精品解析：广东省深圳高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

深圳高级中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角 【详解】设直线的倾斜角是. 直线斜率为， 又， 故选：D. 2. 已知，若与垂直，则（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， 因为与垂直， 所以， 解得， 故选：D 3. 直线，直线，若，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线间距离公式列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以直线与的距离. 故选：C 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故. 故选：B 5. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设二面角的大小为，由题意得，从而得到，由此能求出结果. 【详解】设二面角的大小为，由二面角的定义可得的夹角为， 由题意得，， ， ， 解得， ∴， ∴平面与平面的夹角大小是， 故选：C 6. 已知，则的最小值为（　　） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用直线与圆有公共点列式求解. 【详解】方程，即表示以点为圆心，以1为半径的圆， 设，即，依题意，直线与圆有公共点， 则圆心到的距离小于或等于半径，由，解得， 所以的最小值为． 故选：A 7. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 与夹角为 B. 与平面垂直 C. 与垂直 D. 与平面平行 【答案】A 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，设，利用向量法逐一判断即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，，, ， 即，，夹角为， 所以与夹角为，A错误 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 则，所以，故C正确； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：A. 8. 已知为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和圆上点的位置关系确定最值即可. 【详解】由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的上焦点为，下焦点为， 则， 故要求的最大值，即求的最小值， 所以的最小值等于：， 即的最大值为：. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 恒过定点 B. 被圆截得的弦长最小值为4 C. 的倾斜角不可能为 D. 时，不经过第一象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；求出最短弦长判断B；取值说明判断C；求出直线的横纵截距判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，而，圆半径，， 当时，被圆截得的弦长最短为，B正确； 对于C，当时，直线倾斜角为，C错误； 对于D，当时，直线的横纵截距分别为，都小于0，因此不经过第一象限，D正确. 故选：ABD 10. 在正方体中，点分别满足，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，存在使得平面 C. 当时，点与点到平面的距离相等 D. 当时，总有 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积法计算判断A；利用位置关系的向量证明判断BD；确定点E位置判断C. 【详解】在正方体中，令，建立如图所示的空间直角坐标系，如图， ， 对于A，，A正确； 对于B，，，， 则与不垂直，因此与平面不垂直，B错误； 对于C，当时，是线段的中点，点与点到平面的距离相等，C正确； 对于D，，，而，则，D正确. 故选：ACD 11. 已知椭圆，我们把圆称为椭圆的蒙日圆，为原点，点在椭圆上，延长与椭圆的蒙日圆交于点，则（　　） A. 的最大值为 B. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 C. 若点（3，1）在椭圆上，则椭圆的蒙日圆周长的最小值为 D. 若存在点为的中点，则椭圆的离心率的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，举反例排除B；利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断C；根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为，又椭圆，所以，所以，故A正确； 对于B，取，则直线互相垂直，且都与椭圆相切，B错误； 对于C，因为点在椭圆上，所以，则， 所以，当且仅当，即时取等号，所以蒙日圆的周长最小为，C正确；对于D，若点为的中点则，则，故，，所以椭圆的离心率的最小值为，D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 半径为1，圆心在直线上且在轴上截得的弦长为2的圆的方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得圆心在轴上，由此求出圆心即可得解. 【详解】由圆的半径为1，该圆在轴上截得的弦长为2，得圆心在轴上， 又圆心在直线上，因此圆心坐标为， 则圆的方程为. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线经过的点坐标及其方向向量，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由直线的方程为，得直线经过的点，且方向向量， 则，所以点到直线的距离. 故答案为： 14. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，线段与圆相切于点，若，则椭圆的离心率的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，为椭圆的左焦点，连接，根据相似得到，利用勾股定理得到，得到答案. 【详解】如图所示： 设为椭圆的左焦点，连接，，，故. ，即，又， 则，故，，， 故，化简得到， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 16. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点． （1）证明：； （2）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明⊥平面，再利用线面垂直的性质定理可得证； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标和平面的法向量，由点到平面距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 因为为等边三角形，是棱的中点，所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 由于⊥平面，故⊥平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取，    所以点到平面的距离. 17. 平面直角坐标系中，已知． （1）求过三点的圆的方程； （2）已知为坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法可求圆的方程； （2）求出点的轨迹方程，根据圆心距与半径差的关系可判断两圆内含. 【小问1详解】 设过三点的圆方程为， 则，解得，满足， 所以所求圆的方程为. 【小问2详解】 设，MH ，得， 整理得，即，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 而过三点的圆的圆心，半径， 又，因此圆与圆内含，无公共点， 所以不存在点满足. 18. 如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：平面； （2）设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）由三角形相似得⊥，故折叠后，⊥，⊥，从而证明出线面垂直； （2）求出，得到两平面的法向量，根据二面角的正弦值得到方程，求出答案. 【小问1详解】 因为矩形中，，，点为的中点， 所以，故， 又，所以∽， 故，故， 故⊥，故折叠后，⊥，⊥， 又，平面，所以平面； 【小问2详解】 图1中，所以∽， 故，其中，， 所以，，故， 又，所以， 由勾股定理逆定理得⊥，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设，因为， 所以， 解得，则， 其中，，， ， 设平面的法向量为， 则， 设，则，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，，故， 设二面角的大小为，则， 所以， 即， 整理得，，解得或，均满足要求. 即实数的值为或. 19. 已知点在运动过程中总满足关系式． （1）点的轨迹是什么曲线？写出它的方程； （2）设点的轨迹为曲线，求曲线的内接菱形的面积的最小值； （3）已知曲线上不共线的三个点、、，原点为的重心，请探究的面积是否为定值．若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）8； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义确定曲线形状，再写出其方程. （2）利用椭圆的对称性可得菱形与椭圆有相同中心，利用弦长公式及菱形的面积公式建立函数关系，再借助二次函数求出最小值. （3）按直线斜率是否存在分类，设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合原点是三角形重心求出三角形面积即可. 【小问1详解】 方程表示点到两定点距离和为， 而，因此点的轨迹是以为左右焦点，长轴长为的椭圆， 方程为. 【小问2详解】 菱形为椭圆的内接菱形，由对称性知，菱形对角线交点为原点， 当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为，则直线方程为， 由得，， 同理， 因此菱形的面积， 当且仅当时取等号，当直线为坐标轴时，， 所以曲线的内接菱形的面积的最小值8. 【小问3详解】 当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由得， ，， 由为的重心，得， 由点在椭圆上，得， 化简得， 则 ， 原点到直线的距离为， 则点到直线的距离， 因此， 当直线斜率不存在时，直线， 则，， 所以的面积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 已知，若与垂直，则（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 3. 直线，直线，若，则两直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（　　） A. B. C. 0 D. 7. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 与夹角为 B. 与平面垂直 C. 与垂直 D. 与平面平行 8. 已知为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 设直线，圆，则下列说法正确的有（ ） A. 恒过定点 B. 被圆截得的弦长最小值为4 C. 的倾斜角不可能为 D. 时，不经过第一象限 10. 在正方体中，点分别满足，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，存在使得平面 C. 当时，点与点到平面的距离相等 D. 当时，总有 11. 已知椭圆，我们把圆称为椭圆的蒙日圆，为原点，点在椭圆上，延长与椭圆的蒙日圆交于点，则（　　） A. 的最大值为 B. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 C. 若点（3，1）在椭圆上，则椭圆的蒙日圆周长的最小值为 D. 若存在点为的中点，则椭圆的离心率的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 半径为1，圆心在直线上且在轴上截得的弦长为2的圆的方程为___________ 13. 在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线的方程为，则点到直线的距离为___________ 14. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，线段与圆相切于点，若，则椭圆的离心率的值为___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在椭圆上，，求的面积． 16. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点． （1）证明：； （2）若，求点到平面的距离． 17. 平面直角坐标系中，已知． （1）求过三点的圆的方程； （2）已知为坐标原点，点，请问（1）中圆上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得． （1）求证：平面； （2）设，若二面角的正弦值为，求实数的值． 19. 已知点在运动过程中总满足关系式． （1）点的轨迹是什么曲线？写出它的方程； （2）设点的轨迹为曲线，求曲线的内接菱形的面积的最小值； （3）已知曲线上不共线的三个点、、，原点为的重心，请探究的面积是否为定值．若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $