第三章 课时5 利用导数研究不等式恒（能）成立讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦“利用导数研究不等式恒（能）成立”核心考点，涵盖分离参数求范围、参数讨论函数最值、端点问题及双变量问题四大考向，按问题类型构建知识体系。通过考情分析明确考查要求，考点扫描结合例题精讲、规律方法总结及对点训练，帮助学生系统突破难点，体现复习的针对性与逻辑性。 资料以高考真题为载体设计分层教学活动，如例1通过构造函数求最值培养数学思维，例4将双变量问题转化为最值比较提升逻辑推理能力。配套即时训练与详细解析，确保学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

课时5 利用导数研究不等式恒（能）成立 一、考情分析 恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大． 二、考点扫描 考点一 分离参数求参数范围 例1 (2026·湖南邵阳市二联节选)设函数f(x)＝m(x＋1)ex，m＞0．若对任意x∈(－1，＋∞)，ln f(x)≤2ex恒成立，求m的最大值． 规律方法： 对点训练 已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.若存在x∈(0，＋∞)，使得不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求实数a的取值范围． 考点二 根据参数讨论函数最值 例2 （2026·湖南衡阳市期末节选）已知函数.若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 规律方法： 对点训练 设函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋aln x(a∈R).若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围. 考点三 与端点有关的恒成立 例3（2026·山西实验中学月考节选）已知函数.若对任意，求实数的取值范围. 考点四 双变量的恒(能)成立问题 例4 (2024·四川成都市诊断节选)设函数f(x)＝(x－1)(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R．若∀x2∈[0，＋∞)，∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的最大值． 课时5 利用导数研究不等式恒（能）成立参考答案 二、考点扫描 例1 【解】 ln f(x)≤2ex对∀x∈(－1，＋∞)恒成立， 即ln m≤2ex－ln(x＋1)－x对∀x∈(－1，＋∞)恒成立． 令g(x)＝2ex－ln(x＋1)－x，x∈(－1，＋∞)，则只需ln m≤g(x)min即可． g′(x)＝2ex－－1，x∈(－1，＋∞)． 易知y＝2ex，y＝－－1均在(－1，＋∞)上单调递增， 故g′(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 又g′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． 所以g(x)min＝g(0)＝2，故ln m≤2＝ln e2， 所以0＜m≤e2，故m的最大值为e2． 对点训练 【解】　若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立， 则ax≤(x>0)，即a≤(x>0)，则问题转化为a≤(x>0). 令h(x)＝，x>0，h′(x)＝＝， 当0<x<时，h′(x)>0，当x>时，h′(x)<0， 所以函数h(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减， 所以h(x)max＝h()＝，所以a≤. 例2 【解】若，不等式恒成立，则，. 当时，对于，，所以在上单调递增， 所以时，，即满足题意； 当时，若，则，在上单调递减， 所以，与矛盾，不合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 对点训练 【解】　f′(x)＝，x＞0， 由题意f(x)≥1，则f(x)min≥1. (1)当a≤0时，令f′(x)＞0，得x＞1； 令f′(x)＜0，得0＜x＜1， 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f(x)min＝f(1)＝－a－1， 所以－a－1≥1，即a≤－2. (2)当a＞0时，存在f(1)＝－a－1＜0，不满足题意， 可知a＞0时，f(x)≥1不恒成立. 综上，a≤－2. 故实数a的取值范围是(－∞，－2]. 例3 【解】 对任意，即， 设. ①当时，在上单调递增，单调递增， ，成立； ②当时，令在上单调递增， 在上单调递增， ，成立； ③当时，当时，单调递减， 单调递减， ，不成立.综上可知. 例4 【解】 ∀x2∈[0，＋∞)，∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，等价于f(x1)min≤g(x2)min． 当x＜1时，x－1＜0，ex－e＜0，所以f(x)＞0； 当x≥1时，x－1≥0，ex－e≥0，所以f(x)≥0， 所以f(x)≥0恒成立，当且仅当x＝1时，f(x)min＝0， 所以∀x2∈[0，＋∞)，g(x2)≥0恒成立，即ex－ax－1≥0(x≥0)． 当x＝0时，ex－ax－1＝0； 当x＞0时，由ex－ax－1≥0，得a≤恒成立． 记h(x)＝ex－x－1，x＞0，则h′(x)＝ex－1＞0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又h(0)＝0，所以h(x)＝ex－x－1＞0恒成立，即ex－1＞x， 所以＞1(x＞0)，所以a≤1． 所以a的最大值为1． . 学科网（北京）股份有限公司 $