第四章 课时9 解三角形的综合应用讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形综合应用，涵盖实际测量（距离、高度、角度）、边角关系转化及最值问题等核心考点，按“课标要求—知识梳理—基础回顾—考点扫描”逻辑架构，通过考点分类讲解、规律方法提炼、真题模拟演练，帮助学生构建解题框架，突破边角互化、三角恒等变换等难点。 讲义以“问题情境—模型构建—逻辑推理”为主线，如在测量高度考点中，结合铜雕测量实例，引导学生从仰角数据抽象三角形模型，运用正余弦定理计算，培养数学眼光和推理能力。设置基础巩固与能力提升分层训练，配合即时反馈，确保高效突破高频考点，助力学生提升实际问题转化能力，为教师把控复习进度提供清晰路径。

课时 9 解三角形的综合应用 一、课标要求 1．会用正弦、余弦定理解决三角形、平面图形中的复杂的边角关系. 2．会求解三角形中的最值问题． 二、知识梳理 1. 实际应用 （1）仰角和俯角:在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 时叫仰角，目标视线在水平视线 时叫俯角(如图①). 图① 图② （2）方位角: 从正北方向起按顺时针方向转到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角.如点B的方位角为 (如图②). （3）方向角: 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等. （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 2. 综合应用 （1）对于条件或结论是既含有边又含有角的三角函数形式时，求解时一是将边统一为角的三角函数值；二是将角的三角函数值统一为边． （2）对于解三角形与三角函数相结合的问题时，要注意运用三角恒等变换的有关知识，即从角，多角化单一角，整体换元；从名称，切化弦，或弦化切；从结构，降次，去根式，“1”的代换等． 三、基础回顾 1．判断正误. (正确的打“√”，错误的打“×”） （1）东北方向就是北偏东45°的方向.（ ） （2）从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. （ ） （3）俯角是铅垂线与视线所成的角，其取值范围是．（ ） （4）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．（ ） 2. 已知△ABC的外接圆半径为1，,则（ ） A. B. 1 C. D. 3．如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得点A的仰角分别是60°，30°，则点A离地面的高度AB＝ ________. 4．某中学举行升旗仪式，在坡度为15°的看台点E和看台的坡脚点A处，测得旗杆顶部的仰角分别为30°和60°，量得看台坡脚点A到点E在水平线上的射影B的距离为10 m，则旗杆的高是________m. 四、考点扫描 考点一 三角形中的证明问题 例1 (2025·河南开封市调研)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， sin(B－C)tan A＝sin Bsin C. (1)若A＝B，求sin2A的值； (2)证明：为定值. 规律方法： 对点训练 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A). (1)若A＝2B，求C的大小； (2)证明：2a2＝b2＋c2. 考点二 测量问题 考向1 测量距离问题 例2 (2025·福建厦门市模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．20 n mile D．20 n mile 规律方法： 对点训练 如图，为计算湖泊岸边两景点B与C之间的距离，在岸上选取A和D两点.现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°.根据以上条件，可求得两景点B与C之间的距离为________ km(精确到0.1 km，参考数据：sin 40°≈0.643，sin 117°≈0.891)． 考向2 测量高度问题 例3 矗立在上饶市民公园(如图①)的四门通天铜雕有着“四方迎客、通达天下”的美好寓意，也象征着上饶四省通衢，连南接北，通江达海，包容八方．如图②，某中学研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，，，且AB＝BC＝20 m，则四门通天的高度为(　　) 图① 图② A．15 m B．10 m C．6 m D．5 m 规律方法： 对点训练 如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为(　　) A.20 m B.30 m C.20 m D.30 m 考向3 测量角度问题 例4 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°.若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ=(　　) A. B.－2 C.－1 D.－1 规律方法： 对点训练 当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，则要使得它的影子最长，竹竿与地面所成的角是(　　) A.15° B.30° C.45° D.60° 课时 9 解三角形的综合应用参考答案 二、知识梳理 1. （1）上方 下方 （2）α 三、基础回顾 1．(1) √　 (2) × 【解析】 α＝β. (3) × 【解析】俯角是视线与水平线所构成的角.　 (4) √ 2．D 【解析】由正弦定理，可得， 所以，则.故选D. 3. 【解析】由已知得 4．10(3－) 【解析】由题意,得∠DEA＝45°，∠ADE＝30°，AE＝，所以AD＝＝，因此CD＝ADsin 60°＝×sin 60°＝10(3－)． 四、考点扫描 例1 (1)【解】　由题得＝sin Asin C， 因为0<A<π，所以sin A≠0，即sin Bcos C－sin Ccos B＝cos Asin C. 因为A＝B，所以sin Acos C－sin Ccos A＝cos Asin C，所以sin Acos C＝2cos Asin C. 又因为C＝π－2A，所以sin Acos(π－2A)＝2cos Asin(π－2A)，即－sin Acos 2A＝2cos Asin 2A，即－sin A(1－2sin2A)＝4sin Acos2A，整理得2sin2A－1＝4－4sin2A，解得sin2A＝. (2)【证明】　由已知条件得＝sin Bsin C， 则sin Asin Bcos C－sin Asin Ccos B＝cos Asin Bsin C，故sin Asin Bcos C＝sin C(cos Asin B＋sin Acos B)，所以sin Asin Bcos C＝sin Csin(A＋B).因为A＋B＝π－C，所以sin Asin Bcos C＝sin2C.由余弦定理得cos C＝，由正弦定理得ab·＝c2， 整理得＝3，即为定值. 对点训练(1) 【解】　由A＝2B，A＋B＋C＝π，可得A＝. 将A＝2B代入sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A). 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin C＝sin(C－A). 又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，即A＝2C－π，与A＝联立， 解得C＝. (2)【证明】　方法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 结合正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C， 即accos B＋abcos C＝2bccos A(*). 由余弦定理得，accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2. 方法二：因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. 例2　A 【解析】　依题意，如图，在△ABC中， ∠BAC＝50°－20°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，则∠ACB＝45°，AB＝40×＝20(n mile). 由正弦定理得，即，因此BC＝＝10(n mile)，所以B，C两点间的距离是10 n mile．故选A. 对点训练 5.8 【解析】　在△ABD中，有AB＝5，AD＝7，∠ABD＝60°.由余弦定理，可得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，即49＝25＋BD2－2×5×BD×，整理可得BD2－5BD－24＝0，解得BD＝8或BD＝－3(舍去)．在△BCD中，有BD＝8，∠CBD＝23°，∠BCD＝117°，所以∠BDC＝180°－∠BCD－∠CBD＝40°.由正弦定理,可得BC＝＝≈≈5.8(km)． 例3 B 【解析】　设OP＝h，则OA＝h，OB＝h，OC＝h. 在△ABO中，由余弦定理得cos∠ABO＝＝. 在△BCO中，由余弦定理得cos∠OBC＝. 因为∠ABO＋∠OBC＝π，所以＝0，即800－h2＝0， 解得h＝10，所以四门通天的高度为10 m.故选B. 对点训练　B 【解析】　由题图，可得B＝45°，∠BAC＝30°， 故BC＝＝＝30(m).故选B. 例4　C 【解析】　在△ABC中，∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－15°－135°＝30°， 由正弦定理知， 故＝50(－). 在△BDC中，，故， 所以sin∠BDC＝－1，即sin(θ＋90°)＝－1，即cos θ＝－1.故选C. 对点训练　B 【解析】　设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m. 由正弦定理，得＝， 所以x＝sin(120°－α). 因为30°<120°－α<120°， 所以当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值. 即当竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长.故选B. . 学科网（北京）股份有限公司 $