第十三章 三角形 -2026-2027学年人教版八年级数学上册考点解惑

该初中数学第十三章三角形复习讲义以思维导图为统领，系统梳理三角形的概念、分类、与线段相关的性质（三边关系、高、中线、角平分线）及内角外角定理，通过表格归纳“A字模型”“8字模型”等常见几何模型结论，构建“概念-性质-应用”的递进知识脉络，突出三边关系、内角和定理等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如“等腰三角形边长分类讨论”强化推理意识，中等题“网格作图”培养几何直观，优质题“新定义‘准互余三角形’”发展创新意识。每个题型配解题示例与易错点分析，帮助基础薄弱学生掌握方法，优秀学生深化思维，为教师实施分层教学提供精准素材。

第十三章 三角形 思维导图 13.1 三角形的概念 13.1.1 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。三角形有三个顶点、三条边、三个内角，三个顶点是三角形中每两条线段的公共端点，三条边是组成三角形的三条线段，三个内角是三角形中相邻两条边所夹的角。 三角形的表示方法：通常用符号“△”表示三角形，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。△ABC的三边可以表示为AB、BC、AC，也可以用小写字母表示，通常顶点A对边a，顶点B对边b，顶点C对边c。 13.1.2 三角形的分类 三角形可以按照内角大小分类，也可以按照边的长短关系分类： 1. 按内角大小分类： · 锐角三角形：三个内角都小于90°的三角形 · 直角三角形：有一个内角等于90°的三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边 · 钝角三角形：有一个内角大于90°小于180°的三角形 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2. 按边的关系分类： · 不等边三角形：三边都不相等的三角形 · 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，等腰三角形两个底角相等 等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边都相等，三个内角也都相等，每个内角都是60°。 13.1.3 三角形的计数方法 当多个三角形组合在同一个图形中时，可以按照一定的顺序计数，避免重复或遗漏：可以按顶点顺序依次计数，也可以按基本三角形的个数从小到大计数，即先数单个的基本三角形，再数由两个基本三角形组成的三角形，依此类推，最后相加得到总数。 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的三边关系 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。 三边关系的理论依据是两点之间线段最短，这个性质是判断三条线段能否组成三角形的依据，判断时只需要验证较短的两条线段之和大于最长的线段即可，因为此时另外两个不等式“短边+最长边＞中边”“中边+最长边＞短边”自然成立。 三边关系的应用： · 判断给定三条线段能否围成三角形 · 已知三角形两边长度，求第三边的取值范围 · 解决等腰三角形边长、周长相关的分类讨论问题，需要验证得到的边长是否满足三边关系，排除不能构成三角形的情况 示例：已知等腰三角形两边长为3和7，求周长。若腰长为3，底边长为7，因为3+3＜7，不满足三边关系，舍去；若腰长为7，底边长为3，7+3＞7，满足三边关系，周长为7+7+3=17。 13.2.2 三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高。 三角形高的性质： · 三角形有三条高，三条高所在直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心 · 锐角三角形的三条高都在三角形内部，交点也在三角形内部 · 直角三角形的两条直角边互为高，三条高的交点在直角三角形的直角顶点处 · 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线的交点在三角形外部 表示方法：若AD是△ABC中BC边上的高，则AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°。 13.2.3 三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边的中线。 三角形中线的性质： · 三角形有三条中线，都在三角形内部，三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心 · 三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，因为这两个小三角形等底同高，所以面积相等 · 三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍 表示方法：若AD是△ABC中BC边上的中线，则BD=DC=½BC。 13.2.4 三角形的角平分线 定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形角平分线的性质： · 三角形有三条角平分线，都在三角形内部，三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心 · 注意区分三角形的角平分线和角的平分线：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线 表示方法：若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠CAD=∠BAC。 13.2.5 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，即当三角形三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生改变。四边形及其他多边形不具有稳定性，边长确定后形状仍然可以改变。 三角形稳定性的应用：生活中很多需要固定结构的地方都利用了三角形稳定性，比如桥梁支架、起重机底座、自行车车架、窗框的固定斜条等；对于不稳定的多边形，可以通过添加对角线将其分割为多个三角形，增强结构稳定性。 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形内角和定理 定理：任意三角形的三个内角和等于180°。 验证与证明：常用的证明方法是通过添加平行线，将三个内角平移拼接成一个平角，利用平角等于180°证明结论，比如过三角形一个顶点作对边的平行线，利用平行线的性质将另外两个内角转移到顶点处，得到和为平角。 内角和定理的应用： · 已知三角形两个内角的度数，求第三个内角的度数 · 根据三个内角的比例关系，求出每个内角的度数，判断三角形的类型 · 在多个三角形组合的图形中，结合对顶角、平行线等性质求解未知角的度数 13.3.2 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和等于90°。 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，如果一个三角形中两个内角和为90°，那么第三个内角必然是90°，该三角形为直角三角形。 其他性质：直角三角形斜边大于任意一条直角边，后续会学习勾股定理，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 13.3.3 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 三角形外角的特点： · 三角形每个顶点处都有两个外角，这两个外角是对顶角，大小相等 · 一个三角形共有6个外角，每个顶点取一个外角，共3个不同顶点的外角 · 外角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形的一边，另一条边是三角形另一边的延长线 13.3.4 三角形外角的性质 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这个性质由三角形内角和定理推导而来，可以用来求解外角或内角的度数。 性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，这个性质可以用来比较角的大小关系。 性质3：三角形的外角和等于360°，这里的外角和指的是每个顶点取一个外角，三个外角的和为360°。 13.3.5 三角形内角与外角常见模型结论 模型名称 图形结构 核心结论 "A"字模型 DE∥BC，截△ABC形成A字形 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A+∠ADE+∠AED=180° 8字模型 两条线段相交，连接两端形成8字形 ∠A+∠B=∠C+∠D 飞镖模型 四个点形成凹四边形，外形类似飞镖 凹角等于三个锐角的和，即∠BDC=∠A+∠B+∠C 角平分线模型（双内平分线） 两条内角平分线交于一点P ∠BPC=90°+∠A 角平分线模型（双外平分线） 两个外角平分线交于一点P ∠BPC=90°-∠A 角平分线模型（一内一外平分线） 一条内角平分线与一条外角平分线交于一点P ∠BPC=∠A 13.3.6 知识点应用常见题型 1. 角度计算：结合内角和定理、外角性质，求解三角形中未知角的度数，需要注意利用角平分线、高线的定义得到角之间的数量关系。 2. 三角形分类判断：根据角度关系或边长关系判断三角形属于哪种类型，比如根据三个角的度数比为1:2:3，可以算出三个角分别为30°、60°、90°，得到直角三角形。 3. 证明角的大小关系或等量关系：利用外角大于不相邻内角证明不等关系，利用外角性质、内角和定理证明等量关系。 【类型一】三角形的认识 1．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 2．下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 3．如图，在中， ，若的周长为，则______． 【类型二】三角形的个数 1．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 3．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【类型三】三角形的分类 1．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 3．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【类型四】等腰三角形的定义 1．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 2．若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知它的腰长是其底边长的2倍，则它的腰长为______． 【类型五】构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 2．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 3．已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【类型六】三角形的中线 1．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 3．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【类型七】三角形的角平分线 1．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【类型八】三角形的高 1．如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 2．如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 3．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【类型九】三角形的内角 1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，直线，点A在直线n上，点B，C在直线m上，连接，，若，则（     ） A． B． C． D． 3．在中，，则________． 【类型十】三角形的外角 1．如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点．①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确的有（     ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③ 3．如图，若，，，则_________________． 【类型十一】直角三角形的性质与判定 1．如图，三角尺的顶点，分别在直线，上，若，且平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 3．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【类型一】三角形三边关系的应用 1．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 2．等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（     ） A．8 B． C．8或 D．8或或4 3．三角形两边长为和，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为______． 【类型二】三角形中线平分面积 1．如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【类型三】平行线与三角形内角和问题 1．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 2．实践课上，淇淇利用如图所示的四边形纸片做折纸游戏，其中，，，淇淇将纸片沿对折后点恰好落在上的点处． (1)猜想与的位置关系，并说明理由． (2)求的大小． 3．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【类型四】中线、高、角平分线夹角问题 1．如图，在中，是的平分线．，于点，求的度数． 2．在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 3．如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【类型五】三角形的三种折叠问题 1．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 2．如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 3．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 【类型六】网格作图 1．如图，点是的边上的点，点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，每个小正方形边长为． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)线段、的大小关系是__________，理由__________． (3)将三角形向右平移，再向下平移，画出平移后的三角形． 2．如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)作边上的高线，垂足为D； (2)在边上取一点E，连接，使得平分的面积； (3)的面积为_________． 3．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 【类型七】证明边角大小关系 1．如图，点在射线上，比较，和的大小关系，并证明你的结论． 2．如图，点P是内一点，连接、、．试说明：． 3．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【类型八】平面直角坐标系中三角形的面积 1．如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_____，______，三角形的面积是______； (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 2．在平面直角坐标系中，为原点，点，，．将点向右平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应点． (1)求的面积； (2)若线段的长为5，求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使的面积等于的面积的？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点，两点，点在直线上． (1)阅读并填空 ①过点作轴于点，可以由、的坐标，直接得出的面积为 ； ②过C作轴于点，的面积，的面积 ；（用含的式子表示） ③的面积的面积的面积，得到关于的一元一次方程，解方程可得点B的坐标为 ． (2)如图，请仿照（1）中的方法，求出点的纵坐标． (3)若点，且的面积等于24，求出的值． 【类型一】三边关系化简绝对值 1．已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 2．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 3．已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【类型二】三角形的三种角平分线 1．如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 2．探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则的度数为__________； (2)如图2，，，分别是，三等分线中的一条，，，求的度数； (3)小明利用图3进行了深入探究： ①若是两个外角与的平分线和的交点，则与的数量关系为__________； ②若是两个外角与其中一条等分线和的交点，，，，则的度数为_____________（用含，的代数式表示）． 3．综合实践 (1)【项目模型】如图，直线与直线相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．连接，和的平分线交于点．探究与之间的数量关系． ①【特例发现】当时，______°，时，_______°； ②【规律探索】当的度数为时，求的度数；（用含的代数式表示） (2)【拓展应用】如图2．当时，和的平分线交于点，和的平分线交于点，在点和点的运动过程中，当的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出的度数． 【类型三】平行线的折线问题 1．已知直线，E是直线上一点，点O，F是平面内两点，且满足． (1)如图①，点F在直线上，点O在直线的上方，延长与交于点G，若，求的度数； (2)如图②，点O在直线上，且位于点E右侧，点F位于直线与之间，过点F作交直线于点G．求证：． 2．在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的，）摆放在画有两条平行直线的纸面上进行操作探究．    (1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出与，之间的数量关系； (2)小明移动三角板按如图2摆放，当平分时，发现和存在特殊的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由； (3)小明继续移动三角板，使顶点A落在直线上，如图3，分别画出和的平分线相交于点E，多次移动三角板位置（保持顶点A在直线上），经度量并计算发现都等于，请问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且又不等于的图形． 3．如图，，是直线上一点，是直线上一点． 问题提出 （1）如图1，是直线上一点，是线段上一点，连接，若，，则 问题探究 （2）如图2，，平分，平分，请计算的度数． 问题解决 （3）如图3，平分，延长到点，且平分，若，请你探究与之间的关系，并说明理由（用含的式子表示）． 【类型四】数量关系问题 1．综合与探究 问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系.已知，在中，，是的角平分线，点是边上的点，.请探究与之间的数量关系. 特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图1，若，求此时和的度数； ②勤奋小组发现无论是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间的关系始终不变.请写出与之间的数量关系，并根据图2证明你的结论； 深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，中，，.作的外角的平分线，与的延长线交于点，点是线段延长线上的点，.请在图3中补全图形，并直接写出此时与之间的数量关系. 2．已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 3．问题背景：如图，已知，李老师说，，存在某种数量关系，小明同学经过认真思考，得出了结论， (1)请直接写出，，存在的数量关系． (2)问题探究：爱动手实践的小芳同学有一块如图七巧板，小芳同学发现，，，存在某种确定的数量关系，请写出你发现的，，，存在的数量关系，并写出证明过程． (3)拓展应用：如图，若，，，，请直接写出度数（用表示）． 【类型五】平行求t 问题 1．将一副三角板如图1所示摆放，直线． (1)如图2，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，三角板不动，设旋转时间为t秒，当第一次旋转到时，t的值是多少？ (2)若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次旋转到时，t的值是多少？ (3)若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 2．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线上，，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（）． ①若三角板保持不动，作的平分线，当时，求t的值； ②若三角板同时绕点B以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 3．已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与三角板的一条边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【类型六】动点求t问题 1．如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 2．在长方形中，，；F，E分别为，边上的点，且满足．点P为一动点，从点E出发，沿折线，到点F后终止运动，它的速度为1个单位每秒．设点P运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长度（填空）； 解：当P在线段上运动时，即当时． 点P走的路程为起点E至终点P之间的线段的长度，该路程也等于点P的运动速度点P的运动时间t，即，． (2)当时，连接，；用含t的代数式表示的面积； (3)在整个运动过程中，当的取值范围是_____时，有最大值，其最大值为_____； (4)当时，连接，，．直接用含t的代数式表示的面积_____． 3．如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 【类型七】三角形的新定义 1．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 2．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则_____°； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 3．新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 【类型八】八字形 1．如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 2．如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有______个，以点为交点的“8字型”有______个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 3．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图点B在上，，，，则的度数是_______． 6．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知一个三角形的三边长分别为3，6，，若为奇数，则的值可以为________．(写出一个即可) 7．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是______． 8．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，，平分求与的度数． 9．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 10．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广西南宁·期中）抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知三角形的三边长分别为2，5，a（a为整数），则a的值可以为________．（填一个即可） 6．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 7．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______ ． 8．（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 10．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 1．（25-26七年级下·全国·期末）已知的三边长为，，，其中，，则的值不可能是（     ） A．4 B．7 C．10 D．11 2．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，是的角平分线，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山西大同·期末）请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，将沿边所在的直线向右平移得到，若，，则的度数是__________． 6．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 8．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知：如图，在三角形中，，平分，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，．求证：． 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据． 证明：∵平分， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）按要求解答问题： (1)如图（1），在中，，点在线段上（点不与端点、重合），连接，作，交线段于点． ①当时，__________，__________； ②当点在线段上（点不与端点、重合）运动时，与相等吗，请说明理由； (2)如图（2），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，设，．则与的数量关系为__________________________． (3)如图（3），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，请直接写出此时与之间的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 三角形 思维导图 13.1 三角形的概念 13.1.1 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。三角形有三个顶点、三条边、三个内角，三个顶点是三角形中每两条线段的公共端点，三条边是组成三角形的三条线段，三个内角是三角形中相邻两条边所夹的角。 三角形的表示方法：通常用符号“△”表示三角形，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。△ABC的三边可以表示为AB、BC、AC，也可以用小写字母表示，通常顶点A对边a，顶点B对边b，顶点C对边c。 13.1.2 三角形的分类 三角形可以按照内角大小分类，也可以按照边的长短关系分类： 1. 按内角大小分类： · 锐角三角形：三个内角都小于90°的三角形 · 直角三角形：有一个内角等于90°的三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边 · 钝角三角形：有一个内角大于90°小于180°的三角形 其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2. 按边的关系分类： · 不等边三角形：三边都不相等的三角形 · 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角，等腰三角形两个底角相等 等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边都相等，三个内角也都相等，每个内角都是60°。 13.1.3 三角形的计数方法 当多个三角形组合在同一个图形中时，可以按照一定的顺序计数，避免重复或遗漏：可以按顶点顺序依次计数，也可以按基本三角形的个数从小到大计数，即先数单个的基本三角形，再数由两个基本三角形组成的三角形，依此类推，最后相加得到总数。 13.2 与三角形有关的线段 13.2.1 三角形的三边关系 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。 三边关系的理论依据是两点之间线段最短，这个性质是判断三条线段能否组成三角形的依据，判断时只需要验证较短的两条线段之和大于最长的线段即可，因为此时另外两个不等式“短边+最长边＞中边”“中边+最长边＞短边”自然成立。 三边关系的应用： · 判断给定三条线段能否围成三角形 · 已知三角形两边长度，求第三边的取值范围 · 解决等腰三角形边长、周长相关的分类讨论问题，需要验证得到的边长是否满足三边关系，排除不能构成三角形的情况 示例：已知等腰三角形两边长为3和7，求周长。若腰长为3，底边长为7，因为3+3＜7，不满足三边关系，舍去；若腰长为7，底边长为3，7+3＞7，满足三边关系，周长为7+7+3=17。 13.2.2 三角形的高 定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高。 三角形高的性质： · 三角形有三条高，三条高所在直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心 · 锐角三角形的三条高都在三角形内部，交点也在三角形内部 · 直角三角形的两条直角边互为高，三条高的交点在直角三角形的直角顶点处 · 钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线的交点在三角形外部 表示方法：若AD是△ABC中BC边上的高，则AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°。 13.2.3 三角形的中线 定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形这边的中线。 三角形中线的性质： · 三角形有三条中线，都在三角形内部，三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心 · 三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的小三角形，因为这两个小三角形等底同高，所以面积相等 · 三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍 表示方法：若AD是△ABC中BC边上的中线，则BD=DC=½BC。 13.2.4 三角形的角平分线 定义：三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 三角形角平分线的性质： · 三角形有三条角平分线，都在三角形内部，三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心 · 注意区分三角形的角平分线和角的平分线：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线 表示方法：若AD是△ABC的角平分线，则∠BAD=∠CAD=∠BAC。 13.2.5 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，即当三角形三边长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定，不会发生改变。四边形及其他多边形不具有稳定性，边长确定后形状仍然可以改变。 三角形稳定性的应用：生活中很多需要固定结构的地方都利用了三角形稳定性，比如桥梁支架、起重机底座、自行车车架、窗框的固定斜条等；对于不稳定的多边形，可以通过添加对角线将其分割为多个三角形，增强结构稳定性。 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1 三角形内角和定理 定理：任意三角形的三个内角和等于180°。 验证与证明：常用的证明方法是通过添加平行线，将三个内角平移拼接成一个平角，利用平角等于180°证明结论，比如过三角形一个顶点作对边的平行线，利用平行线的性质将另外两个内角转移到顶点处，得到和为平角。 内角和定理的应用： · 已知三角形两个内角的度数，求第三个内角的度数 · 根据三个内角的比例关系，求出每个内角的度数，判断三角形的类型 · 在多个三角形组合的图形中，结合对顶角、平行线等性质求解未知角的度数 13.3.2 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余，即两个锐角的和等于90°。 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，如果一个三角形中两个内角和为90°，那么第三个内角必然是90°，该三角形为直角三角形。 其他性质：直角三角形斜边大于任意一条直角边，后续会学习勾股定理，即直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 13.3.3 三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 三角形外角的特点： · 三角形每个顶点处都有两个外角，这两个外角是对顶角，大小相等 · 一个三角形共有6个外角，每个顶点取一个外角，共3个不同顶点的外角 · 外角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形的一边，另一条边是三角形另一边的延长线 13.3.4 三角形外角的性质 性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这个性质由三角形内角和定理推导而来，可以用来求解外角或内角的度数。 性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，这个性质可以用来比较角的大小关系。 性质3：三角形的外角和等于360°，这里的外角和指的是每个顶点取一个外角，三个外角的和为360°。 13.3.5 三角形内角与外角常见模型结论 模型名称 图形结构 核心结论 "A"字模型 DE∥BC，截△ABC形成A字形 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A+∠ADE+∠AED=180° 8字模型 两条线段相交，连接两端形成8字形 ∠A+∠B=∠C+∠D 飞镖模型 四个点形成凹四边形，外形类似飞镖 凹角等于三个锐角的和，即∠BDC=∠A+∠B+∠C 角平分线模型（双内平分线） 两条内角平分线交于一点P ∠BPC=90°+∠A 角平分线模型（双外平分线） 两个外角平分线交于一点P ∠BPC=90°-∠A 角平分线模型（一内一外平分线） 一条内角平分线与一条外角平分线交于一点P ∠BPC=∠A 13.3.6 知识点应用常见题型 1. 角度计算：结合内角和定理、外角性质，求解三角形中未知角的度数，需要注意利用角平分线、高线的定义得到角之间的数量关系。 2. 三角形分类判断：根据角度关系或边长关系判断三角形属于哪种类型，比如根据三个角的度数比为1:2:3，可以算出三个角分别为30°、60°、90°，得到直角三角形。 3. 证明角的大小关系或等量关系：利用外角大于不相邻内角证明不等关系，利用外角性质、内角和定理证明等量关系。 【类型一】三角形的认识 1．在中，边所对的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“三角形的基本概念”，了解三角形中的相关概念是解题关键． 根据图形和三角形的边所对角的概念进行判断即可． 【详解】解：根据三角形的边所对角的概念， 在中，边所对的角是， 故选：B． 2．下列关于三角形的描述，正确的是（    ） A．由三条线段组成的图形叫做三角形 B．三角形的内角和为，外角和为 C．锐角三角形的三个外角都是钝角 D．直角三角形只有一条高 【答案】C 【分析】本题考查三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的定义、三角形内角和定理、直角三角形的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：选项A、三角形是由三条不在同一直线的线段首尾顺次连接组成的图形，则 A错误； 选项B、根据三角形内角和定理得，三角形的内角和为，外角和为，则 B错误； 选项C、锐角三角形的每个内角小于，每个外角内角，则三个外角都是钝角，C正确； 选项D、直角三角形有两条直角边作为高，还有从直角顶点向斜边所作的高，有三条高，则D错误； 故选：C． 3．如图，在中， ，若的周长为，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长，根据的周长减去可得结论． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， 故答案为：18． 【类型二】三角形的个数 1．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 2．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 3．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 【类型三】三角形的分类 1．在平面直角坐标系中，有点、、，则是（     ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据点的坐标判断边的位置关系，计算边长，结合垂直和边长关系判断三角形形状． 【详解】解：如图， ∵点、、， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形，不是等腰，等边或等腰直角三角形， 选项C符合题意． 2．若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 3．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 【类型四】等腰三角形的定义 1．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 2．若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 3．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知它的腰长是其底边长的2倍，则它的腰长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，根据周长列出方程是关键． 可设等腰三角形的底边长为，则它的腰长为，根据周长列方程解出即可． 【详解】解：设等腰三角形的底边长为，则它的腰长为， 由题意可得，， 解得， 则 即腰长为， 故答案为：. 【类型五】构成三角形的条件 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A．由，故不能组成三角形； B．，故能组成三角形； C．，故不能组成三角形； D．，故不能组成三角形． 2．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 3．已知等腰三角形的两边长分别是m，n，若m，n满足，那么它的周长是_____． 【答案】11或13 【分析】本题考查非负性，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质求出，的值，再分类讨论腰长的不同情况，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，，解得，， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 当为腰长时，三角形三边长为，，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，周长是11或13． 【类型六】三角形的中线 1．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 2．如图，、分别是的边、的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了中线定义：在三角形中，从三角形的一个顶点到对边中点的线段叫三角形的中线． 根据中线定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是的中线，故A选项说法正确，不符合题意； B、是的中线，故B选项说法正确，不符合题意； C、由D，E分别是的边的中点，即，故C选项说法正确，不符合题意； D、在中，的对边是，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 3．如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【详解】解：的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 【类型七】三角形的角平分线 1．如图，是的平分线，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是的平分线可得，由得． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 3．如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 【类型八】三角形的高 1．如图，的边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，即可解答． 【详解】解：在中，边为底边，从顶点C向所在直线作垂线，垂足为F，因此边上的高是线段． 2．如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 3．如图，在中，，，为边上的高，，为上一动点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点与点重合时，最小． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，，为边上的高，， ， ， ， 解得：， 垂线段最短， 当点与点重合时，最小， 即最小值为． 【类型九】三角形的内角 1．如图，已知，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； B、如图， ∵， ∴， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； C、如图， ∵， ∴， ∵， ∴，即三角形的内角和为，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形的内角和为，故本选项符合题意 2．如图，直线，点A在直线n上，点B，C在直线m上，连接，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质可得，再根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ． 3．在中，，则________． 【答案】/度 【分析】根据三个角的比例关系设未知数，列方程即可求解的度数． 【详解】解：设，则，， 则， 解得， ∴． 【类型十】三角形的外角 1．如图，已知直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出同位角相等，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，设直线与截线的夹角为 ， 是三角形的外角 ． 2．如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），分别平分和，分别交射线于点．①；②；③当时，；④当点P运动时，的数量关系不变．其中正确的有（     ） A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③ 【答案】B 【分析】根据，可以得到（可以判断①），，根据角平分线的性质得到，，从而得到，，可以判断②，根据，，可以得到，即可得到，从而可以判断③， 根据，得到，可以判断④. 【详解】解：， ，故①正确，， ， 、分别平分和， ，， ，故②错误 ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得，故③正确， ， ， 又 ， ， ， ，故④正确 综上所述，正确的结论有①③④． 3．如图，若，，，则_________________． 【答案】 【分析】利用三角形的外角性质先求解的度数， 再利用三角形内角和定理求解 即可. 【详解】解： ，，， ， 【类型十一】直角三角形的性质与判定 1．如图，三角尺的顶点，分别在直线，上，若，且平分，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据平行线的性质可得的度数，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可． 【详解】解：平分，， ， 如图，， ， ， ． 2．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明：， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 【类型一】三角形三边关系的应用 1．两根木棒的长度分别为，，取第三根木棒，使它们首尾顺次相接组成一个三角形，则第三根木棒的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设第三根木棒的长度是， ∵两根木棒的长度分别为，， ∴，即 ∴第三根木棒的长度可以是． 2．等腰三角形的两边长为和，周长为28，则底边的长度可能为（     ） A．8 B． C．8或 D．8或或4 【答案】D 【分析】分情况讨论等腰三角形中哪两条边相等，计算出底边长后根据三角形三边关系验证，即可得到结果． 【详解】解：若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若为腰长，则三边长为，列方程得： ， 解得， 此时三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 若，即已知两边都是腰， 解得，此时两腰长均为， 则底边长为， 三边长为， ，满足三边关系，此时底边长为； 综上，底边长度可以为或或． 3．三角形两边长为和，第三边长为偶数，则第三边所有可能值之和为______． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，结合第三边为偶数的条件找出所有符合的第三边长，再相加即可求解． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形三边关系可得， 即， ∵第三边长为偶数， ∴符合条件的第三边长为，，，， ∴第三边所有可能值之和为． 【类型二】三角形中线平分面积 1．如图，在中，点D在上，，点E是的中点，连接并延长交延长线于点F，若的面积是2，则的面积是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，设，根据，可得，，再由点E是的中点，可得 ，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，的面积是2， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴． 2．如图，在中，已知点E、F分别是、边上的中点，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点、分别是、的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：根据点、分别是、的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 3．如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【分析】连接，由得到，得出，，由D是的中点推导得出，得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 【类型三】平行线与三角形内角和问题 1．如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，过点作交于点．已知，，求的度数． 【答案】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出，然后利用平行线的性质求出，，然后结合角平分线求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 2．实践课上，淇淇利用如图所示的四边形纸片做折纸游戏，其中，，，淇淇将纸片沿对折后点恰好落在上的点处． (1)猜想与的位置关系，并说明理由． (2)求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质以及平行线的判定即可证明； （2）先根据折叠的性质得到，，再由三角形内角和定理求解，最后由平行线的性质求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵ ∴ 由折叠可得， ∵， ∴ ∴ ∴； （2）解：由折叠可得，， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ 3．已知：如图，平分，平分交于点，交于点． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，等量代换得到，由内错角相等，两直线平行即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合角平分线的定义得到，，由此即可求解． 【详解】（1）解：平分， ． ， ， ： （2）解：平分，， ， ， ； （3）证明：由得， ， 平分平分， ， ， ． 【类型四】中线、高、角平分线夹角问题 1．如图，在中，是的平分线．，于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，垂线定义理解，熟练掌握相关的定义，是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据角平分线定义，得出，根据高线定义得出，得出，即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．在中，，是的高，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余． 由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 3．如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，求的大小； (2)若的面积为48，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，三角形面积公式．本题的关键应用三角形的角平分线、高和中线的定义，三角形外角的性质，三角形面积公式． （1）由三角形的外角性质计算出，由角平分线定义得到，由直角三角形的性质求出的度数为； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式即可求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为高， ∴， ∴． （2）∵为中线，， ∴， ∵的面积为48，， ∴． 【类型五】三角形的三种折叠问题 1．如图，是一张纸片，把沿折叠，使点C落在点的位置． (1)当时，求的度数． (2)若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为”是解题的关键． （1）根据折叠性质，，故，，； （2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点C沿折叠落在点， ∴， 在中， ， ，， ∴． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，把沿折叠，点A落在四边形外部的点处． (1)设的度数为x，的度数为y，那么图中的度数分别是多少？（用含有x或y的式子表示） (2)试探究与之间有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由折叠的性质和角度的关系即可求解； （2）由三角形内角和定理得到，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴， ． （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴． 3．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ， ， ． 【类型六】网格作图 1．如图，点是的边上的点，点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，每个小正方形边长为． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)线段、的大小关系是__________，理由__________． (3)将三角形向右平移，再向下平移，画出平移后的三角形． 【答案】(1)见详解 (2)>，垂线段最短 (3)见详解 【分析】（1）取格点C，连接交于点，则即为所求． （2）根据垂线段最短解答即可． （3）根据平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：根据（1）可得，即， ∴，垂线段最短． （3）解：如图，即为所求． 2．如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)作边上的高线，垂足为D； (2)在边上取一点E，连接，使得平分的面积； (3)的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】本题主要考查了画三角形的高，画三角形中线，求三角形面积． （1）根据三角形高的画法作图即可； （3）只需要令为的中点即可； （3）直接利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的面积为． 故答案为：8． 3．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 【答案】(1)见详解； (2)平行 (3)见详解 【分析】（1）根据三角形的高线和中线的定义即可作图； （2）根据网格特点得到，即可得到； （3）先求出，结合网格特点即可作出． 【详解】（1）解：如图，为中边上的高，为中边上的中线： ； （2）解：如图，连接，由作图可得， ∴； 故答案为：平行； （3）解：如图，即为要求作的三角形； 证明：由题意得， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形高线、中线的定义，平行性的判定，三角形的面积公式等知识，理解相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键． 【类型七】证明边角大小关系 1．如图，点在射线上，比较，和的大小关系，并证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】根据三角形外角的定义及性质可知，解答即可．本题考查了三角形外角的定义及性质，熟练运用三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 同理：， ∵，，， ∴． 2．如图，点P是内一点，连接、、．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，延长交于点D，延长交于点E，根据三角形三边关系得出，，然后根据三角形三边关系，进行解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点D，延长交于点E． 在中，．在中，． ∴． 即． ∴，① 同理可得，②               ，③ 得： ， ∴． 3．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意得，不等式两边都加上即可得出结论； （2）延长交于点，证明，，两式相加得，从而可得； （3）延长交于点，延长交于点，证明，，，三式相加可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 【类型八】平面直角坐标系中三角形的面积 1．如图1，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且a，b满足关系式：，其中，连接，． (1)填空：_____，______，三角形的面积是______； (2)如图2，点C是x轴负半轴上一点，连接，延长与x轴相交于点D． ①当三角形的面积与三角形的面积相等时，求点C的坐标； ②若三角形的面积等于三角形面积的一半，三角形的面积等于，求点B，C，D的坐标． 【答案】(1)3，2，3 (2)①；②，， 【分析】本题考查了平面直角坐标系、算术平方根与绝对值的非负性、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值、完全平方式的非负性得到，，求出的值，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可； （2）①利用三角形的面积公式即可求解；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴三角形的面积； 故答案为：3，2，3； （2）解：①由（1）知：三角形的面积是3，， ∴， ∴； ∴； ②∵三角形的面积等于三角形面积的一半， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述：，，． 2．在平面直角坐标系中，为原点，点，，．将点向右平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应点． (1)求的面积； (2)若线段的长为5，求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使的面积等于的面积的？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)9 (2) (3)存在，或 【分析】（1）由题可知，，，从而可得，即可求解； （2）过点作轴于点，轴于点，从而可得，，，，，，，即可求得； （3）设点，根据题意得，，解得，，从而可得，点的坐标为或． 【详解】（1）解：，，， ，，， ， ； （2）解：根据题意得， 过点作轴于点，轴于点，如图， ，， ，， ，，， ； （3）解：存在，理由： 设点，根据题意得，， 解得，， ∴点的坐标为或． 3．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于点，两点，点在直线上． (1)阅读并填空 ①过点作轴于点，可以由、的坐标，直接得出的面积为 ； ②过C作轴于点，的面积，的面积 ；（用含的式子表示） ③的面积的面积的面积，得到关于的一元一次方程，解方程可得点B的坐标为 ． (2)如图，请仿照（1）中的方法，求出点的纵坐标． (3)若点，且的面积等于24，求出的值． 【答案】(1)①6；②a；③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积计算，解题关键是熟练掌握割补法，根据面积关系，列出方程． （1）①根据点，点，结合三角形面积公式求出结果即可； ②根据，点，结合三角形面积公式得出； ③根据的面积的面积的面积，列出方程，解方程即可； （2）过点P作轴于点E，作轴于点F，连接，根据，得出，求出即可； （3）分两种情况讨论：当点M在点C下方时，当点M在点C上方时，分别画出图形，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①∵点，点， ∴，， ∴； ②∵，点， ∴，， ∴； ③∵的面积的面积的面积， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点P作轴于点E，作轴于点F，连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ， ， 又∵， ∴， 解得：， 即点P的纵坐标为； （3）解：当点M在点C下方时，过点M作轴于点E，并延长，过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ，， ∵， 又∵， ∴， 解得：； 当点M在点C上方时，过点M作轴于点E，过点C作于点F，如图所示： ∵， ∴，，， ∴， ， ， ∵， 又∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：或． 【类型一】三边关系化简绝对值 1．已知a，b，c是的三边长，则化简的结果为（     ） A． B． C． D．b 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果． 【详解】∵，，是的三边长， ∴根据三角形三边关系可得 ，，， ∴ ， ， ， ∴ ． 2．已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（   ） A．2a B． C． D．-2b 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B. 3．已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得 ，，， ，，， ∴原式 ． 【类型二】三角形的三种角平分线 1．如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 2．探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则的度数为__________； (2)如图2，，，分别是，三等分线中的一条，，，求的度数； (3)小明利用图3进行了深入探究： ①若是两个外角与的平分线和的交点，则与的数量关系为__________； ②若是两个外角与其中一条等分线和的交点，，，，则的度数为_____________（用含，的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，求出，最后利用三角形内角和定理即可求解； （2）同理（1）的方法即可求解； （3）①由角平分线的定义可得，，由平角的定义可得， 再结合三角形内角和定理计算即可得解；②同理①即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点O是内角、的平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，分别是，三等分线中的一条，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 3．综合实践 (1)【项目模型】如图，直线与直线相交于点，点在射线上运动（点不与点重合），点在射线上运动（点不与点重合）．连接，和的平分线交于点．探究与之间的数量关系． ①【特例发现】当时，______°，时，_______°； ②【规律探索】当的度数为时，求的度数；（用含的代数式表示） (2)【拓展应用】如图2．当时，和的平分线交于点，和的平分线交于点，在点和点的运动过程中，当的三个内角中有一个角是另一个角的3倍时，直接写出的度数． 【答案】(1)①145，120；② (2)或 【详解】（1）解：①， ， 和的角平分线交于点， ，， ， ； ， ， 和的角平分线交于点， ，， ， ； ②， ， 和的角平分线交于点， ，， ， ； （2）解：， ∴， ∴， 和的平分线交于点， ，， ， ， 和的角平分线交于点， ； 当时，则； 当时，则， ； 当时， ， ， ； 此时， ∴，不符合题意； 当时， ∴， ， 此时， ∴， 则，不符合题意； 综上所述，的度数为或． 【类型三】平行线的折线问题 1．已知直线，E是直线上一点，点O，F是平面内两点，且满足． (1)如图①，点F在直线上，点O在直线的上方，延长与交于点G，若，求的度数； (2)如图②，点O在直线上，且位于点E右侧，点F位于直线与之间，过点F作交直线于点G．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，（1）根据平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）根据平行线的性质可得，，再根据，利用等量代换即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图②，作， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．在数学探究活动课中，老师要求同学们把一块直角三角板（图中的，）摆放在画有两条平行直线的纸面上进行操作探究．    (1)小明同学把三角板按如图1摆放，请你直接写出与，之间的数量关系； (2)小明移动三角板按如图2摆放，当平分时，发现和存在特殊的数量关系，请写出这个数量关系并说明理由； (3)小明继续移动三角板，使顶点A落在直线上，如图3，分别画出和的平分线相交于点E，多次移动三角板位置（保持顶点A在直线上），经度量并计算发现都等于，请问这个等式是否一定成立？如果成立，请你说明理由；如果不成立，请你画出一个符合条件且又不等于的图形． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，见解析 (3)一定成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过C作，则，依据平行线的性质，即可得出； （2）由角平分线的定义得到，进而推出，则由平角的定义可得，由（1）的结论可知，则，即； （3）设，则，由（1）得结论可得，则；再由角平分线的定义得到，，则，，由三角形内角和定理得到，则． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图所示，过C作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴；    （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）的结论可知， ∴， ∴， ∴； （3）解：一定成立，理由如下： 设，则， 由（1）得结论可得， ∵， ∴； ∵和的平分线相交于点E， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，，是直线上一点，是直线上一点． 问题提出 （1）如图1，是直线上一点，是线段上一点，连接，若，，则 问题探究 （2）如图2，，平分，平分，请计算的度数． 问题解决 （3）如图3，平分，延长到点，且平分，若，请你探究与之间的关系，并说明理由（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据，结合“三角形内角和为”，求出的度数，再计算得出的度数即可； （2）点向左作，点向左作，根据“两直线平行，内错角相等”，推出，，根据角平分线的定义，得出，计算得出的度数即可； （3）交于点，点向左作，根据“两直线平行，内错角相等”、角平分线的定义，结合“三角形内角和为”，得出、，整理得出与之间的关系即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，点向左作，点向左作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3），理由如下， 如图，交于点，点向左作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ， ∵，平分，延长到点，且平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，熟练掌握知识点、作平行辅助线推理是解题的关键． 【类型四】数量关系问题 1．综合与探究 问题情境：数学课上李老师在三角形中添加了一些线段，让同学们探究角之间的数量关系.已知，在中，，是的角平分线，点是边上的点，.请探究与之间的数量关系. 特例探究：（1）勤奋小组采用从特殊到一般的方法对这个问题进行分析： ①如图1，若，求此时和的度数； ②勤奋小组发现无论是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，这两个角之间的关系始终不变.请写出与之间的数量关系，并根据图2证明你的结论； 深入探究：（2）善思小组受到启发，进一步探究：如图3，中，，.作的外角的平分线，与的延长线交于点，点是线段延长线上的点，.请在图3中补全图形，并直接写出此时与之间的数量关系. 【答案】（1）①75°；②；见解析；（2）补图见解析， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质， 对于（1）①，根据等腰三角形的性质得，再根据角平分线定义求出，然后根据三角形外角的性质得，可得答案； 对于②，先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得 ，再根据三角形内角和定理得，然后根据三角形外角的性质得，最后整理得出答案； 对于（2），先画出图形，根据题意得 ，再设，表示出，，及，即可表示，，最后根据x相等得出结论． 【详解】解：（1）①∵在中，, ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴； ②． 证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴； （2）如图即为所求： 与之间的数量关系为：． ∵平分，， ∴． 设，则， ∴，， ∴，， 即， ∴． 2．已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 【答案】，理由见解析 ，理由见解析 （理由见解析） 【分析】延长交于，设与交于点，由三角形外角的性质可得，，进而可得，再根据角平分线的定义可得，，由三角形的内角和定理可得，据此即可得出结论； 根据，是与的平分线，可设，，由可知，即，则，根据四边形的内角和等于可得，即，将代入整理即可得出结论； 延长交于，根据，是与的平分线，可设，，在中，利用三角形的内角和定理可得，由可知，即，由邻补角互补可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，将代入整理即可得出结论． 【详解】解：，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于，设与交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ，， 又， ， 即：， 整理，得：， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： ，为与的平分线， 可设，， 由可知：， 即：， ， 根据四边形的内角和等于，得：， 即：， 将代入上式，得：， ， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于， ，是与的平分线， 可设，， 在中，， 即：， ， 由可知：， 即：， 由邻补角互补可得：， 是的一个外角， ， ， 将代入上式，得：， 即：， 答：，与之间的数量关系是：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的有关计算，三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质，等式的性质，利用邻补角互补求角度等知识点，准确识图，理解角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理及三角形外角的性质进行计算是解题的关键． 3．问题背景：如图，已知，李老师说，，存在某种数量关系，小明同学经过认真思考，得出了结论， (1)请直接写出，，存在的数量关系． (2)问题探究：爱动手实践的小芳同学有一块如图七巧板，小芳同学发现，，，存在某种确定的数量关系，请写出你发现的，，，存在的数量关系，并写出证明过程． (3)拓展应用：如图，若，，，，请直接写出度数（用表示）． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角形的性质是解题的关键． （1）过点作，则，则，，从而； （2）延长交于点，由三角形的外角性质得，，从而得； （3）由，，得，由（）得，，进而得，求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作，则， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下：延长交于点， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴ 由（）得，， ∴，， ∴， 解得． 【类型五】平行求t 问题 1．将一副三角板如图1所示摆放，直线． (1)如图2，现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，三角板不动，设旋转时间为t秒，当第一次旋转到时，t的值是多少？ (2)若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当第一次旋转到时，t的值是多少？ (3)若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设时间为t秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2) (3)所有满足条件的t的值为15或60 【分析】对于（1），设直线与分别交于P，Q，根据平行线的性质得到，再利用外角的性质求出，再除以速度可得时间； 对于（2），延长交于点P，根据平行线的性质得到，再表示出得到方程，解之即可； 对于（3），分，表示出相应角，利用平行线的性质，三角形内角和与外角的性质得到方程，解之即可得到t值． 【详解】（1）解：如图，， 设设直线与分别交于P，Q， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点P， ∵， ∴． ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当时， 设直线与分别交于P，Q， 此时， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴，即， 解得：； 如图，当时， 延长，分别与交于P，Q， 此时，， ∴. ∵， ∴，即. ∵， ∴， 解得：. 综上：所有满足条件的t的值为15或60． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，三角形内角和和外角的性质，解决本题的关键是找到相对应的情形，本题图形比较抽象，关键是准确画出图形，找到符合题意的情形，不要漏解． 2．已知直线，现将一个含的三角板按照如图1放置，使点A，B分别在直线上，，，平分交直线于点D，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图2所示放置，直角顶点G与点A重合，直角边与重合．若三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒（）． ①若三角板保持不动，作的平分线，当时，求t的值； ②若三角板同时绕点B以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，当边与三角板的一条直角边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①2或8；②或或或 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，由平行线的性质得，结合角平分线求出，进而即可求解； （2）①分在右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出，结合角平分线定义及角的和差关系列方程求解；②分和两大情况，每种情况再细分小情况，利用平行线性质、旋转性质，结合角的和差关系列方程求解． 【详解】（1）解：中，，， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：①依题意有以下两种情况： （ⅰ）当在的右边时，如图1所示： 由旋转得， 由（1）得，， ， 平分， ， ， ， 解得； （ⅱ）当在的左边时，如图2所示： 同理可得， ，， ， 解得， 综上所述，t的值为2或8； ②当时，有两种情况： （a）如图3所示，延长交于点K， ， ， 由旋转得，， ， ， ， 解得； （b）如图4所示，延长交于点W， 同理得：，， ， ， ， ， ， 解得； 当时，也有两种情况： （a）如图5所示，延长交于点R， 同理得：，，， ， ， ， ， ， 解得； （b）如图6所示，延长交于点T， 同理得：，，，， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当边与三角板的一条直角边平行时，t的值为或或或． 3．已知直线，现将一个含的三角板按照如图放置，使点，分别在直线，上，，，平分交直线于点，且． (1)求的度数； (2)将一个含有的三角板按照如图所示放置，直角顶点与点重合，直角边与重合．若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒（）． ①若三角板保持不动，作的角平分线，当时，求的值； ②若三角板同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，的角平分线与三角板的一条边平行时，直接写出所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)①或；②1或4或7或13 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质得，结合角平分线求出，进而求出，最后由平角求出． （2）①分在右边和左边两种情况，根据旋转性质表示出，结合角平分线定义及角的和差关系列方程求解． ②分四种情况：当时，当，在下方时，当，在上方时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①依题意有以下两种情况： （ⅰ）当在的右边时，如图所示： 由旋转的性质得：， 由（1）得：，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：； （ⅱ）当在的左边时，如图所示： 同理得：， ∴ 由得：， ∴， 解得：， 综上所述：的值为或； ②开始旋转时，如图所示： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∴绕点以每秒的速度逆时针旋转， ∵平分， ∴绕点以每秒的速度逆时针旋转； ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴， 根据三角形内角和定理可得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当，在下方时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当，在上方时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上，的角平分线与三角板的一条边平行时，t的值为1或4或7或13． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理以及图形的旋转，熟练掌握平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 ）、角平分线的定义（将一个角分成两个相等的角 ）、三角形内角和定理（三角形内角和为 ）以及准确分析图形旋转过程中角的变化关系是解题的关键． 【类型六】动点求t问题 1．如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)0.9或2.4或3.6 【分析】（1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）根据题意可知，进而可知，根据列方程求解即可； （4）分为点P在上、点P在上当点P在上时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， ∵将分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． 2．在长方形中，，；F，E分别为，边上的点，且满足．点P为一动点，从点E出发，沿折线，到点F后终止运动，它的速度为1个单位每秒．设点P运动时间为． (1)当时，用含的代数式表示的长度（填空）； 解：当P在线段上运动时，即当时． 点P走的路程为起点E至终点P之间的线段的长度，该路程也等于点P的运动速度点P的运动时间t，即，． (2)当时，连接，；用含t的代数式表示的面积； (3)在整个运动过程中，当的取值范围是_____时，有最大值，其最大值为_____； (4)当时，连接，，．直接用含t的代数式表示的面积_____． 【答案】(1) (2) (3)，24； (4) 【分析】本题主要考查了动点问题的几何分析、三角形面积的计算、几何图形的性质以及代数表达式的化简，熟练掌握动点轨迹与位置分析、、分段讨论、代数表达式的构建与化简是解题的关键； （1）当P在线段上运动时，即当时，表示出即可． （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可； （3）分别表示出当时，当时，当时，面积变化情况，即可得出答案， （4）利用，分别代入即可解答； 【详解】（1）解：当P在线段上运动时，即当时． 点P走的路程为起点E至终点P之间的线段的长度，该路程也等于点P的运动速度点P的运动时间t，即，． 当P在线段上运动时，即当时． 点P走的路程为起点D至终点P之间的线段的长度，该路程等于点P的运动速度点P的运动时间t，减掉，即， ， 故答案为： （2）解：当时，P在线段上运动时， 当时，当P在线段上运动时， 在长方形中，，在这个时间段内的长度始终不变 当点P在上时，点P到的距离为， ， ， 当时，由于P在线段上运动时， ， 综上所述： （3）当时，，随着t的增大，面积逐渐增加。当时， 当时，，随着t的增大，面积不变。 当时，，随着t的增大，面积逐渐减小，当时 当时，有最大值，其最大值为24 故答案为：，24； （4）解：当时， 根据题意得：，，，， ， ， ， 3．如图，在Rt中，．，，，点从点开始以的速度沿的方向移动，点从点开始以的速度沿的方向移动．已知、两点同时出发，设运动时间为秒． (1)如图①，若点在线段上运动，点在线段上运动，用含的式子表示、．并求当时的值； (2)如图②，若点在线段上运动，当为何值时，的面积等于面积的； (3)当点到达点时，、两点都停止运动，直接写出时的值． 【答案】(1)，，秒时， (2) (3)2或 【分析】（1）当在线段上运动，在线段上运动时，，，则，由，可得方程，解方程即可． （2）当在线段上时，，则，根据三角形的面积等于三角形面积的，列出方程即可解决问题． （3）分三种情形讨论即可①当时，在线段上运动，在线段上运动．②当时，在线段上运动，在线段上运动．③当时，在线段上运动，在线段上运动时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始以的速度沿的方向移动，点Q从点C开始以的速度沿的方向移动． ∴，， ∵ ∴， ， ， ． 即秒时，； （2）解：当在线段上时，， 则， 三角形的面积等于三角形面积的， ， ， 解得：． 即秒时，三角形的面积等于三角形面积的； （3）解：由题意可知，在线段上运动的时间为6秒，在线段上运动时间为4秒， ①当时，在线段上运动，在线段上运动，，， 则，， ， ， 解得； ②当时，在线段上运动，在线段上运动，， 则，， ， ， 解得； ③当时，在线段上运动，在线段上运动时， 则，， ， ， 解得，不合题意舍去 综上所述，为2或时，． 【类型七】三角形的新定义 1．定义：若三角形的两个内角与满足，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”． (1)若为“准互余三角形”，，和是“准互余角”，______． (2)如图，在中，，若AD平分，试说明是“准互余三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，理解准互余三角形定义是解题关键． （1）根据题意求出，根据内角和即可求解； （2）根据角平分线和外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：为“准互余三角形”， ，和是“准互余角”， ， 根据内角和可得； 故答案为：； （2）证明：平分， ， 是的外角，， ， ， 是“准互余三角形”． 2．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，，则_____°； (2)若是直角三角形，． ①如图，若是的角平分线，请你判断是否为“准互余三角形”？并说明理由． ②点E是边上一点，是“准互余三角形”，若，求的度数． 【答案】(1)22 (2)①是“准互余三角形”，理由见解析； ②或． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）根据“准互余三角形”的定义可得，代入数据求出即可； （2）①由直角三角形的性质可得，结合角平分线的定义可得，进而可得是“准互余三角形”； ②根据是“准互余三角形”可得或，求出或，然后分别利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，，且是“准互余三角形”， ∴， 即 ∴， 故答案为：22； （2）①是“准互余三角形； 理由：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ②∵点E是边上一点，是“准互余三角形”， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 当，时，， 当，时，， ∴的度数为：或． 3．新定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以点为端点作射线，交线段于点．（规定） (1)的度数为________，________（填“是”或“不是”）灵动三角形； (2)若，求证：是“灵动三角形”； (3)若是“灵动三角形”，求的度数． 【答案】(1)，是 (2)是“灵动三角形” (3)或或 【分析】本题考查了三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为：；是； （2）解: 是“灵动三角形” 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴是“灵动三角形”； （3）解：∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 【类型八】八字形 1．如图，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“字型”． (1)求证：； (2)如图，若和的平分线和相交于点，与分别相交于点． 以线段为边的“字型”有______个，以点为交点的“字型”有______个； 若，，求的度数； 若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，；；，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （）①根据“字型”的定义判断即可； 由（）结论可得和中，，和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； 根据，，得，，，，然后可得，，最后进行等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：中，，中，， ∵， ∴； （2）解：以线段为边的“字型”有：和，和，和，共个； 以点为交点的“字型”有：和，和，和，和，共个； 故答案为：，； 和中，，和中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ，理由如下： ∵，， ∴，，，， 在和中，，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图1，已知线段、相交于点O，连接、，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．    (1)由图1可知：______； (2)如图2，若和的平分线和相交于点P，与、分别相交于点M、N． ①以线段为边的“8字型”有______个，以点为交点的“8字型”有______个； ②若，，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为“，”，试探究与、之间存在的数量关系（用含n的等式来表示），并证明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点E是延长线上的一点，交于点F，分别作、的角平分线，两条角平分线交于点G，直线交于点M，若，则______． 【答案】(1) (2)①3，4；②；③，理由见解析 (3)125 【分析】（1）根据对顶角相等可得，再根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）①根据“8字型”的定义即可得； ②根据“8字型”的定义可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得； ③先求出，，，从而可得，再根据计算即可得； （3）根据平行线的性质求出，设，则，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，最后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：． （2）解：①线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 线段相交于点，连接，这是一个“8字型”， 故答案为：3，4； ②以为交点“8字型”中，有， 以为交点“8字型”中，有， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵，， ∴； ③，理由如下： 由（1）可知，， ∵，， ∴，，， ∴， 由（2）②可知，， ∴， ∴ ， ∴． （3）解：，， ，， ， ， ， 设， ， 是的角平分线，是的角平分线， ，， 又， ， ， 故答案为：125． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 3．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断时只需验证较小两条线段的和是否大于最大线段，即可得到结论. 【详解】解：选项A：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项B：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形； 选项C：∵，满足两边之和大于第三边，∴能组成三角形； 选项D：∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形. 2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【详解】解：根据题意得：这个三角形的两个内角的度数为， ∴这个三角形的第三个内角的度数为， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余即可计算出的度数． 【详解】解：∵在中，是直角， ∴，， 又∵， ∴． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图所示，直线，直线与直线、分别交于点、、点在直线上，点在直线上，连接．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵， ， 是的外角， ， ， ． 5．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）如图点B在上，，，，则的度数是_______． 【答案】/45度 【分析】先用三角形内角和定理求解的度数，再用三角形的外角性质求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴． 6．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）已知一个三角形的三边长分别为3，6，，若为奇数，则的值可以为________．(写出一个即可) 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得到，再结合为奇数，即可得到符合条件的的值． 【详解】解：根据三角形三边关系可得 ∴ ． ∵为奇数，所以的值可以为，7． 7．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】由三角形的内角和求出，根据三角形外角的性质结合角平分线的定义得到即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 8．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）如图，在中，，，平分求与的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和为求出的度数，再根据角平分线的性质得出结果． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴． 9．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）已知三边，是边上的中线． (1)求的取值范围； (2)若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：，即； （2）解：是边上的中线， ∴． 10．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，分别是的高、角平分线、中线． (1)若，，求与的周长之差； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)2cm (2)． 【分析】（1）结合是的中线，得到，根据三角形的周长公式求解即可； （2）先求出，再运用平分，得出，然后运用三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·广东佛山·期中）下列四个图形中，正确画出的边上的高的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，解题的关键是找准顶点和对应的底边． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，的边上的高，应是过顶点向边所在的直线作垂线段． 过点作延长线的垂线，垂足为． 观察四个选项，只有D选项符合题意． 2．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期中）下列图形中，具有稳定性的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：根据三角形的稳定性可得，具有稳定性的是． 3．（25-26七年级下·辽宁·期中）如图，在中，，，是边上一点，连接，将沿折叠，点落在点处，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用折叠和平行线的性质推导出 ，进而求出 的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 4．（25-26七年级下·广西南宁·期中）抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一，如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：已知，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质以及平行线的性质，通过延长交于点，则有，利用两直线平行，同位角相等可知，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ，则， ， 根据三角形外角的性质可知在中，， ， ． 5．（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知三角形的三边长分别为2，5，a（a为整数），则a的值可以为________．（填一个即可） 【答案】 4（答案不唯一） 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的取值范围，结合为整数，任取范围内一个值即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得 ，即， 为整数， 的值可以为4（答案不唯一）． 6．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）如图，中，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 __________． 【答案】 【分析】当时，线段的长度最小，此时为斜边上的高，利用等积法即可求解. 【详解】解：，，，， 根据垂线段最短可知，当时，线段的长度最小， ∴， ， 解得：， 线段的最小值是. 7．（25-26七年级下·上海杨浦·期中）如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A、B、G、C、D、E、F，将A、B、G、C、D、E、F顺次首尾连接．若B、G、C三点共线，恰好经过点G，且，，，则______ ． 【答案】/度 【分析】延长交于点M，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到，再根据已知条件得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， ． 8．（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】17 【分析】首先由三角形中线的定义得到，然后求出，然后求解即可． 【详解】解：∵在中，为边上的中线， ∴， ∵的周长为20， ∴，即， ∴， ∴的周长． 9．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，是的平分线，交边于点，在上取点，连接，使． (1)求证：． (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)证明：是的平分线， ， 又， ， ； (2) 【分析】（1）要证，根据平行线的判定定理，可通过证明同位角相等、内错角相等或同旁内角互补来实现．这里利用角平分线的性质和已知角相等，推导出内错角相等． （2）先利用平行线的性质得到角的关系，再结合角平分线的性质，最后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：， ， 在中，，，， ， 平分， ， ． 10．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）【教材呈现】下面是北师版八年级下册数学教材习题52页第19题部分内容． 【问题回顾】 (1)已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是 ． (2)已知：如图2，在中，平分，平分外角，试判断和的数量关系，并说明理由． (3)如图3，平分外角，平分外角，若设，则 ．（用含的式子表示） 【拓展与应用】 (4)如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则 ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理，即可得出结果； （2）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （3）根据角平分线的定义结合三角形的外角的性质，即可得出结果； （4）根据折叠的性质，平角的定义，以及（1）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵平分，平分外角， ∴，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， 由（1）得：． 1．（25-26七年级下·全国·期末）已知的三边长为，，，其中，，则的值不可能是（     ） A．4 B．7 C．10 D．11 【答案】D 【分析】先根据定理求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∵ 在中，三边长为，，，，， ∴ ， 代入数值得 ， 即 ， 观察选项，只有不满足该取值范围，因此的值不可能是， 故选D． 2．（25-26七年级下·上海虹口·期末）如图，已知在中，，，是的角平分线，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求得，进而根据三角形的外角性质即可求得的度数． 【详解】解：，是的角平分线， ， 又， ． 3．（25-26八年级上·山西大同·期末）请认真阅读以下材料，根据材料获取的知识，认真解决后面的问题： 三角形的三线（中线、角平分线、高线）概念与性质极易混淆．中线和角平分线是连接顶点与对边上的点（中点或与角两边等距的点）．无论三角形形状如何，这两条线必定完全位于三角形内部．高线是从顶点向对边所在直线作垂线，垂足即为高的落脚点．垂足不一定落在“对边”这条线段上，它可能落在这条线段向两端无限延长的直线上． 问题：请你画一个等腰，，过点B做边上的高，，则的度数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据材料可知，三角形的高的垂足可能落在对边或对边的延长线上，分两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余的性质计算角度． 【详解】解：∵ 是边上的高， ∴， 如图， 当垂足在线段上时， ∴， 当垂足在的延长线上时：如图 ∴， ∴． 综上，的度数为或． 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，在中，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①： ②； ③； 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用余角性质可得，即可判定①；由角平分线的定义得，由三角形外角性质得，，进而可得，即可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，进而可得，即可判定③，综上即可求解． 【详解】解：①∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ②∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； ③∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 综上，结论正确的有个． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，将沿边所在的直线向右平移得到，若，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】根据平移的性质得出对应角相等，即 ，再在 中利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解： 将 沿边 所在的直线向右平移得到 ，， ， 在 中，，， ． 6．（25-26七年级下·全国·期末）如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 【答案】30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 7．（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，在中，是的中点，分别是上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】过点A作于点E，连接，根据题意，得，当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值，求解即可． 【详解】解：过点A作于点E， 连接，根据题意，得， 当三点共线时，取得最小值，且为，根据垂线段最短，当时，才取得最小值， 故当点P与点E重合时，最小， 在中，， ， ， ∴的最小值是． 8．（25-26七年级上·江西上饶·期末）已知：如图，在三角形中，，平分，点是线段延长线上一点，点在线段上，连接交于点，．求证：． 请完善下面的证明过程，并在括号里填写相应的推理依据． 证明：∵平分， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∵， ∴（ ）， ∴， ∴． 【答案】 角平分线的定义；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，垂直的定义． 根据角平分线的定义，平行线的性质与判定以及垂直的定义，即可求解． 【详解】证明：∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∵， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴． 9．（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）按要求解答问题： (1)如图（1），在中，，点在线段上（点不与端点、重合），连接，作，交线段于点． ①当时，__________，__________； ②当点在线段上（点不与端点、重合）运动时，与相等吗，请说明理由； (2)如图（2），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，设，．则与的数量关系为__________________________． (3)如图（3），在中，，当点运动到的延长线上时，连接，作，交直线于点，请直接写出此时与之间的数量关系． 【答案】(1)①30；30；②与相等，理由如下： ∵，且， ∴． (2)或 (3)或 【分析】（1）①根据邻补角及三角形内角和进行求解即可；②根据三角形外角的性质进行求解即可； （2）由题意可分当点E在的上方时，当点E在的下方时，然后画出图形进行求解即可； （3）由题意可分当点E在的上方时，当点E在的下方时，然后画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ②略 （2）解：由题意可分：当点E在的上方时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点E在的下方时，如图所示： ∵，，且， ∴， ∵，， ∴，即； （3）解：由题意可分：当点E在的下方时，如图所示： 设，， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在的上方时，如图所示： 设，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 学科网（北京）股份有限公司 $