2027届高考数学一轮复习讲义-第六章 课时1数列的概念与简单表示法

该高中数学讲义聚焦数列概念与简单表示法，覆盖通项公式求法（归纳、an与Sn关系、累加、累乘）及周期性、单调性等核心考点，按“知识梳理-基础回顾-考点扫描”架构，通过考向分类、例题精讲、规律总结、对点训练，系统突破高考难点。 资料采用分层教学策略，如考点一通过例3累加法详解培养学生推理能力，考点二结合周期性例题引导建立周期模型发展模型意识，基础与提升题结合确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

课时1 数列的概念与简单表示法 一、课标要求 1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2．了解数列是自变量为正整数的一类函数. 3．掌握求数列通项公式的常用方法． 二、知识梳理 1．数列的有关概念 (1)按照 排列的一列数称为 ，数列中的每个数都叫作这个数列的 ． (2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…简记为 ，其中a1称为数列{an}的第1项(或称为 )，a2称为第2项……an称为第n项． (3)在数列{an}中，Sn＝ 叫作数列的前n项和. 2. 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式． 3. 数列的表示方法 数列可以用 来描述，也可以通过 或 来表示． 4．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ 5．数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数 无穷数列 项数 项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N* 递减数列 常数列 6. 数列的递推公式 如果已知数列的任一项an与它的前一项an－1间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式． 【拓展知识】 1．与函数的关系：数列是一种特殊的函数，定义域为N*或其有限子集数列的图象是 ． 2．周期性：若an＋k＝an(n∈N*，k为非零正整数)，则{an}为 ，k为{an}的一个周期． 3．已知数列{an}满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用 求数列的通项an． 4．已知数列{an}满足 ＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用 求数列的通项an． 5．已知a1且an+1=qan+b,则an+1+k=q(an+k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an+k}． 6．形如 (A,B,C为常数)的数列,可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． 三、基础回顾 1．判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) （1）一个确定的数列，它的通项公式可能不是唯一的．( ) （2）任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． ( ) （3）一个数列中的数是不可以重复的． ( ) （4）所有数列的第n项都能用公式表达． ( ) 2．已知数列{an} 满足an＝，则下列各数属于数列{an}中项的是(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 3．下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 4．(多选题)下列命题中，正确的有(　 　) A．数列的第k项为1＋ B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项 C．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝2n－1(n∈N*) D．若数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列 四、考点扫描 考点一 数列的通项公式 考向1 （不完全）归纳法 例1 (1) (多选题)数列1,2,1,2，…的通项公式可能为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ (2) 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式. ①－，，－，，…； ②9,99,999,9 999，…． 考向2 利用an与Sn的关系求通项an 例2 （1）已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式为 . （2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________. 规律方法： 考向3 累加法 例3 (2025·江西南昌市高三月考)若数列{an}满足a1＝1，an＋1－an－1＝2n，则an＝(　 　) A．2n＋n－2 B．2n－1＋n－1 C．2n＋1＋n－4 D．2n＋1＋2n－2 规律方法： 考向4 累乘法 例4 (2025·福建厦门二模)已知数列满足，，则的前6项和为（ ） A. B. C. D. 规律方法： 对点训练（1）已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=2nanan+1，则an=　　　　　　.  （2）若数列{an}满足an＋1－an＝lg，且a1＝1，则数列{an}的第100项为(　　) A．2 B．3 C．1＋lg 99 D．2＋lg 99 （3）已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝ . （4）在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an，则an＝________. 考点二 数列的性质 考向1 周期性 例5 (2025·浙江杭州二中高三期初考试)数列中，，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 规律方法： 考向2 单调性和最值 例6（1）已知数列满足，则“”是是递增数列的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 （2）设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围是（     ） A． B． C． D． 规律方法： 对点训练 (1)(2025·湖南益阳市5月模拟改)已知数列{an}中，a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2 026＝(　 　) A．－2　 B．－1　 C．1　 D．2 (2) 已知函数f(x)＝(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)(n∈N*)，则an的最小值为__ __。 课时1 数列的概念与简单表示法参考答案 二、知识梳理 1．(1)一定次序 数列 项 (2) 首项 (3)a1＋a2＋…＋an 2. 序号n 3. 通项公式 图象 列表 5．有限 无限 【拓展知识】 1． 一群孤立的点 2． 周期数列 3． 累加法 4． 累乘法 三、基础回顾 1．（1）√ （2） × （3） × （4） × 2．D【解析】因为数列{an}满足an＝，对于选项A，令＝3，解得n＝N*，故A不符合题意； 对于选项B，令＝2，解得n＝N*，故B不符合题意； 对于选项C，令＝3，解得n＝N*，故C不符合题意； 对于选项D，令＝4，解得n＝5∈N*，故D符合题意．故选D. 3、C【解析】对于选项A，由数列的定义易知A错误； 对于选项B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于选项C，数列的第项为，故C正确； 对于选项D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误.故选C. 4、 ABD【解析】对于选项A，数列的第k项为1＋，故A正确； 对于选项B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，故B正确； 对于选项C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)，故C错误； 对于选项D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝>0，因此数列{an}是递增数列，故D正确．故选ABD. 四、考点扫描 例1(1)ACD (2) 【解】①an＝(－1)n×，n∈N*． ② an＝10n－1，n∈N*． 例2 （1）【解析】当n＝1时，a1＝S1＝-1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n-1， an＝ （2）　【解析】由已知，可得当n＝1时，a1＝21＝2，因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n①， 故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)②. 由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，所以an＝(n≥2)，当n＝1时，不满足上式，所以an＝ 例3 A【解析】因为an＋1－an＝2n＋1，所以a2－a1＝21＋1，a3－a2＝22＋1，a4－a3＝23＋1，…，an－an－1＝2n－1＋1(n≥2)，以上各式相加得，an－a1＝21＋…＋2n－1＋n－1＝＋n－1＝2n＋n－3，所以an＝2n＋n－2，a1＝1符合上式.故选A. 例4 C【解析】由，当时， ，显然，对于时也成立，所以，则的前6项和为.故选C. 对点训练（1） 【解析】若an+1=0，则an-an+1=0，即an=an+1=0，这与a1=1矛盾，所以an+1≠0，由an-an+1=2nanan+1，两边同时除以anan+1，得-=2n，则-=2n-1，-=2n-2，…，-=22，-=2，上面的式子相加可得-=2+22+23+…+2n-1==2n-2(n≥2)，所以an=(n≥2).又a1=1符合该式，所以an=. （2）B【解析】因为an＋1－an＝lg＝lg ＝lg(n＋1)－lg n，所以a100－a99＝lg 100－lg 99，…，a3－a2＝lg 3－lg 2，a2－a1＝lg 2－lg 1，以上99个式子累加得a100－a1＝lg 100，所以a100＝lg 100＋1＝3.故选B. （3）【解析】当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以数列{an}为首项a1＝1，公比q＝－的等比数列，所以． （4）【解析】因为an＋1＝an，a1＝2，所以an≠0，所以＝，所以an＝···…···a1＝···…··2＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝2满足上式． 例5 A【解析】因为，，，令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；令，可得……可知数列是以6为周期的周期数列， 所以.故选A. 例6 （1）B【解析】当时，则，所以，即，所以是递增数列，故充分性成立； 当时，则，所以是递增数列，所以当数列是递增数列，可以大于，所以必要性不成立，所以“”是是递增数列的充分不必要条件.故选B. （2）A【解析】由题意可得恒成立，即， 即.又，，故.故选A. 对点训练 (1)A【解析】 由a1＝2，a2＝1，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，得a3＝a2－a1＝－1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－1，a6＝a5－a4＝1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝1，…则{an}是以6为周期的周期数列，所以a2 026＝a337×6＋4＝a4＝－2．故选A. (2) 【解析】 由题意得an＝＝1－．因为n为正整数，所以2n≥2,0＜≤，1－≥，所以an≥． . 学科网（北京）股份有限公司 $