精品解析：上海市浦东模范中学2025-2026学年第二学期九年级阶段练习(6月）数学试卷

2025学年第二学期九年级阶段练习（6月） 数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 已知， ，那么下列一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，利用不等式的性质逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：根据不等式的基本性质判断： 对于选项A，B：不等式两边同乘或除以同一个不为的数时，若 ，不等号方向改变；当时，可得 ，，因此A，B错误． 对于选项C： ， ，不等式两边同时加，得 ，因此C错误． 对于选项D： ，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ，因此D正确． 3. 判断关于x的方程根的情况（ ） A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】利用判断根的情况，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根，计算后判断其与0的大小关系即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴ ， ∵ 对任意实数，都有， ∴ ， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． 4. 体育委员帮体育老师记录同学们的跳远成绩，可是由于刻度尺放置错误，导致每个同学的成绩少了，那么下列关于实际成绩与记录成绩的说法中正确的是（ ） A. 平均数改变，方差不变 B. 平均数改变，方差改变 C. 中位数改变，方差改变 D. 中位数不变，方差不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数中位数方差的性质，当一组数据中每个数据同时减去同一个常数时，平均数和中位数会相应改变，方差反映数据的波动程度，不会随加减同一个常数改变，据此推导判断即可． 【详解】解：设实际成绩为，由题意得记录成绩为． ① 分析平均数：设实际平均数为，记录平均数为：，因此平均数改变． ② 分析中位数：实际成绩排序后，中位数是中间位置的数，所有记录成绩都比对应实际成绩少，数据排序顺序不变，因此记录中位数比实际中位数少，中位数改变． ③ 分析方差：设实际方差为， 记录方差为：， 因此方差不变． 综上，平均数改变，方差不变，A选项符合题意． 5. 下列关于函数图像的表述中，正确的是（ ） A. 函数图像与y轴的交点坐标为 B. 函数图像与x轴的交点坐标为 C. 函数图像只经过第三、第四象限 D. 函数图像不经过第二、第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数中，自变量， ∴函数图像与y轴没有交点，故A错误； 令，可得，解得， ∴函数图像与x轴交点坐标为，故B正确； 当时，，点在第一象限， ∴函数图像经过第一象限，故C，D错误． 6. 已知命题：①在四边形中，如果，那么四边形是平行四边形；②在四边形中，如果，且，那么四边形是等腰梯形．则下列结论正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①和②都是真命题 D. ①和②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义与运算法则，结合平行四边形和等腰梯形的判定定理，分别判断两个命题的真假即可． 【详解】解：①如图， ∵， ∴且，即， ∴四边形是平行四边形，故①是真命题； ②如图， ∵， ∴且，即与平行但长度不相等， ∴四边形是梯形． 又∵，， ∴，即， ∴四边形是等腰梯形，故②是真命题； 因此①和②都是真命题． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先判断绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质化简，用到的知识点为负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：  ． 8. 函数的定义域是_____． 【答案】  【解析】 【分析】根据分式的性质，分式的分母不能为零，据此列不等式求解即可得到函数的定义域． 【详解】解：由题意得， 解得． 9. 方程的根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解方程，以及二次根式有意义条件，解题关键根据有理数乘法得到即或．根据或得到的取值，再结合二次根式有意义条件判断求解，即可解题． 【详解】解：， 则或， 解得或， ， 解得， ， 即方程的根为． 故答案为：1 10. 据2026年航天相关报告，某科技公司的“星链”星座在轨规模已扩展至颗，将用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有___________条． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，对称轴数量问题，先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，∵中心角的度数=， ， ， ∴这个正多边形为正五边形，每个顶点与其对边中点的连线所在的直线为对称轴，共5条对称轴， 故答案为：． 12. 将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数平移规律得到平移后抛物线的解析式，再令 求出的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标． 【详解】解：将抛物线 向右平移 个单位，根据二次函数平移规律“左加右减”，可得平移后抛物线的解析式为， 令 ，则， 平移后的抛物线与轴交点的坐标是． 13. 现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中心对称图形和轴对称图形的定义，确定符合条件的图形个数，再利用概率公式计算所求概率． 【详解】解：∵总共有种等可能的抽取结果， 逐一判断图形性质：正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形； 只有菱形、正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形， ∴符合条件的结果共种， 根据概率公式可得，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率． 14. 某出租车公司运价执行新标准：日间起步价13元（含3公里），超出3公里后每公里收费2.6元；若单程行驶超过15公里，则超出15公里的部分需加收的空驶费（即超出15公里的部分按3.9元/公里计费）．设某出租车的行驶里程为x公里，运价为y元，当单程行程时，运价y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，按收费标准将运价拆分为三部分分别计算，再合并整理即可得到函数解析式． 【详解】解：当时，按收费标准拆分计算运价： 3公里内起步价为13元， 3公里到15公里的路程为公里，这部分费用为元， 超出15公里的路程为公里，这部分费用为元， ∴总运价  整理得： 即  因此，函数解析式为． 15. 如图，在中，D是边的中点，点P在线段上，且满足，设向量，，那么向量______．（用，表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据中点定义求出，根据三角形法则求，根据线段比例关系求出，然后根据三角形法则求得答案． 【详解】解：∵D是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 16. 如图，点G为等腰的重心，，如果以2为半径的圆分别与、相切，且，那么的长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据重心的定义和性质，延长CG交AB于M，根据切线的性质连接G与AC上的切点N，再利用勾股定理计算即可. 【详解】延长CG交AB于M，连接G与AC上的切点N，连AG ∵点G为等腰的重心，， ∴，CM⊥AB， ∵ ∴ ∵分别与、相切 ∴GN⊥AC, ∴在Rt△CGN中 ∴在Rt△AGM和Rt△AGN中 ∴ ∴ 在Rt△ACM中 ∴ ∴ 解得 ∴或（舍去） ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查重心的性质和定义、切线的性质、勾股定理，解题的关键是熟记重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1. 17. 如图，在斜坡的底部处测得点的仰角为（三点共线），从处出发沿斜坡前进米后到达处，此时测得点的仰角为，如果斜坡的坡度，那么的长为______米．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得，，再根据坡度求出，利用三角函数表示出和，设，根据得出，在中利用构建关于的方程求出的长，最后根据共线，在中求出，利用求解即可． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形， ∴，， 由题意可得，，， ∵斜坡坡度， ， ，  在中，，  ，，  ，  ，，  为等腰直角三角形， ∴，  设，则，  ，， 在 中，，  ，  即， 解得， ∵点在斜坡上，  三点共线， ∴，  在中，，  ，  ． 18. 已知四边形是菱形，，如果用剪刀将该菱形只剪两刀，则可以得到三个等腰三角形，那么的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先画出图形，分三种情况：连接 ，在 上取一点E，使，且，根据菱形的性质得，再设 ，则，再求出，然后根据得出方程，求出解即可；连接 ，在 上取一点E，使，且，仿照上述过程解答即可． 【详解】解：连接 ，在 上取一点E，使，且， ∵四边形 是菱形， ∴，则是等腰三角形， ∴． 设 ，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 解得，即； 连接 ，在 上取一点E，使，且， ∵四边形 是菱形， ∴，则是等腰三角形， ∴． 设 ，则， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， 解得，即． 连接，在上取一点E，使，且， 设，则，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，且， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 所以的度数为或或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： 当时，原式． 20. 解方程组： 【答案】 或 【解析】 【分析】先把原方程组变形为或，再分别解出方程组，即可求解． 【详解】解：变形为 ∴或， 解得或． 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点． （1）求该一次函数的解析式； （2）设点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把，代入，求出，，代入求出，即可得出一次函数解析式； （2）设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，根据一次函数解析式得出，设，根据得出，解方程求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点， ∴，， 解得：， ∴，， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于， ∵直线的解析式为， ∴当时，， 解得：， ∴ 设， ∵， ∴，即， 解得：，， ∴点的坐标或． 22. 某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． （1）公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． （2）请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 【答案】（1）纸盒的高为 ，容积为 （2）函数关系式为 ，当时，随的增大而减小 【解析】 【分析】（1）设纸盒的高为，根据长方体的表面积公式以及题干所给的材料利用率计算公式建立方程求解； （2）根据材料利用率计算公式建立二次函数关系式，然后由于长方体的底面正方形边长为，求出的取值范围，再由二次函数的性质求解材料利用率随的变化而变化的情况． 【小问1详解】 解：设纸盒的高为， 由题意得，， 解得， 则纸盒的容积为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵长方体的底面正方形边长为， ∴ ∴， ，对称轴为直线， ∴当时， 随的增大而减小． 23. 已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证． 【答案】（1）证明：在和中， ， ，  ， ， ， ， ， 又，， ， 四边形是菱形． （2）证明：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先由三条边对应相等得到，结合得到，利用等角对等边得到即可得证； （2）由结合，推得，从而，再利用相似三角形性质结合可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． （1）求抛物线的顶点A的坐标； （2）当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； （3）在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【答案】（1） （2）5 （3）或．​​ 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设顶点的横坐标为，则，根据是平移得到的，得出的解析式为：，由题意，横坐标为，则，根据平行于的对称轴（直线），求出 ，则，，即可求解； （3）由（2）得原顶点，，求出直线的解析式，根据新抛物线顶点仍在直线上，设，则新抛物线解析式为：，将代入求出或，再根据平移距离为顶点到的距离：解答即可； 【小问1详解】 解：抛物线， ∴顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：设顶点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵是平移得到， ∴值不变， ∴的解析式为：， 由题意，横坐标为， 代入得的纵坐标：，即， ∵平行于的对称轴（直线）， ∴为垂直于轴的直线，即、横坐标相等： ∴， ∴， ∴，， 此时，点到直线的水平距离为， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得原顶点，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 沿平移时，新抛物线顶点仍在直线上， 设， 则新抛物线解析式为：， 将代入得：，整理得， 解得：或， 平移距离为顶点到的距离： 当时，，平移距离； 当时，，平移距离； 综上，本次平移的距离为或．​​​ 25. 已知是圆O的直径，，是弦，分别过M，N两点作直线的垂线，垂足分别为C，D（点C，D不与线段的端点重合）． （1）如图1，当M，N两点在直线的两侧时，连接并延长交于点E，求证：． （2）将的长记为． ①如图2，当M，N两点在直线的两侧时，用含x的代数式表示的长． ②连接，当，且是等腰三角形时，求x的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵是直径，是的圆心， ∴， ∴， ∴， 过作于，连接， ∴，， ∴， 即， ∴， 即． （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）证明，得出，过作于，连接，根据垂径定理得出，根据平行线分线段成比例得出，即，即可证明． （2）①由（1）知，则，得出，证明，得出，根据垂径定理得出，在中：勾股定理得出，即可得； ②根据，得出，勾股定理得出，分两种情况讨论：情况1：在直线同侧，同①可得出，根据为等腰三角形，为定值，分三种子情况：当时，当，当时，分别画图求解；情况2：在直线两侧，解答即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）知， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中：， ∴；​ ②∵， ∴， ∴， 分三种情况讨论： 情况1：在直线同侧， 同（1）可得， ∴，， ∴， 同（2）①可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形，为定值，故分三种子情况： 1、当时，，不与端点重合，符合题意； 2、当，则，得与或重合，不符合题意，舍去； 3、当时，过点作， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 即，整理得， 解得：（负值已舍去）， ∴，，符合题意； 情况2：在直线两侧 此时，但验证得：要么与端点重合，要么，均不符合题意，舍去； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级阶段练习（6月） 数学试卷 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知， ，那么下列一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 判断关于x的方程根的情况（ ） A. 有两个不相等的实根 B. 有两个相等的实根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4. 体育委员帮体育老师记录同学们的跳远成绩，可是由于刻度尺放置错误，导致每个同学的成绩少了，那么下列关于实际成绩与记录成绩的说法中正确的是（ ） A. 平均数改变，方差不变 B. 平均数改变，方差改变 C. 中位数改变，方差改变 D. 中位数不变，方差不变 5. 下列关于函数图像的表述中，正确的是（ ） A. 函数图像与y轴的交点坐标为 B. 函数图像与x轴的交点坐标为 C. 函数图像只经过第三、第四象限 D. 函数图像不经过第二、第四象限 6. 已知命题：①在四边形中，如果，那么四边形是平行四边形；②在四边形中，如果，且，那么四边形是等腰梯形．则下列结论正确的是（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①和②都是真命题 D. ①和②都是假命题 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 化简：_____． 8. 函数的定义域是_____． 9. 方程的根为__________． 10. 据2026年航天相关报告，某科技公司的“星链”星座在轨规模已扩展至颗，将用科学记数法表示为_____． 11. 如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有___________条． 12. 将抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与y轴交点的坐标是_____． 13. 现有五张纸片，分别写着“正三角形”、“菱形”、“平行四边形”、“正方形”、“等腰梯形”，从中任意抽取一张既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是_____． 14. 某出租车公司运价执行新标准：日间起步价13元（含3公里），超出3公里后每公里收费2.6元；若单程行驶超过15公里，则超出15公里的部分需加收的空驶费（即超出15公里的部分按3.9元/公里计费）．设某出租车的行驶里程为x公里，运价为y元，当单程行程时，运价y关于x的函数解析式为______． 15. 如图，在中，D是边的中点，点P在线段上，且满足，设向量，，那么向量______．（用，表示） 16. 如图，点G为等腰的重心，，如果以2为半径的圆分别与、相切，且，那么的长为_______. 17. 如图，在斜坡的底部处测得点的仰角为（三点共线），从处出发沿斜坡前进米后到达处，此时测得点的仰角为，如果斜坡的坡度，那么的长为______米．（用含的代数式表示） 18. 已知四边形是菱形，，如果用剪刀将该菱形只剪两刀，则可以得到三个等腰三角形，那么的度数为_______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 解方程组： 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点． （1）求该一次函数的解析式； （2）设点在轴上，且，求点的坐标． 22. 某环保包装公司正在开发一款新型智能包装盒，需要以边长为的正方形纸板为原材料制作出既美观又实用的包装盒（每张纸板制作一个包装盒）．公司的设计部门提出了两种方案：无盖长方体纸盒（适用于展示型商品包装）和有盖长方体纸盒（适用于保护型商品包装）． 项目要求： ●原材料：边长为的正方形纸板． ●设计约束：需要通过翻折制作，不能有额外拼接． ●优化目标：在满足基本功能的前提下，使包装盒的容积最大化． ●材料利用率及其计算公式：材料利用率是指在制作过程中，最终成品（包装盒）所包含的材料面积占原始材料（正方形纸板）总面积的百分比，即材料利用率． （1）公司要求制作一款有盖长方体纸盒，使得材料利用率为，已知纸盒的长为、宽为，求纸盒的高以及此时的容积． （2）请你根据给定的边长为的正方形纸板，通过翻折制作一款无盖长方体纸盒，使得纸盒的底面为正方形．设该款纸盒的高为，试探究该款纸盒的材料利用率 与之间的函数关系式，并说明材料利用率随的变化而变化的情况． 23. 已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． （1）求抛物线的顶点A的坐标； （2）当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； （3）在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 25. 已知是圆O的直径，，是弦，分别过M，N两点作直线的垂线，垂足分别为C，D（点C，D不与线段的端点重合）． （1）如图1，当M，N两点在直线的两侧时，连接并延长交于点E，求证：． （2）将的长记为． ①如图2，当M，N两点在直线的两侧时，用含x的代数式表示的长． ②连接，当，且是等腰三角形时，求x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $