山东省泰安市宁阳县2026年高二下学期期末综合模拟检测卷

**基本信息** 立足高二数学核心内容，以生活实践情境为载体，分层考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，如社会实践分配、体育锻炼调查等题体现“三会”素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、散点图相关系数、二项式系数、函数导数|基础概念与图像分析结合，如第7题函数图像判断| |多选题|3/18|二项式定理、正态分布、函数奇偶性|多知识点综合辨析，如第10题结合正态分布与方差性质| |填空题|3/15|正态分布、条件概率、导数应用|简洁考查关键能力，如第14题导数与函数奇偶性综合| |解答题|5/77|集合运算、排列组合、概率分布、统计案例、函数导数|现实情境综合应用，如第16题社会实践分配方案、第18题体育锻炼时长独立性检验，第19题函数零点证明体现逻辑推理|

山东省泰安市宁阳县2026年高二下学期期末综合模拟检测卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 4．（本题5分）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 5．（本题5分）某节目要从三名男演员和六名女演员中选出两人，并安排一人做领唱，另一人做领舞，且领唱者或领舞者至少有一人是女性，则不同的安排方法种数为（    ） A．64 B．66 C．68 D．72 6．（本题5分）曲线在处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D．0 7．（本题5分）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）设函数，若关于的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 10．（本题6分）下列说法正确的有（   ） A．若随机变量，且，则 B．某物理量的测量结果，越大，该物理量在一次测量中的结果在的概率越大 C．已知随机变量，若，则 D．已知随机变量，若，则 11．（本题6分）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（    ）． A．当时， B．是的极大值点 C．当且仅当或 D．，都有 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若随机变量，则___________ 13．（本题5分）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则______. 14．（本题5分）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）设集合． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16．（本题15分）高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动．（用数字作答下列问题） (1)社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数； (2)活动后5人从左到右排成一排拍照，求甲不在正中间，乙不在排头的排法种数． 17．（本题15分）小亦计划暑期出游，现有3个省内景点、2个省外景点供选择，省内每个景点均需花费2000元，省外每个景点均需花费6000元．小亦从这5个景点中随机选择2个景点，每个景点的选择机会均等． (1)求小亦省内、省外景点都选择的概率； (2)设小亦所选的2个景点的总花费为X元，求X的分布列及数学期望． 18．（本题17分）最近育才园举行了乒乓球、羽毛球、足球等联赛、激发起了同学们的运动热情．调查小组为了解本校学生身体素质情况，决定在全校500名男生和400名女生中，按分层抽样的方法随机抽取45名学生，对他们课余参加体育锻炼时长进行问卷调查，将学生参加体育锻炼时长的情况分三类：A类（课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时），B类（课余时间参加体育锻炼但平均每周锻炼时长不超3小时），C类（课余时间不参加体育锻炼），调查结果如下表： 类别 A类 B类 C类 男生 18 x 3 女生 8 10 (1)求出表中x，y的值； (2)根据表格统计的数据，完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余时间参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超过3小时与性别有关． 性别 男生 女生 A类 B类和C类 附：，其中． 19．（本题17分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若对任意，有恒成立，求的取值范围； (3)证明：若在区间上存在唯一零点，则（其中）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市宁阳县2026年高二下学期期末综合模拟检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D B B D B ABD AC 题号 11 答案 BCD 1．B 【分析】解对数不等式和一元二次不等式，得到，，利用交集概念求出答案. 【详解】，即，解得，故， ， 所以. 故选：B 2．C 【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案. 【详解】由散点图可知第1，3图表示的正相关，且第3个图中的点比第1个图中的点分布更为集中， 所以， 第2，4图表示的负相关，且第4个图中的点比第2个图中的点分布更为集中， 所以，所以， 综上所述，. 故选：C. 3．B 【分析】化简式子，然后分别按照二项式定理的性质计算即可. 【详解】，展开式中的系数为， 常数项为2，故的系数与常数项之差为． 故选：B． 4．D 【分析】根据分段函数及对数的运算即可求出答案. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 故. 故选：D. 5．B 【分析】应用间接法求2人至少有一人是女性的不同选法数，再将2人全排列，并应用分步乘法求结果. 【详解】从9人任选2人有种，若所选2人都是男性有种，故2人至少有一人是女性有种， 所以不同的安排方法种数为. 故选：B 6．B 【分析】利用导数的几何意义和运算法则计算求解即可. 【详解】由题意可知， 所以曲线在处的切线的斜率， 故选：B 7．D 【分析】先分析函数的奇偶性，排除AB，再结合导数分析函数的单调性，得到答案. 【详解】∵为奇函数，为偶函数，∴为奇函数，其图象关于原点中心对称.排除AB. 设，则； 再设，则 当时，恒成立. 所以在上单调递增，又，， 所以存在，使.当时，，即：时，. 所以在上递减，又 所以：当时，. 所以：当时，.所以D正确. 故选：D. 8．B 【分析】由题可得图象与直线，共4个交点，分别利用导数研究函数与函数，可得大致图象，据此可得答案. 【详解】， 由题则图象与直线，共4个交点. 令，则，. 则在上单调递增，在上单调递减，. 又，据此可得大致图象如下. 令，则，又，据此可得大致图象如下. 由图易得图象与直线有1个交点，则图象与直线有3个交点. 则. 故选：B 9．ABD 【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D. 【详解】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 10．AC 【分析】利用正态分布的对称性求解判断AC；利用正态分布的性质判断B；利用方差的性质求解判断D. 【详解】对于A，随机变量，， 则，A正确； 对于B，，越大，结果越分散，在的数据越少，概率越小，B错误； 对于C，，由，得，解得，C正确； 对于D，，则，而，则，D错误. 故选：AC 11．BCD 【分析】设，则，利用函数的奇偶性即可判断A；直接解不等式可判断C；根据导数符号可判断的单调性即可判断B；根据单调性即可求出的值域，即可判断D. 【详解】是定义在R上的奇函数，设，则， 则，所以，故A不正确； 当时，由，得，得， 当时，由，得，得； 所以的解集为，故C正确； 当时，， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以时，取的最小值为，且时，， 所以，即， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，B选项正确； 由B选项分析可知当时，取最大值为，且时，， 当时，由，所以，所以， 当时，的值域为， 因为函数是定义在R上的奇函数， 由对称性可得，，都有，故D正确； 故选：BCD. 12． 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】已知随机变量， 则， 所以, 故答案为：. 13． 【分析】应用条件概率公式及概率基本性质计算求解. 【详解】由，有， 又由， 可得. 故答案为： 14． 【分析】先对求导，得到，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得到，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则可化简为：， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）当时，化简两个集合，结合交集的概念即可得解； （2）由题意集合是集合的真子集，据此可列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 所以； （2）若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集， 所以，且等号不同时成立，解得， 所以实数m的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】（1）通过排列的方法求分配方案的种数； （2）方法一用间接法求排法种数，先全排，再减去不符合题意的即可；方法二用直接法，分①甲在排头，其他4人随机排和②甲不在排头也不在中间，乙不在排头两类计算 【详解】（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为． （2）方法一：5人随机排有种排法，其中甲在正中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在正中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法． 综上所述，甲不在正中间，乙不在排头的排法种数共有种． 方法二：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类： ①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法； ②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法. 综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种. 17．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）结合组合数的应用，利用古典概型概率公式求解即可. （2）先求出随机变量X的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，最后代入期望公式求解即可. 【详解】（1）记小亦选择Y个省外景点，则， 即小亦省内、省外景点都选择的概率为． （2）X的可能取值为4000，8000，12000， 则， 所以X的分布列如下表所示： X 4000 8000 12000 P 所以． 18．(1) (2)表格见解析，能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组即可求解； （2）根据题意列出列联表，计算卡方对比临界值，即可作出结论. 【详解】（1），解得； （2） 性别 男生 女生 A类 18 8 B类和C类 7 12 ； 故能在犯错误的概率不超过的前提下，认为课余参加体育锻炼且平均每周锻炼时长超3小时与性别有关． 19．(1)极小值为，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值； （2）对和分类讨论，当时由知条件不满足，当时可通过求导得到单调性，推知条件满足，从而得到的取值范围是； （3）由条件可直接得到，然后通过导数判断在上的单调性，再证明，即可通过反证法得到结论. 【详解】（1）当时，，从而. 故对有，对有. 所以在上递减，在上递增. 从而有唯一的极值点，且是极小值点，对应极小值为，无极大值. （2）由，知. 若，则. 而对有，所以在上递减. 故，从而对不成立，不满足条件； 若，则对有，所以在上递增. 从而对任意，有，满足条件. 综上，的取值范围是. （3）据（2）的结果，当时对有，故对有. 此即，所以对任意的，在中取就有. 回到原题. 若在区间上存在唯一零点，根据（2）的结果，首先有. 此时对有，对有. 所以，在上递减，在上递增. 而，故上的零点满足. 由于，而对任意的，都有，取，就有，从而. 所以. 假设，由及有，所以. 由在上递增，且，即可从，推知. 但这与是的零点矛盾，所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在小问（3）中，适当使用小问（2）的结论，进行进一步的拓展或适当的利用，从而证得小问（3）所求的结论. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $