第十八章 培优大单元任务群三【培优本】2025-2026学年八年级数学下册华东师大版

**基本信息** 以平行四边形及特殊平行四边形为核心，通过母题-变式练结构，系统提炼线段长、角度等计算及证明的解题方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形性质应用（求线段长等6子任务）|每子任务1母题+1变式练|勾股定理、全等证明、分类讨论等|从平行四边形性质出发，逐步拓展到线段、角度、面积等应用| |特殊平行四边形计算（矩形等3子任务）|每子任务1母题+1变式练|垂直平分线性质、等边三角形判定等|以平行四边形为基础，深化矩形、菱形、正方形特殊性质的计算应用|

培优大单元任务三 任务一　平行四边形的性质的应用 子任务1　求线段长 母题1　如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,交BD于点O,则BD的长为　 　.  变式练1：如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交CD边于点E,AD=6,EC=4,则AB的长为　 　.  子任务2　求角度 母题2　如图,在▱ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠BHF= ( ) A.71° B.61° C.29° D.51° 【关键点拨】 解法一 解法二 变式练2：如图,E是平行四边形ABCD的边BC上一点,且AB=BE,连接AE并延长,与DC的延长线交于点F.若∠D=40°,则∠F的度数是 ( ) A.30° B.40° C.50° D.70° 子任务3　求周长 母题3　在平行四边形ABCD中,BC边上的高为4,AB=5,AC=6,则平行四边形ABCD的周长等于　 　.  【关键点拨】 变式练3：如图,小宇将一张平行四边形纸片折叠,使点A落在长边CD上的点A'处,并得到折痕DE,小宇测得长边CD=8,则四边形A'EBC的周长为 ( ) A.16 B.18 C.20 D.22 子任务4　求面积 母题4　如图,若▱ABCD的周长为36,过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4,DF=5,求▱ABCD的面积. 【关键点拨】 变式练4：如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E为BC边上的一点,且CE=2BE.若四边形ABEO的面积为3,则平行四边形ABCD的面积为　 　.  子任务5　求坐标 母题5　在平面直角坐标系中,点A(-1,0),B(0,2),以A,B,O为顶点作平行四边形,第四个顶点的坐标不可能是 ( ) A.(-1,2) B.(1,2) C.(1,-2) D.(-1,-2) 【关键点拨】 变式练5：如图,▱OABC的顶点O,A,C的坐标分别是(0,0),(4,0),(1,2),则顶点B的坐标为 ( ) A.(4,2) B.(4,3) C.(5,2) D.(5,3) 子任务6　证明线段或角相等 母题6　如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H. 求证:AG=CH. 变式练6：如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是边BC,AD的中点,求证:∠ABF=∠CDE. 任务二　特殊的平行四边形的有关计算 子任务1　矩形的有关计算 母题7　如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线的交点O作EF⊥AC,交AD于点E,交BC于点F,求DE的长. 【关键点拨】 变式练7：如图,O为矩形ABCD的对角线的交点,DF平分∠ADC交AC于点E,交BC于点F,∠BDF=15°,则∠COF=　 　°.  子任务2　菱形的有关计算 母题8　已知一菱形的周长为4,两条对角线长的和为6,则该菱形的面积为　 　.  变式练8：如图,菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,E为AB的中点,F为CE的中点,AF与DE相交于点G,则GF的长等于 ( ) A.1 B. C. D. 子任务3　正方形的有关计算 母题9　如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为18,则OF的长为 ( ) A.3 B. C.4 D. 变式练9：如图,E为正方形ABCD外一点,且ED=CD,连接AE,交BD于点F.若∠CDE=40°,则∠DCF的度数为 ( ) A.23° B.24° C.25° D.26° 参考答案 母题1　4　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD=6,OB=DO,OA=OC. ∵AC⊥BC,AB=10, ∴AC==8, ∴OC=4, ∴OB===2, ∴BD=4. 故答案为4. 变式练1　10　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BA∥CD,AB=CD, ∴∠DEA=∠EAB. ∵AE平分∠DAB, ∴∠DAE=∠EAB, ∴∠DAE=∠DEA, ∴DE=AD=6, ∴CD=CE+DE=4+6=10, ∴AB=10. 故答案为10. 母题2　B　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ADC=∠ABC. ∵∠ADC=119°, ∴∠ABC=119°. ∵BE⊥DC,DF⊥BC,CD∥AB, ∴∠BED=90°,∠HFB=90°,∠BED+∠EBA=180°, ∴∠EBA=90°, ∴∠HBF=29°, ∴∠BHF=61°. 故选B. 变式练2　D　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∠D=40°, ∴∠B=∠D=40°,DC∥AB. ∵AB=BE, ∴∠BAE=∠BEA, ∴∠BAE+∠BEA=2∠BAE=180°-40°=140°, ∴∠BAE=70°. ∵DC∥AB, ∴∠F=∠BAE=70°. 故选D. 母题3　4+16或4+4　【解析】分两种情况: ①如图1所示, ∵在▱ABCD中,BC边上的高AE为4,AB=5,AC=6, ∴CD=AB=5,AD=BC,EC==2,BE==3, ∴AD=BC=2+3, ∴▱ABCD的周长=2(AB+BC)=4+16; ②如图2所示, 同①得EC=2,BE=3, ∴AD=BC=2-3, ∴▱ABCD的周长=2(AB+BC)=4+4. 综上所述,▱ABCD的周长为4+16或4+4. 故答案为4+16或4+4. 变式练3　A　【解析】根据折叠的性质,得到DA=DA',EA=EA'. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DA=DA'=BC,AB=CD=8, ∴四边形A'EBC的周长为BC+BE+A'E+A'C=A'D+A'C+AE+BE=AB+CD=2CD=16. 故选A. 母题4　【解析】∵▱ABCD的周长为36, ∴AB+BC=18.① ∵过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,且DE=4,DF=5, ∴4AB=5BC.② 由①②得AB=10,BC=8, ∴▱ABCD的面积为AB·DE=40. 变式练4　9　【解析】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴S△ABO=S△BOC=S△AOD=S△DOC=S▱ABCD. 在△BOC中,CE=2BE, ∴S△BOE=S△BOC=S▱ABCD, ∴四边形ABEO的面积是平行四边形ABCD面积的, ∴平行四边形ABCD的面积为9. 故答案为9. 母题5　C　【解析】设第四个顶点C的坐标为(x,y). ①当BC=AO时, ∵O(0,0),A(-1,0),B(0,2), ∴AO=1, ∴BC=1, ∴C点的坐标为(1,2)或(-1,2); ②当BO=AC时, ∵BO=2, ∴AC=2, ∴C点的坐标为(-1,-2). 故选C. 变式练5　C　【解析】在▱OABC中,O(0,0),A(4,0), ∴OA=BC=4. ∵BC∥AO, ∴点B的纵坐标与点C的纵坐标相等, ∴顶点B的坐标为(4+1,2), 即B(5,2). 故选C. 母题6　【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,∠A=∠C, ∴∠E=∠F. 又∵BE=DF,AF=AD+DF,CE=CB+BE, ∴AF=CE. 在△CEH和△AFG中, ∴△AFG≌△CEH(ASA), ∴AG=CH. 变式练6　【证明】在▱ABCD中, AD=BC,AB=CD,∠A=∠C. ∵E,F分别是边BC,AD的中点, ∴AF=CE. 在△ABF与△CDE中, ∴△ABF≌△CDE(SAS), ∴∠ABF=∠CDE. 母题7　【解析】如图所示,连接CE. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC. 又∵EF⊥AC, ∴EF是AC的垂直平分线, ∴AE=CE. 设DE=x,则CE=AE=8-x. 在Rt△CDE中,由勾股定理得x2+62=(8-x)2, 解得x=, 即DE=. 变式练7　75　【解析】∵DF平分∠ADC, ∴∠CDF=45°, ∴△CDF是等腰直角三角形, ∴CD=CF. ∵∠BDF=15°, ∴∠CDO=∠CDF+∠BDF=45°+15°=60°. 在矩形ABCD中,OD=OC, ∴△OCD是等边三角形, ∴OC=CD,∠OCD=60°, ∴OC=CF,∠OCF=90°-∠OCD=90°-60°=30°. 在△COF中,∠COF=×(180°-30°)=75°. 故答案为75. 母题8　4　【解析】如图所示. ∵两条对角线的和为6, ∴AC+BD=6. ∵菱形的周长为4, ∴AB=,AC⊥BD,AO=AC,BO=BD, ∴AO+BO=3, ∴AO2+BO2=AB2,(AO+BO)2=9, 即AO2+BO2=5,AO2+2AO·BO+BO2=9, ∴2AO·BO=4, ∴菱形的面积=AC·BD=2AO·BO=4. 故答案为4. 变式练8　D　 【解析】如图,过点F作FH∥CD,交DE于点H,过点C作CM⊥AB,交AB的延长线于点M,连接FB. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=CD=BC=2,AB∥CD, ∴FH∥AB, ∴∠FHG=∠AEG. ∵F是CE的中点,FH∥CD, ∴H是DE的中点, ∴FH是△CDE的中位线, ∴FH=CD=1. ∵E是AB的中点, ∴AE=BE=1, ∴AE=FH. ∵∠AGE=∠FGH, ∴△AEG≌△FHG(AAS), ∴AG=FG. ∵AD∥BC, ∴∠CBM=∠DAB=60°. 在Rt△CBM中,∠BCM=30°, ∴BM=BC=1,CM==, ∴BE=BM. ∵F是CE的中点, ∴FB是△CEM的中位线, ∴BF=CM=,FB∥CM, ∴∠EBF=∠M=90°. 在Rt△AFB中,由勾股定理得AF===, ∴GF=AF=. 故选D. 母题9　B　【解析】∵四边形ABCD是正方形, ∴∠DCE=90°,OD=OB,BC=CD. ∵DF=FE, ∴CF=FE=FD. ∵EC+EF+CF=18,EC=5, ∴EF+FC=13,∴DE=EF+FD=13, ∴DC==12, ∴BC=CD=12, ∴BE=BC-EC=7. ∵OD=OB,DF=FE, ∴OF=BE=. 故选B. 变式练9　C　【解析】∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=AD=CD=CB,∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°, ∴∠ADF=∠ABF=∠CBF=∠CDF=45°. ∵ED=CD,∠CDE=40°, ∴AD=ED,∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+40°=130°, ∴∠DAF=∠DEF=(180°-∠ADE)=×(180°-130°)=25°. 在△ADF和△CDF中, ∴△ADF≌△CDF(SAS), ∴∠DAF=∠DCF=25°. 故选C. 第 14 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $