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．正四面体中，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．已知菱形的边长为1，，将沿折起，得到三棱锥，当平面平面时，二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正四面体中，动点分别在棱上，且二面角的大小恒为，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，为圆锥的母线，，，且二面角的大小为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，二面角为，是边长为2的正三角形，若是三棱锥外接球的直径，则（   ） A． B． C． D． 7．已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 8．在正四棱台中，，若侧面与底面的夹角为，则该四棱台的体积为__________. 9．将边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，使折起后 ，则二面角 的大小为_____. 10．三棱锥中，、、与底面所成的线面角相等，二面角、、的大小也相等，且，，则三棱锥的外接球体积为__________. 课时精练 一、单选题 1．已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 3．如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A． B． C． D． 4．在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，E，F是的两个三等分点，将该正方形折成一个正三棱柱（与重合），则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知二面角的大小为，且为内异于的任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．若正三棱台的体积为，的面积为，，则侧棱与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 8．我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）如图，在该九面体中，六边形是边长为2的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B．该九面体的表面积为 C．该九面体外接球的体积为 D．二面角的正弦值为 10．（多选）已知在矩形中，，将沿折叠至，设球为三棱锥的外接球，则（   ） A．若平面平面，则三棱锥的体积为 B．球的半径为1 C．若与所成的角的正切值为，则二面角的大小为 D．直线被球所截得的线段长度的取值范围为 11．（多选）已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．与是异面直线 B．侧棱与底面的夹角正弦值为 C．平面平面 D．若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 三、填空题 12．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 13．在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________． 14．庑殿顶是中国传统建筑中的一种屋顶形式，其顶盖几何模型如图所示，底面是矩形，侧面由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成.若，，四个侧面与底面的夹角的正切值均为，则该五面体的体积为______，与平面所成的角的正弦值为______. 四、解答题 15．如图，在棱长为的正方体中，分别为，的中点，点在棱上，且.    (1)证明：四点共面； (2)设平面与棱的交点为，求点到平面的距离. 16．如图，在四棱锥中，平面，，，，分别是，的中点，点在棱上. (1)若，，，四点共面，求的值； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求. 17．如图，四边形是边长为1的正方形，四边形是梯形， 是上的点，且，平面平面. (1)证明：四点共面； (2)设，且点均在球的球面上. （i）求点到平面的距离； （ii）记为球面上到点距离最小的点，求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））． (1)求证：； (2)若，，求直线与平面所成的角的正弦值； (3)设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由． 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，，，，AC与BD交于点O．    (1)求证：平面ABCD； (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值． 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $