精品解析：江苏无锡市第一中学2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二数学测试 2026.6.16 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 越接近1，相关性越强 D. 越接近0，相关性越弱 6. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 160 7. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 10. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B. 第二次抽到3号球的概率为 C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大 D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种 11. 已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. C. D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 13. 在的展开式中的系数为_______. 14. 已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 设. （1）求； （2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； （3）若，求. 17. 通过调查获取数据的基本方式是询问，调查问卷是询问的依据，也是信息的载体. 对一些敏感性问题，例如学生在考试中有无作弊、某人是否偷税漏税等，需要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查. 调查中准备使用两个问题：问题1：你的公历生日日期是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子. 每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到黑球的学生如实回答第二个问题，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案． （1）为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； （2）设事件“被调查者吸烟”. （Ⅰ）若调查中使用了两个问题，用频率估计概率，如果200名学生中有46人回答“是”，试估计的值；（结果保留小数点后两位）(注:一年按365天计，假设被调查者的生日等可能地分布在这365天中) （Ⅱ）若调查中只使用问题2，摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．设事件“被调查者写下①”．若，判断与 的大小，并证明你的结论. 18. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程 （2）当时，证明： （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，，都有 恒成立，求符合条件的整数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学测试 2026.6.16 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案. 【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. 命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，命题“”的否定， 即命题“”真命题， 根据二次函数的性质可得，应有， 解得. 故选：C. 4. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 5. 下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 越接近1，相关性越强 D. 越接近0，相关性越弱 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布以及相关系数的概念直接判断即可. 【详解】对于A，根据正态分布对称性可知，，A说法正确； 对于B，根据正态分布对称性可知，，B说法错误； 对于C和D，相关系数越接近0，相关性越弱，越接近1，相关性越强，故C和D说法正确. 故选：B 6. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可确定，再结合通项公式即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 7. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ） A. 事件A与B相互独立 B. 事件A与C为互斥事件 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可 【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法， 事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法； 若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理， 若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以， 因为，事件A与B不相互独立故A错误； 对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误； 对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 10. 已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ） A. 在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B. 第二次抽到3号球的概率为 C. 如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大 D. 如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有 对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，， 故B选项正确； 对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为， 记第二次抽到3号球的事件为，, 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同， 即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确； 对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误； 故选：ABC. 11. 已知时，关于的不等式恒成立，则下列判断正确的是（ ） A. ， B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先利用导数分析 的符号，然后结合不等式恒成立条件分析二次式 可判断AB；根据​ 是  的根结合韦达定理可判断C；由可得，令 ，利用导数求其最大值可判断D. 【详解】已知 ，设 ，，令 ，解得 ，  在  上递减， 上递增，最小值 ， 又 时，  ，故 ，， ，  时 ，因此 有两个不同的正零点 ， 要使  恒成立，开口向上的二次式必须和 同号， 因此二次式的零点恰好就是 ，即  . 由韦达定理：，​，因为 都是正数， 故 ， ，A正确； 二次式有两个不同零点，判别式 ，即 ，B正确； 因为 ​ 是  的根，故 ​，， 两式相乘得： ，即  ，C错误； 由  得 ，代入目标式化简： ， 令  ，求导得 , 当   时， ，递增； 当  时， ，递减. 因此 的最大值为 ，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性性质得到，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为随机变量 ，正态分布的概率密度曲线关于均值 对称， 因为，根据正态分布的对称性性质得 化简得，所以 所以 根据基本不等式,当且仅当 时，等号成立， 此时结合 ，，得, , 所以，当且仅当, , 等号成立， 所以 的最小值为 . 13. 在的展开式中的系数为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先变形，再根据展开式的通项公式整理，令的指数为7，进而可求解. 【详解】， 因为展开式的通项公式为， 又因为展开式的通项公式为， 则 ， 令，则，，， 所以当，对应的项为， 当，对应的项为， ∴所以的展开式中含的项的系数是. 14. 已知函数（）．对，恒成立，实数的取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，等价变形恒成立的不等式，再构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，则， 所以实数的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 16. 设. （1）求； （2）若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； （3）若，求. 【答案】（1） （2）20，21，22 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令，，即可得结果； （2）根据二项式定理可得，根据题意列式求解即可； （3）整理可得，结合二项式系数的性质运算求解. 【小问1详解】 由， 令，可得； 令，可得； 所以. 【小问2详解】 由题意知的展开式的通项为，， 所以，. 因为是中唯一的最大值， 可得，即，解得， 所以的所有可能取值为20，21，22. 【小问3详解】 由题意可得：， 所以，， 则. 因为， 所以. 17. 通过调查获取数据的基本方式是询问，调查问卷是询问的依据，也是信息的载体. 对一些敏感性问题，例如学生在考试中有无作弊、某人是否偷税漏税等，需要精心设计问卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况. 某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查. 调查中准备使用两个问题：问题1：你的公历生日日期是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个黑球的袋子. 每个被调查者随机从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到黑球的学生如实回答第二个问题，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且摸到的是白球还是黑球也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案． （1）为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为，求的分布列和数学期望； （2）设事件“被调查者吸烟”. （Ⅰ）若调查中使用了两个问题，用频率估计概率，如果200名学生中有46人回答“是”，试估计的值；（结果保留小数点后两位）(注:一年按365天计，假设被调查者的生日等可能地分布在这365天中) （Ⅱ）若调查中只使用问题2，摸到白球的学生若吸烟，则写下①，若不吸烟，则写下②；摸到黑球的学生若吸烟，则写下②，若不吸烟，则写下①．设事件“被调查者写下①”．若，判断与 的大小，并证明你的结论. 【答案】（1） X 0 1 2 3 （2）（Ⅰ） ； （Ⅱ）若 ，则． 证明如下： ， 令， ，则， ， ，所以 【解析】 【小问1详解】 抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生， 则的可能取值为0，1，2，3．， ，，． 的分布列为 X 0 1 2 3 ． 【小问2详解】 （Ⅰ）设事件“被调查者摸到白球”，事件“被调查者回答“是””， 由题意得， ， 当时， . 18. 某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） （1）由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； （2）求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） （3）该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 【答案】（1），相关程度很强 （2），残差为百人 （3） 【解析】 【分析】（1）求出、的值，利用公式求出相关系数的值，即可得出结论； （2）利用最小二乘法公式求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，结合残差的概念求解即可； （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为，结合全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， ， ， ， 则， 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. 【小问2详解】 ，， 故经验回归方程为. 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） 【小问3详解】 记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， . 19. 已知函数 （1）当时，求曲线在点处的切线方程 （2）当时，证明： （3）若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，，都有 恒成立，求符合条件的整数的最大值． 【答案】（1） （2）由题意得，函数的定义域为， ． 求导得， 当时，因为，所以， 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值），． 因为，所以 ，即． 当时，令， 则，令得． 在递减，在递增， 最小值． 因为，所以，， 故（当且仅当且时等号成立）． 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值） ． 综上，当时，． （3）2 【解析】 【分析】（1）求导计算切线斜率，进而求得切线方程；（2）求导并化简导函数，分析函数的符号，确定函数单调性，求得；（3）建立方程关系，变量代换，构造函数求最值. 【小问1详解】 当时，． ， 在点处，切线斜率， 由点斜式方程得切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得，函数的定义域为，． 求导得， 当时，因为，所以，: 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值），． 因为，所以 ，即． 当时，令， 则，令得． 在递减，在递增， 最小值． 因为，所以，， 故（当且仅当且时等号成立）． 当时，，； 当时，，． 故在处取极小值（最小值） ． 综上，当时，． 【小问3详解】 不符合题意； 当时，在递减，在递增， ，，，，， 有两个零点， ，故， 则，，，单调递减， ，，，单调递增， ，，，单调递减， ，，，单调递增， 此时的极小值点为，且，． 两边取对数得，，， 令，则， 代入解得，， 于是， 设，求导得， 令， ， ，，单调递增， ，，单调递减， ，，， 所以在内存在唯一零点， 使得在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值． ， ，， 故整数的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $