黑龙江大庆第一中学2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）

**基本信息** 立足五四学制八年级学情，以生活实践与几何代数融合为载体，通过分层设问考查数学抽象、推理能力及模型应用，适配期末综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|反比例函数图象性质、相似三角形判定、三视图|第9题结合台阶影长测量树高，体现空间观念与应用意识| |填空题|10/30|比例性质、概率计算、相似三角形周长比|第17题以近视眼镜度数与焦距关系，考查反比例函数实际应用| |解答题|7/60|一元二次方程求解、统计与概率、函数综合|第27题一次函数与反比例函数综合，含矩形存在性探究，培养推理能力与创新意识|

黑龙江省大庆一中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷(五四学制) 一.选择题(每题3分,共30分) 1.(3分)反比例函数图象一定经过的点是( ) A.(﹣6,﹣1) B.(﹣2,3) C.(﹣1,6) D.(﹣3,2) 2.(3分)如图,一横一竖两块砖头放置于水平地面,其主视图为( ) A. B. C. D. 3.(3分)已知点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2)在反比例函数的图象上,则y1,y2的大小关系是( ) A.y1≤y2 B.y1>y2 C.y1≥y2 D.y1<y2 4.(3分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在AB上,EF∥AD交CD于点F,若AE:AB=1:3,DF=3,则FC的长为( ) A.6 B.4 C.5 D.4.5 5.(3分)一个小组共有x人,端午节互送荷包,若全组共送72个,下面所列方程正确的是( ) A.x2=72 B.x(x﹣1)=72 C.(x﹣1)2=72 D.=72 6.(3分)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,6)、B(﹣8,﹣4),以原点O为位似中心,相似比为,把 ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是( ) A.(﹣1,3) B.(﹣4,﹣2) C.(﹣1,3)或(1,﹣3) D.(﹣4,﹣2)或(4,2) 7.(3分)如图, ABC中,∠A=65 ,AB=6,AC=3,将 ABC沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是( ) A. B. C. D. 8.(3分)点(a,b)在函数图象上,下列说法正确的是( ) A.y随x的增大而增大 B.图象关于y轴对称 C.点(b,a)和点(﹣b,﹣a)都在图象上 D.当x=1时,y<﹣4 9.(3分)在阳光下,一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为3.84米,则树高为( ) A.6.36米 B.8米 C.11.8米 D.12米 10.(3分)如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,2BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连接AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是( ) A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=﹣ 二.填空题(每题3分,共30分) 11.(3分)已知4a=5b,则a:b= . 12.(3分)已知反比例函数的图象位于第一、三象限,则n的取值范围是 . 13.(3分)如果两个相似三角形的面积之比为4:9,较小的三角形的周长是80cm,那么另一个的三角形的周长为 cm. 14.(3分)某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加:①为父母做一次饭;②洗一次衣服;③倒一次生活垃圾.小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是 . 15.(3分)如图是某几何体的三视图,若俯视图的面积为9 cm2,则左视图的面积为 cm2. 16.(3分)若x1、x2是方程x2+x﹣2=0的两根,则的值为 . 17.(3分)验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例,y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后,小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米,则近视眼镜的度数减少了 度. 18.(3分)如图,正方形网格中每个小正方形边长为2,点A、B、C都在格点上,AC、BC分别与网格线交于点D、E,则DE的长为 . 19.(3分)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的边AB与反比例函数(k为常数,k>0,x>0)的图象交于A,D两点,且与y轴正半轴交于点B,点C在反比例函数的图象上,若点D是AB的中点,则k的值为 . 20.(3分)如图,矩形ABCD中,BE平分∠ABC,过C点作CF⊥BE,连接AF并延长交CD于点G,交CE于点M.则下列结论:①∠AME=45 ;②若AF=4,FM=3,则CD=5;③AD•EF=DG•BF;④若,则EC=2EM.其中正确的是 (填序号). 三.解答题(共7道题,共60分) 21.(8分)解方程 (1)x(x﹣1)=1﹣x; (2)2x2﹣4x﹣5=0; 22.(8分)已知a,b,c是 ABC的三边长,且满足,a+b+c=12. (1)求a,b,c的值; (2)判断 ABC的形状,并写出推理过程. 23.(6分)某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在空地中修两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度. 24.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5=0有两个实数根. (1)求实数m的取值范围: (2)若x1、x2是该方程的两个根,且满足,求m的值. 25.(11分)某校举办“环保知识”选拔赛,随机抽取了七年级部分学生的初赛成绩,成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级,并绘制了如下两幅不完整的统计图表. 等级 成绩(x) 人数 A 95<x≤100 m B 85<x≤95 24 C 75<x≤85 14 D x≤75 10 根据统计图表中的信息解答下列问题: (1)表中m= ;扇形统计图中,表示成绩等级为D的扇形圆心角为 度. (2)若全校有3000人参加了此次选拔赛,其中成绩等级为A的学生大约有多少人? (3)现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加决赛,请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率. 26.(8分)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过点P作PF⊥AE于点F,垂足为F,连接PE; (1)求证: PFA∽ ABE; (2)直接写出当PA为何值时,能使得 PEF与 ABE相似. 27.(11分)如图,一次函数y=k1x+b(k1,b为常数,k1≠0)的图象与反比例函数(k2为常数,k2≠0)的图象相交于点A(a,4),B(﹣4,﹣1). (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)连接OA,OB,求 OAB的面积; (3)过点A作AD⊥AB交反比例函数图象于另一点D,在平面内存在两点P,Q(点P在第一象限反比例函数图象的上方),使得四边形APDQ是一个长与宽之比为3:1的矩形,请直接写出点P的坐标. 黑龙江省大庆一中2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷(五四学制) 参考答案与试题解析 一.选择题(每题3分,共30分) 1.(3分)反比例函数图象一定经过的点是( ) A.(﹣6,﹣1) B.(﹣2,3) C.(﹣1,6) D.(﹣3,2) 【分析】根据每个选项中x的值求出y的值,与点的坐标比较即可作出判断. 【解答】解:A、当x=﹣6时,,所以点(﹣6,﹣1)在反比例函数的图象上,故此选项符合题意; B、当x=﹣2时,,所以点(﹣2,3)不在反比例函数的图象上,故此选项不符合题意; C、当x=﹣1时,,所以点(﹣1,6)不在反比例函数的图象上,故此选项不符合题意; D、当x=﹣3时,,所以点(﹣3,2)不在反比例函数的图象上,故此选项不符合题意; 故选:A. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握该知识点是关键. 2.(3分)如图,一横一竖两块砖头放置于水平地面,其主视图为( ) A. B. C. D. 【分析】根据从正面看几何体,所看到的视图是主视图进行解答. 【解答】解:几何体的主视图是. 故选:D. 【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图,掌握三视图的确定方法是关键. 3.(3分)已知点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2)在反比例函数的图象上,则y1,y2的大小关系是( ) A.y1≤y2 B.y1>y2 C.y1≥y2 D.y1<y2 【分析】先求出y1,y2的值,再比较大小即可. 【解答】解:∵点A(﹣2,y1),B(﹣1,y2)在反比例函数的图象上, ∴y1=﹣=1,y2=﹣=2, ∵1<2, ∴y1<y2. 故选:D. 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征,熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键. 4.(3分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在AB上,EF∥AD交CD于点F,若AE:AB=1:3,DF=3,则FC的长为( ) A.6 B.4 C.5 D.4.5 【分析】根据平行线分线段成比例解答. 【解答】解:∵AE:AB=1:3, ∴AE:EB=1:2, ∵AD∥BC,EF∥AD, ∴AD∥BC∥EF, ∴, ∵DF=3,AE:EB=1:2, ∴, ∴FC=6. 故选:A. 【点评】本题考查了平行线分线段成比例,熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键. 5.(3分)一个小组共有x人,端午节互送荷包,若全组共送72个,下面所列方程正确的是( ) A.x2=72 B.x(x﹣1)=72 C.(x﹣1)2=72 D.=72 【分析】一个小组共有x人,则每个人送出去(x﹣1)个荷包,根据全组共送72个,列方程即可. 【解答】解:由题意得,x(x﹣1)=72. 故选:B. 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程,得到互送荷包总个数的等量关系是解决本题的关键. 6.(3分)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣2,6)、B(﹣8,﹣4),以原点O为位似中心,相似比为,把 ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是( ) A.(﹣1,3) B.(﹣4,﹣2) C.(﹣1,3)或(1,﹣3) D.(﹣4,﹣2)或(4,2) 【分析】根据位似变换的性质计算,得到答案. 【解答】解:已知点A(﹣2,6)、B(﹣8,﹣4),以原点O为位似中心,相似比为,把 ABO缩小, ∴点A对应点A′的坐标是或,即(﹣1,3)或(1,﹣3), 故选:C. 【点评】本题考查了位似变换,坐标与图形性质,解答本题的关键要明确:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k. 7.(3分)如图, ABC中,∠A=65 ,AB=6,AC=3,将 ABC沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 【解答】解:A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意; B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意; C、两三角形的对应角不一定相等,故两三角形不相似,故本选项符合题意; D、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项不符合题意. 故选:C. 【点评】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 8.(3分)点(a,b)在函数图象上,下列说法正确的是( ) A.y随x的增大而增大 B.图象关于y轴对称 C.点(b,a)和点(﹣b,﹣a)都在图象上 D.当x=1时,y<﹣4 【分析】根据反比例函数的图象与性质,对所给选项依次进行判断即可. 【解答】解:由题知, 因为反比例函数解析式为y=, 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限,且在每个象限内y随x的增大而增大, 故A选项不符合题意; 因为反比例函数的图象不关于y轴对称, 故B选项不符合题意; 因为点(a,b)在函数图象上, 则ab=﹣4, 所以ba=﹣4,(﹣b)•(﹣a)=﹣4, 所以点(b,a)和点(﹣b,﹣a)都在图象上, 故C选项符合题意; 当x=1时,y=, 故D选项 不符合题意. 故选:C. 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质及关于x轴、y轴对称的点的坐标特征,熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键. 9.(3分)在阳光下,一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图所示,若此时落在地面上的影长为3.84米,则树高为( ) A.6.36米 B.8米 C.11.8米 D.12米 【分析】连接AE,过点E作EF⊥AB于点F,设AF=x米,利用“同一时刻,物高和影长成正比”列出方程,解方程求出AF的长度,进而可得AB的长度. 【解答】解:如图所示,连接AE,过点E作EF⊥AB于点F,DE=0.2米,CD=BF=0.3米,BC=DF=3.84米,则EF=DE+DF=3.84+0.2=4.04(米), 设AF=x米,则, 解得:x=6.06, ∴AB=AF+FB=6.06+0.3=6.36(米), 故选:A. 【点评】本题考查了相似三角形的应用,平行投影,利用“同一时刻,物高和影长成正比”列出方程是解决问题的关键. 10.(3分)如图,AB=4,射线BM和AB互相垂直,点D是AB上的一个动点,点E在射线BM上,2BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,连接AF并延长交射线BM于点C.设BE=x,BC=y,则y关于x的函数解析式是( ) A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y=﹣ 【分析】作FG⊥BC于G,依据已知条件求得 DBE≌ EGF,得出FG=BE=x,EG=DB=2x,然后根据平行线的性质即可求得. 【解答】解:作FG⊥BC于G, ∵∠DEB+∠FEC=90 ,∠DEB+∠BDE=90 ; ∴∠BDE=∠FEG, 在 DBE与 EGF中, , ∴ DBE≌ EGF(AAS), ∴EG=DB,FG=BE=x, ∴EG=DB=2BE=2x, ∴GC=y﹣3x, ∵FG⊥BC,AB⊥BC, ∴FG∥AB, CG:BC=FG:AB, 即=, ∴y=﹣. 故选:A. 【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质,以及平行线的性质,辅助线的做法是解题的关键. 二.填空题(每题3分,共30分) 11.(3分)已知4a=5b,则a:b= 5:4 . 【分析】根据比例的两个内项的积等于两个外项的积进行求解即可. 【解答】解:根据题意可知,a:b=5:4. 故答案为:5:4. 【点评】本题主要考查了比例的性质,掌握比例的性质是关键. 12.(3分)已知反比例函数的图象位于第一、三象限,则n的取值范围是n>3 . 【分析】根据反比例函数的性质构建不等式解决问题. 【解答】解:∵反比例函数 的图象位于第一、三象限, ∴n﹣3>0, ∴n>3. 故答案为:n>3. 【点评】本题考查反比例函数的性质,反比例函数的图象,解题的关键是掌握反比例函数的性质. 13.(3分)如果两个相似三角形的面积之比为4:9,较小的三角形的周长是80cm,那么另一个的三角形的周长为 120 cm. 【分析】由相似三角形的性质可知,相似三角形面积的比等于周长的比的平方,因为两个相似三角形的面积之比为4:9,所以这两个相似三角形的周长之比为2:3,由较小的三角形的周长是80cm,求得另一个的三角形的周长为80 =120(cm),于是得到问题的答案. 【解答】解:∵相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方, ∴相似三角形面积的比等于周长的比的平方, ∵两个相似三角形的面积之比为4:9, ∴这两个相似三角形的周长之比为2:3, ∵较小的三角形的周长是80cm, ∴另一个的三角形的周长为80 =120(cm), 故答案为:120. 【点评】此题重点考查相似三角形的性质,根据相似三角形面积的比等于周长的比的平方,正确地求出这两个相似三角形的周长之比是解题的关键. 14.(3分)某校倡议全校学生周末回家任选一项家务劳动参加:①为父母做一次饭;②洗一次衣服;③倒一次生活垃圾.小宇和大明选择同一项家务劳动的概率是 . 【分析】列表得出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式求解即可. 【解答】解:列表如下: ①为父母做一次饭 ②洗一次衣服 ③倒一次生活垃圾 ①为父母做一次饭 ①① ①② ①③ ②洗一次衣服 ②① ②② ②③ ③倒一次生活垃圾 ③① ③② ③③ 由表知,共有9种等可能结果,其中小宇和大明选择同一项家务劳动的有3种结果, ∴P(选择一样)=. 故答案为:. 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率. 15.(3分)如图是某几何体的三视图,若俯视图的面积为9 cm2,则左视图的面积为 18 cm2. 【分析】先根据俯视图的面积求出圆的半径,也就是主视图的长和左视图的宽,然后利用矩形的面积计算公式计算即可. 【解答】解:设俯视图的半径为rcm, ∵俯视图的面积为9 cm2, ∴ r2=9 , ∴r=3, ∴左视图的长为6cm, ∴左视图的面积为:6 3=18(cm2). 故答案为:18. 【点评】本题考查了由三视图判断几何体,简单几何体的三视图,解题的关键是熟知各种视图之间的关系. 16.(3分)若x1、x2是方程x2+x﹣2=0的两根,则的值为 3 . 【分析】由方程的解可得,代入,再根据根与系数的关系得到x2+x1=﹣1,代入求值即可. 【解答】解:由题意得, x2+x1=﹣1,, ∴, ∴, 故答案为:3. 【点评】本题考查一元二次方程的解,根与系数的关系,求代数式的值,熟练掌握根与系数的关系是解答本题的关键. 17.(3分)验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例,y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后,小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米,则近视眼镜的度数减少了 200 度. 【分析】由已知设y=,则有图象知点(0.2,500)满足解析式,代入求k=100,则解析式为:y=,令x=0.25,x=0.5时,分别求y的值后作差即可. 【解答】解:设y=(k≠0), 把(0.2,500)代入y=(k≠0), ∴k=500 0.2=100, ∴函数解析式为y=, 当x=0.25时,y==400, 当x=0.5时,y==200, ∴度数减少了400﹣200=200(度), 故答案为:200. 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式,以及反比例函数的实际应用,读懂题意,掌握课本知识是解决问题的关键. 18.(3分)如图,正方形网格中每个小正方形边长为2,点A、B、C都在格点上,AC、BC分别与网格线交于点D、E,则DE的长为 . 【分析】取格点M、N,如图,先证明 CDN∽ CAM,则=,从而计算出DN=,再证明 CEN∽ CBM得到=,从而可计算出EN=,然后计算DN﹣EN即可. 【解答】解:取格点M、N,如图, ∵DN∥AM, ∴ CDN∽ CAM, ∴==, ∴DN=AM= 4=, ∵NE∥MB, ∴ CEN∽ CBM, ∴==, ∴EN=BM= 2=, ∴DE=DN﹣EN=﹣=. 故答案为:. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用;在运用相似三角形的性质时,利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长.也考查了勾股定理. 19.(3分)如图,在平面直角坐标系中,平行四边形OABC的边AB与反比例函数(k为常数,k>0,x>0)的图象交于A,D两点,且与y轴正半轴交于点B,点C在反比例函数的图象上,若点D是AB的中点,则k的值为 6 . 【分析】依据题意,设,由D是AB中点,则xA=2xD=2a,故,从而,再结合平行四边形OABC的对角线AC与BO互相平分,可得,又点C在反比例函数的图象上,进而,故可判断得解. 【解答】解:由题意,设, ∵D是AB中点, ∴xA=2xD=2a, ∴. ∴. ∵平行四边形OABC的对角线AC与BO互相平分, ∴. ∵点C在反比例函数的图象上, ∴. ∴k=6. 故答案为:6. 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质,解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键. 20.(3分)如图,矩形ABCD中,BE平分∠ABC,过C点作CF⊥BE,连接AF并延长交CD于点G,交CE于点M.则下列结论:①∠AME=45 ;②若AF=4,FM=3,则CD=5;③AD•EF=DG•BF;④若,则EC=2EM.其中正确的是 ①③④ (填序号). 【分析】由矩形的性质及角平分线定义得∠BCF=∠CBE=45 ,由勾股定理得,,由相似三角形判定方法得 BAF∽ BEC,由相似三角形的性质得∠BAF=∠BEC,设∠EAF=x,由∠EMF=180 ﹣∠EAF﹣∠AEB﹣∠BEC即可求解,可判断①;由相似三角形判定方法得 CEF∽ AGD,由相似三角形的性质得,即可判断③;延长CF交AD于H,由相似三角形判定方法得 AEM∽ CEH,由相似三角形的性质得,,二者结合运算即可判断②;由相似三角形的性质得∠EAM=∠ECH=x,故有90 ﹣x=45 +x,可求∠EAM=∠ECH=22.5 ,由等腰三角形的判定及性质得FM=CM,FM=EM,即可判断④. 【解答】解:①∵四边形ABCD是矩形,∠ABC=∠BAC=90 , ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE=45 , ∴∠ABE=∠AEB=45 , ∵CF⊥BE, ∴∠BCF=∠CBE=45 , ∴,BC=BF, ∴, ∴ BAF∽ BEC, ∴∠BAF=∠BEC, 设∠EAF=x,则有∠BEC=∠BAF=90 ﹣x, ∴∠EMF=180 ﹣∠EAF﹣∠AEB﹣∠BEC=180 ﹣x﹣45 ﹣(90 ﹣x)=45 ; 故①正确,符合题意; ③∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD, ∴∠AGD=∠BAF, ∵∠BAF=∠BEC, ∴∠BEC=∠AGD, 即∠CEF=∠AGD, ∵∠CFE=∠ADG=90 , ∴ CEF∽ AGD, ∴, ∴AD•EF=DG•CF, ∵∠BCF=∠CBE=45 , ∴CF=BF, ∴AD•EF=DG•BF, 故③正确,符合题意; ②如图,延长CF交AD于H, 由①③得∠EHF=∠FEH=∠AME=45 , ∴HF=EF, ∴HF+CF=EF+BF, 即CH=BE, ∵∠AEM=∠CEH, ∴ AEM∽ CEH, ∴, ∵AF=4,FM=3, ∴AM=7, 由①得 BAF∽ BEC, ∴, ∴, 解得, ∴, ∴, 解得, ∵四边形ABCD是矩形, ∴, 故②错误,不符合题意; ④由上述过程得, ∵, ∴BC=BE, ∴∠BEC=∠BCE=∠BAF, 由②得 AEM∽ CEH, ∴∠EAM=∠ECH=x, ∴90 ﹣x=45 +x, 解得x=22.5 , ∴∠EAM=∠ECH=22.5 , ∵∠EMF=∠ECH+∠CFM, ∴22.5 +∠CFM=45 , 解得∠CFM=22.5 , ∴∠CFM=∠MCF=22.5 , ∴FM=CM, 同理可证:FM=EM, ∴CM=FM=EM, ∴EC=2EM, 故④正确,符合题意; 故答案为:①③④. 【点评】本题考查了相似形的综合应用,主要考查矩形的性质,等腰三角形的判定及性质,勾股定理,相似三角形的判定及性质等,能熟练利用以上判定方法及性质是解题的关键. 三.解答题(共7道题,共60分) 21.(8分)解方程 (1)x(x﹣1)=1﹣x; (2)2x2﹣4x﹣5=0; 【分析】(1)利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可. (2)利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可. 【解答】解:(1)x(x﹣1)=1﹣x, x(x﹣1)+(x﹣1)=0, (x﹣1)(x+1)=0, 则x﹣1=0或x+1=0, 所以x1=1,x2=﹣1. (2)2x2﹣4x﹣5=0, =(﹣4)2﹣4 2 (﹣5)=56>0, 则x=, 所以,. 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法及解一元二次方程﹣公式法,熟知公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键. 22.(8分)已知a,b,c是 ABC的三边长,且满足,a+b+c=12. (1)求a,b,c的值; (2)判断 ABC的形状,并写出推理过程. 【分析】(1)设=k,表示a、b、c的长,代入a+b+c=12中,计算k的值,可得a,b,c的值; (2)根据勾股定理的逆定理可得结论. 【解答】解:(1)设=k,则a=3k﹣4,b=2k﹣3,c=4k﹣8, ∵a+b+c=12, ∴3k﹣4+2k﹣3+4k﹣8=12, ∴k=3, ∴a=5,b=3,c=4. (2) ABC是直角三角形,理由是: 由(1)知a=5,b=3,c=4, ∵c2+b2=42+32=25=a2, ∴ ABC是直角三角形. 【点评】本题考查了比例的性质、勾股定理的逆定理,设参数表示三边的长是关键,熟练掌握勾股定理的逆定理. 23.(6分)某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在空地中修两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60m2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度. 【分析】设人行甬道的宽度为x米,根据矩形绿地的面积之和为60米2,列出一元二次方程. 【解答】解:设人行道的宽度为x米(0<x<3),根据题意得: (18﹣3x)(6﹣2x)=60, 整理得,(x﹣1)(x﹣8)=0. 解得:x1=1,x2=8(不合题意,舍去). 答:人行通道的宽度是1米. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键. 24.(8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5=0有两个实数根. (1)求实数m的取值范围: (2)若x1、x2是该方程的两个根,且满足,求m的值. 【分析】(1)根据方程的系数,结合根的判别式 =b2﹣4ac≥0,可列出关于m的一元一次不等式,解之即可得出m的取值范围; (2)利用根与系数的关系,可得出x1+x2=4,x1x2=﹣2m+5,结合x1x2+x1+x2=m2+6,可列出关于m的一元二次方程,解之取其符合题意的值,即可得出结论. 【解答】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5=0有两个实数根, ∴ =(﹣4)2﹣4 1 (﹣2m+5)=8m﹣4≥0, 解得:m≥, ∴实数m的取值范围为m≥; (2)∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5=0的两个实数根, ∴x1+x2=4,x1x2=﹣2m+5, ∵x1x2+x1+x2=m2+6, ∴﹣2m+5+4=m2+6, 整理得:m2+2m﹣3=0, 解得:m1=﹣3(不符合题意,舍去),m2=1, ∴m的值为1. 【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,解题的关键是:(1)牢记“当 ≥0时,方程有两个实数根”;(2)利用根与系数的关系及x1x2+x1+x2=m2+6,找出关于m的一元二次方程. 25.(11分)某校举办“环保知识”选拔赛,随机抽取了七年级部分学生的初赛成绩,成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级,并绘制了如下两幅不完整的统计图表. 等级 成绩(x) 人数 A 95<x≤100 m B 85<x≤95 24 C 75<x≤85 14 D x≤75 10 根据统计图表中的信息解答下列问题: (1)表中m= 12 ;扇形统计图中,表示成绩等级为D的扇形圆心角为 60 度. (2)若全校有3000人参加了此次选拔赛,其中成绩等级为A的学生大约有多少人? (3)现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加决赛,请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率. 【分析】(1)由B的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数,即可求出m的值,由360 乘以D所占的比例即可; (2)由全校参赛学生人数乘以成绩等级为A的学生所占的比例即可; (3)画树状图,共有12种等可能的结果,其中甲、乙两人被同时选中的结果有2种,再由概率公式求解即可. 【解答】解:(1)随机抽取的学生共有:24 40%=60(名), ∴m=60﹣24﹣14﹣10=12(人), 扇形统计图中,表示成绩等级为D的扇形圆心角为:360 =60 , 故答案为:12、60; (2)3000 =600(人), 即估计成绩等级为A的学生大约有600人, 故答案为:600; (3)画树状图如下: 共有12种等可能的结果,其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种, ∴甲、乙两人同时被选中的概率为=. 【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 26.(8分)如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过点P作PF⊥AE于点F,垂足为F,连接PE; (1)求证: PFA∽ ABE; (2)直接写出当PA为何值时,能使得 PEF与 ABE相似. 【分析】(1)根据正方形的性质得到AD∥BC,∠B=90 ,得到∠DAE=∠AEB,∠B=∠PFA,即可证明结论; (2)分两种情况:当 PFE∽ ABE时;当 EFP∽ ABE时;分别求出PA的值即可. 【解答】(1)证明:∵正方形ABCD, ∴AD∥BC,∠B=90 , ∴∠DAE=∠AEB, ∵PF⊥AE, ∴∠PFA=90 , ∴∠B=∠PFA, ∴ PFA∽ ABE; (2)解:当 PFE∽ ABE时, ∴∠PEF=∠AEB,, 由题意可得:, ∴, ∴PF=2EF, ∵AE2=AB2+BE2, ∴, ∴∠DAE=∠AEB, ∴∠PAE=∠PEA, ∴PA=PE, ∴ PAE是等腰三角形, ∵PF⊥AE,由三线合一可得: ∴, ∴, ∴; 当 EFP∽ ABE时,如图2, ∴∠PEF=∠EAB, ∴AB∥PE, ∴∠PEB=180 ﹣∠B=90 , ∴四边形ABEP是矩形, ∴AP=BE=2, 当PA为5或2时,能使得 PEF与 ABE相似. 【点评】本题考查了正方形的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识,熟练掌握相关知识点是解题的关键. 27.(11分)如图,一次函数y=k1x+b(k1,b为常数,k1≠0)的图象与反比例函数(k2为常数,k2≠0)的图象相交于点A(a,4),B(﹣4,﹣1). (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)连接OA,OB,求 OAB的面积; (3)过点A作AD⊥AB交反比例函数图象于另一点D,在平面内存在两点P,Q(点P在第一象限反比例函数图象的上方),使得四边形APDQ是一个长与宽之比为3:1的矩形,请直接写出点P的坐标. 【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案; (2)设直线AB与y轴交于D,解方程得到D(0,3),根据三角形的面积公式即可得到结论; (3)利用待定系数法可得直线AD的表达式为y=﹣x+5,联立方程组可求得点D的坐标,设P(m,n),分两种情况:当=时,过点P作x轴的平行线MN,过点A、D分别作MN的垂线,垂足分别为M、N,可证得 APM∽ PDN,利用相似三角形性质列方程求解即可求得点P的坐标;当=3时,同理可求得点D的坐标. 【解答】解:(1)把B(﹣4,﹣1)代入反比例函数,得:k2=﹣4 (﹣1)=4, ∴反比例函数的表达式为y=; ∵点A(a,4)在反比例函数y=的图象上, ∴4=, 解得:a=1, ∴A(1,4), 把A(1,4),B(﹣4,﹣1)代入y=k1x+b得, 解得, ∴一次函数的表达式为y=x+3; (2)设直线AB与y轴交于D, 在y=x+3中,令x=0,则y=3, ∴D(0,3), ∵A(1,4),B(﹣4,﹣1), ∴ OAB的面积=S AOD+S BOD=OD(xA﹣xB)==; (3)存在,理由: 由题意得,∠APD=90 ,=或3, ∵直线AB的表达式为y=x+3,AD⊥AB, ∴设直线AD的表达式为y=﹣x+e, 把A(1,4)代入,得:4=﹣1+e, 解得:e=5, ∴直线AD的表达式为y=﹣x+5, 联立得, 解得(舍去)或, ∴D(4,1), 设P(m,n), 当=时,如图,过点P作x轴的平行线MN,过点A、D分别作MN的垂线,垂足分别为M、N, 则MP=m﹣1,PN=4﹣m,AM=n﹣4,DN=n﹣1,∠M=∠N=90 , ∴∠DPN+∠PDN=90 , ∵∠DPN+∠APM=90 , ∴∠PDN=∠APM, ∴ APM∽ PDN, ∴,即==, 解得m=2,n=4, ∴P(2,4); 当=3时, 同理可得:,即=3, 解得m=,n= ∴P(,); 综上,点P的坐标为(2,4)或(,). 【点评】本题考查反比例函数的综合应用,相似三角形的判定和性质,矩形的性质.正确的求出反比例函数的解析式,利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $