第十章 课时作业4 独立性检验-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 高中数学一轮复习独立性检验专项训练，以“概念辨析-数据处理-应用判断”为主线，系统覆盖χ²计算、列联表分析及实际情境应用，突出数学思维与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|3题|χ²意义及独立性检验本质理解|从定义出发，区分相关关系与因果关系| |数据计算|4题|列联表数据补全与χ²公式应用|通过频数计算构建统计模型| |应用判断|5题|临界值比较与犯错误概率分析|结合实际情境（性别、驾龄等）实现数据解释| |综合应用|2题|独立性检验完整流程（假设-计算-结论）|形成“问题-数据-判断”的数学表达链|

课时4 独立性检验 一、单选题 1、下列关于独立性检验的说法正确的是(　 　) A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系 C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，则我们可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 2．为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样的方法在校园内调查了120名学生，得到如下2×2列联表： 单位：人 男 女 合计 爱好 a b 73 不爱好 c 25 合计 74 则a－b－c＝(　 　) A．7 B．8 C．9 D．10 3. 两个分类变量X和Y，取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c的值可以为(参考数据：x0.025＝5.024) (　 　) A．3 B．4 C．5 D．6 4．某校为了研究“学生的性别”与“对待某一活动的态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别”与“对待某一活动的态度”有关系的犯错误的概率不超过(　 　) A．0.1% B．1% C．0.5% D．0.25% 5.(2026·天津滨海新区高三统考期末)某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表如下： 单位：例 疗法 疗效 合计 未治愈 治愈 甲 15 52 67 乙 6 63 69 合计 21 115 136 经计算得到χ2≈4.881. 根据小概率值α＝0.005的独立性检验，则可以认为(　 　) A．两种疗法的效果存在差异 B．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 C．两种疗法的效果没有差异 D．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0.005 6. (2026·河北张家口市高三统考期末)人生因阅读而气象万千，人生因阅读而精彩纷呈．腹有诗书气自华，读书有益于开阔眼界、提升格局；最是书香能致远，书海中深蕴着灼热的理想信仰、炽热的国家情怀．对某校高中学生的读书情况进行了调查，结果如下： 喜欢读书 不喜欢读书 合计 男生 260 60 320 女生 200 m m＋200 合计 460 m＋60 m＋520 根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则m的值可以为(　 　) A．10 B．20 C．30 D．40 二、多选题 7. 针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则有（    ） 参考公式和数据：，其中n=a+b+c+d. 0.05 0.01 3.841 6.635 A．从被调查的学生中随机抽取1人，喜欢短视频的概率为0.7 B．从喜欢短视频的学生中随机抽取1人，男生的概率为0.7 C．的最小值为9 D．的最大值为9 8、某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表： 单位：人 经常锻炼 不经常锻炼 男 40 10 女 30 20 经计算χ2≈4.762，则可以推断出(　 　) A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为 B．该学校男生比女生更经常锻炼 C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 9．（2026·福建厦门市统考模拟预测）某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层随机抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，根据调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则有（参考数据：χ2≈3.94）(　 　) 单位：人 性别 感兴趣 不感兴趣 合计 女生 a b a＋b 男生 c d c＋d 合计 a＋c b＋d 100 A．表中a＝12，c＝30 B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多 C．根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异 D．根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异 三、填空题 10、利用独立性检验来考虑两个分类变量X，Y是否有关系时，如果我们有95%的把握认为“X和Y有关系”，则χ2≥ ． 11、 下表是对于“喜欢运动”与性别是否有关的2×2列联表，依据表中的数据，得到χ2≈ _ _ __.(结果保留到小数点后3位) 喜欢运动 不喜欢运动 合计 男 40 28 68 女 5 12 17 合计 45 40 85 12.某种疾病可分为A，B两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者的2倍，男性患A型疾病的人数占男性患者的，女性患A型疾病的人数占女性患者的．若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为‘所患疾病类型’与‘性别’有关”的结论，则被调查的男性患者至少有__ __人． 四、解答题 13. （2026·河南衡水市期初统考）为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y(单位：万台)关于年份x的经验回归方程为y＝4.7x－9 459.2，且销量y的方差为s＝，年份x的方差为s＝2． (1) 求y关于x的样本相关系数r，并据此判断电动汽车销量y与年份x的相关性强弱(若|r|＞0.9，则可判断y与x线性相关程度较强) (2) 该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 单位：人 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ 参考数据：＝≈25． 14、下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”违章驾驶人次统计数据． 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶人次 125 105 100 90 80 (1) 由表中数据看出，可用线性回归模型拟合违章驾驶人次y与月份x之间的关系，求y关于x的经验回归方程＝x＋，并预测该路口7月份不“礼让行人”违章驾驶人次． (2) 交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表： 单位：人 不“礼让行人” “礼让行人” 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上 26 24 依据小概率值α＝0.1的独立性检验，判断“礼让行人”行为与驾龄是否有关联，并用一句话谈谈你对结论判断的体会． 课时4 独立性检验参考答案 1、D【解析】对于选项A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是不是线性相关，故A错误； 对于选项B，独立性检验并不能100%确定两个变量相关，故B错误； 对于选项C,99%是指“吸烟”和“患肺病”存在关联的可能性，并非吸烟的人中患肺病的发病率，故C错误； 对于选项D，根据χ2计算的定义可知D正确．故选D. 2．C【解析】由题意，得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，所以a－b－c＝52－21－22＝9．故选C. 3. A【解析】2×2列联表如下： X Y 合计 y1 y2 x1 10 21 31 x2 c 35－c 35 合计 10＋c 56－c 66 由上表数据知χ2＝≥5.024，代入A，B，C，D中c的值验证，知A正确．故选A. 4．B【解析】因为χ2＝7.069＞6.635＝x0.01，所以认为“学生性别”与“对待某一活动的态度”有关系的犯错误的概率不超过1%．故选B. 5.C【解析】零假设为H0：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，χ2≈4.881＜7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为两种疗法效果没有差异．故选C. 6. A【解析】根据列联表可知a＝260，b＝60，c＝200，d＝m，则n＝a＋b＋c＋d＝520＋m，由公式χ2＝＝＝，即根据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断是否喜欢阅读与性别有关，则根据α＝0.001可知只需χ2＞10.828即可，即＞10.828即可．当m＝10时，≈21.642＞10.828，满足题意，故m可取10；当m＝20时，≈9.638＜10.828，不满足题意；当m＝30时，≈3.184＜10.828，不满足题意；当取m＝40时，≈0.406＜10.828，不满足题意．故选A. 7、AC【解析】男生、女生中喜欢短视频的人数分别4m，3m，所以从被调查的学生中随机抽取1人，喜欢短视频的概率为，A正确； 从喜欢短视频的的学生中随机抽取1人，男生的概率为，故B错误； 根据题意，不妨设，于是 ，由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，于是最小值为.故C正确，D 错误.故选AC. 8、 BC【解析】对于选项A，该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为＝，故A错误； 对于选项B，经常体育锻炼的概率的估计值：男生为＝，女生为＝，故B正确； 对于选项C，χ2≈4.762＞3.841，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故C正确； 对于选项D，χ2≈4.762＜6.635，故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，故D错误．故选BC. 9． ACD【解析】由题可知，抽取男生人数为600×＝60，抽取女生人数为400×＝40．由等高堆积条形图知，抽取的男生中感兴趣的人数为60×0.5＝30，抽取的男生中不感兴趣的人数为60×0.5＝30，抽取的女生中感兴趣的人数为40×0.3＝12，抽取的女生中不感兴趣的人数为40×0.7＝28，作出2×2列联表如下： 单位：人 性别 数学兴趣 合计 感兴趣 不感兴趣 女生 12 28 40 男生 30 30 60 合计 42 58 100 由此表可知，a＝12，c＝30，故A正确. 女生不感兴趣的人数约为400×＝280，男生不感兴趣的人数约为600×＝300，所以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生少，故B错误. 零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异，χ2≈3.94＞3.841，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，有充分证据推断H0不成立，因此可以认为不成立，即可以认为性别与对数学的兴趣有差异，故C正确； 零假设为H0：性别与对数学的兴趣没有差异，χ2≈3.94＜6.635，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为成立，即可以认为性别与对数学的兴趣没有差异，故D正确．故选ACD. 10、3.841【解析】当χ2≥3.841时，我们有95%的把握认为“X和Y有关系”． 11、4.722【解析】χ2＝≈4.722． 12. 12【解析】设男性患者有x人，则女性患者有2x人，得 2×2列联表如下： 单位：人 A型病 B型病 总计 男 x 女 2x 总计 3x 零假设为H0：患者所患疾病类型与性别之间无关联．根据列联表中的数据，经计算得到χ2＝＝，要使在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则＞7.879，解得x＞11.818 5．因为∈Z，∈Z，所以x的最小整数值为12，因此，被调查的男性患者至少有12人． 13. 【解】（1）样本相关系数r＝＝ ·＝·＝·＝4.7×＝＝≈＝0.94＞0.9，故y与x线性相关程度较强． （2） 零假设为H0：购买电动汽车与车主性别无关．由题得χ2＝＝≈5.031＞3.841，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05． 14、【解】（1）由表中数据知，＝＝3，＝＝100，所以 (xi－)(yi－)＝－50－5＋0－10－40＝－105， (xi－)2＝4＋1＋0＋1＋4＝10，所以＝＝＝－10.5，＝100－(－10.5)×3＝131.5，所以经验回归方程为＝－10.5x＋131.5．令x＝7，得＝－10.5×7＋131.5＝58，故预测该路口7月份不“礼让行人”违章驾驶人次为58． （2）根据题中的列联表补全得下表： 单位：人 不“礼让行人” “礼让行人” 合计 驾龄不超过2年 24 16 40 驾龄2年以上 26 24 50 合计 50 40 90 零假设为H0：“礼让行人”行为与驾龄之间无关联．由题得χ2＝＝0.576＜2.706＝x0.1，依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即“礼让行人”行为与驾龄之间无关联．“礼让行人”是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人． . 学科网（北京）股份有限公司 $