第四章 必刷小题8 解三角形讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形核心考点，涵盖正余弦定理、面积公式、边角互化、三角恒等变换及最值范围探究，按基础应用、综合判断、边角关系的逻辑层次编排。通过考向预测梳理高频考点，典例精讲指导解题方法，真题模拟强化实战训练，帮助学生系统构建知识网络。 资料以多条件融合题型和隐藏条件挖掘为特色，通过实际测量情境题（如双子塔高度计算）培养数学眼光，借助边角混合式化简题（如三角形形状判断）训练数学思维。设置单选基础、多选综合、填空提升的分层练习，配合即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第四章 三角函数与解三角形 必刷小题8　解三角形 [分值：73分] 【高考考向预测】 近三年高考解三角形为高频必考题型，常以选填小题与解答大题形式出现，核心考查正余弦定理、面积公式、边角互化、三角恒等变换及最值范围求解，多结合平面向量、实际测量情境命题；预测2027 年依旧保持核心考查地位，命题侧重多条件融合解题、边角混合式化简、三角形内取值范围与最值探究，增多隐藏条件题型，强化数形结合与分类讨论，愈发注重公式灵活变通与实际应用，常与三角函数性质综合设问，侧重考查逻辑运算与综合推演能力。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.在△ABC中，B=，AB=8，AC=7，则BC等于(　　) A.5 B.3或5 C.4 D.2或4 2.(苏教版必修第二册P101练习T4)在△ABC中，若A=60°，a=，则等于 (　　) A.2 B. C. D. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=6，b=2，cos C=，则sin B等于(　　) A. B. C. D. 4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2-c2=4，C=120°，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 5.(2025·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c-acos B=(2a-b)cos A，则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 6.(2025·南昌模拟)南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(　　) A. m B. m C. m D. m 7.在锐角△ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8.(2025·江门模拟)在△ABC中，已知∠BAC=，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S△ABD=2S△ACD，则tan B等于(　　) A. B. C. D. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2026·茂名模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A.若A=60°，a=b=2，则△ABC有一解 B.若A=30°，a=2，b=4，则△ABC无解 C.若A=150°，a=3，b=4，则△ABC有一解 D.若A=45°，a=，b=，则△ABC有两解 10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离12 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是(　　) A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D处的南偏西30° D.D在灯塔B的北偏西30° 11.如图，在平面四边形ABCD中，已知AB=1，BC=3，CD=，AD=2，B+D=π，则以下说法正确的有(　　) A.AC= B.B= C.四边形ABCD的面积为3+2 D.A=2C 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2025·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列.若7sin A=3sin C，则△ABC的面积为　　　　　.  13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C=sin2A+cos2B-sin Asin C，且b=6，则B=　　　　，△ABC外接圆的面积为　　　　.  14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=6，=，则△ABC面积的最大值为　　　　.  第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角函数与解三角形 必刷小题8　解三角形 [分值：73分] 【高考考向预测】 近三年高考解三角形为高频必考题型，常以选填小题与解答大题形式出现，核心考查正余弦定理、面积公式、边角互化、三角恒等变换及最值范围求解，多结合平面向量、实际测量情境命题；预测2027 年依旧保持核心考查地位，命题侧重多条件融合解题、边角混合式化简、三角形内取值范围与最值探究，增多隐藏条件题型，强化数形结合与分类讨论，愈发注重公式灵活变通与实际应用，常与三角函数性质综合设问，侧重考查逻辑运算与综合推演能力。 一、单项选择题(每小题5分，共40分) 1.在△ABC中，B=，AB=8，AC=7，则BC等于(　　) A.5 B.3或5 C.4 D.2或4 【答案】B 【解析】由余弦定理，得AB2+BC2-2AB·BCcos B=AC2， 即64+BC2-8BC=49，即BC2-8BC+15=0， 解得BC=3或BC=5， 经检验，均满足题意. 2.(苏教版必修第二册P101练习T4)在△ABC中，若A=60°，a=，则等于 (　　) A.2 B. C. D. 【答案】A 【解析】由正弦定理得====2， 所以= =2. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=6，b=2，cos C=，则sin B等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在△ABC中，由a=6，b=2，cos C=及余弦定理，得c==2，C为锐角，则sin C==， 所以由正弦定理得sin B===. 4.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a+b)2-c2=4，C=120°，则△ABC的面积为(　　) A. B. C. D.2 【答案】C 【解析】由(a+b)2-c2=4， 可得a2+b2-c2=4-2ab， 由C=120°，可得-=， 所以-=， 解得ab=4， 所以△ABC的面积为absin C=×4×=. 5.(2025·厦门模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c-acos B=(2a-b)cos A，则△ABC的形状为(　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】由正弦定理，得sin C-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A， 所以sin(A+B)-sin Acos B=2sin Acos A-sin Bcos A， 故cos A(sin B-sin A)=0， 所以sin A=sin B或cos A=0， 即A=B或A=， 故△ABC为等腰或直角三角形. 6.(2025·南昌模拟)南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(　　) A. m B. m C. m D. m 【答案】D 【解析】由题意可得CD=t，∠DAC=β，∠ADB=α+β， 则在Rt△ADC中，AD==， 在△ABD中，∠ABD=-α， 由正弦定理得=， 即=， 所以AB==(m). 7.在锐角△ABC中，B=60°，AB=1，则AB边上的高的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高h=asin B=a， 由正弦定理得a====+. 由△ABC为锐角三角形，可知30°<C<90°， 则tan C>，所以a=+∈， 从而h∈， 因此AB边上的高的取值范围是. 8.(2025·江门模拟)在△ABC中，已知∠BAC=，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S△ABD=2S△ACD，则tan B等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图所示，因为AD平分∠BAC，由角平分线的性质可知点D到边AB，AC的距离相等， 因为==2，设AB=2t(t>0)，则AC=t， 由S△ABC=S△ABD+S△ACD=3S△ACD可得AB·ACsin=AC·ADsin， 可得AD==， 在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos =4t2+-2×2t××=， 故BD=t， 由正弦定理可得=， 所以sin B===， 易知B为锐角，则cos B===， 所以tan B==. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 9.(2026·茂名模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　　) A.若A=60°，a=b=2，则△ABC有一解 B.若A=30°，a=2，b=4，则△ABC无解 C.若A=150°，a=3，b=4，则△ABC有一解 D.若A=45°，a=，b=，则△ABC有两解 【答案】ABD 【解析】A选项，因为A=60°，a=b=2，所以B=A=60°，故C=60°， 则△ABC是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若A=30°，a=2，b=4，由正弦定理得=，即=， 解得sin B=>1，△ABC无解，故B正确； C选项，若A=150°，a=3，b=4，由大边对大角可知B>A，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则△ABC无解，故C错误； D选项，若A=45°，a=，b=，由正弦定理得=， 即=，解得sin B=，因为b>a，所以B=60°或B=120°， 所以△ABC有两解，故D正确. 10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离12 n mile；在A处看灯塔C在货轮北偏西30°，距离8 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，则下列说法正确的是(　　) A.A处与D处之间的距离是24 n mile B.灯塔C与D处之间的距离是16 n mile C.灯塔C在D处的南偏西30° D.D在灯塔B的北偏西30° 【答案】AC 【解析】由题意可知∠ADB=60°，∠BAD=75°，∠CAD=30°，所以B=180°-60°-75°=45°，AB=12，AC=8， 在△ABD中，由正弦定理得=， 所以AD==24，故A正确； 在△ACD中，由余弦定理得 CD= = =8，故B错误； 因为CD=AC，所以∠CDA=∠CAD=30°， 所以灯塔C在D处的南偏西30°，故C正确； 由∠ADB=60°，可知D在灯塔B的北偏西60°，故D错误. 11.如图，在平面四边形ABCD中，已知AB=1，BC=3，CD=，AD=2，B+D=π，则以下说法正确的有(　　) A.AC= B.B= C.四边形ABCD的面积为3+2 D.A=2C 【答案】AB 【解析】连接AC，如图， 对于A，B，在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B， 即AC2=1+9-2×1×3cos B=10-6cos B， 在△ACD中，由余弦定理可得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos D， 即AC2=4+6-2×2×cos D=10-4cos(π-B)=10+4cos B， 整理可得4AC2+AC2=40+10，解得AC=(负值舍去)，故A正确； 可知AB2+BC2=AC2，则B=，故B正确； 对于C，D，可得D=，所以四边形ABCD的面积为×1×3+×2×=+，故C错误； 在△ABC中，可得cos∠BCA=，sin∠BCA=， 在△ACD中，可得cos∠DCA=，sin∠DCA=， 则cos∠BCD=cos(∠BCA+∠DCA) =cos∠BCAcos∠DCA-sin∠BCAsin∠DCA =-， 若∠BAD=2∠BCD，注意到∠BAD+∠BCD=π， 则∠BCD=，可得cos∠BCD=≠-， 不符合题意，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 12.(2025·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列.若7sin A=3sin C，则△ABC的面积为　　　　　.  【答案】 【解析】因为a，b，c成公差为2的等差数列，所以c=a+4. 因为7sin A=3sin C，由正弦定理可得7a=3c， 解得a=3，b=5，c=7， 由余弦定理可得 cos C===-， 因为C∈(0，π)，所以C=， 所以△ABC的面积为absin C=×3×5×sin=. 13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C=sin2A+cos2B-sin Asin C，且b=6，则B=　　　　，△ABC外接圆的面积为　　　　.  【答案】　12π 【解析】由cos2C=sin2A+cos2B-sin Asin C， 可得1-sin2C=sin2A+1-sin2B-sin Asin C， 即sin2A+sin2C-sin2B=sin Asin C， 则由正弦定理得ac=a2+c2-b2， 由余弦定理得cos B==， 又因为B∈(0，π)，可得B=， 设△ABC外接圆的半径为R，则R==2， 所以△ABC外接圆的面积为πR2=12π. 14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=6，=，则△ABC面积的最大值为　　　　.  【答案】12 【解析】由=，由正弦定理得=，即(b-2a)(b+3a)=0， 所以b=2a， 由余弦定理得cos C==， 所以sin C== =， 所以S△ABC=absin C =a2· =， 当a2=20，即a=2时，S△ABC取得最大值12. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $