艺体生专项训练7排列组合与二项式定理-2026届高三数学一轮复习

艺体生专项训练7 排列组合与二项式定理 建议用时：40分钟 参考公式： 1. 排列：从个不同元素中选个（），按一定顺序排成一列，记作排列数：（规定） 2. 组合：从个不同元素中选个（），不考虑顺序组成一组，记作组合数： 3. 对称性：； 4. 特殊值：，，。 5. 二项式定理：（），右侧为展开式，共项； 6. 通项公式：第项（从0开始计数）（）。 7. 二项式系数之和：（令）； 8. 奇数项二项式系数之和=偶数项二项式系数之和： （令）； 9. 项的系数之和：令（若a、b含系数，需代入对应值，如的项的系数之和为）. 一、单选题 1．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 2．展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定的展开式的通项，再判断项的组成，即可求其系数. 【详解】∵的展开式的通项是，由中的项与中的项，项与项相乘均可得项， ∴所求系数为. 故选：. 3．在的展开式中常数项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，的展开式中常数项是的展开式的的系数减去的系数即可 【详解】解：展开式的通项公式为， 所以 展开式的的系数为，的系数为， 所以的展开式中常数项是， 故选：B 4．展开式中的系数为（    ） A．14 B．20 C．25 D．28 【答案】A 【分析】先利用二项式定理求得展开式中与的系数，从而可求得展开式中的系数. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式中的系数为，的系数为， 因此展开式的系数为. 故选：A. 二、多选题 5．在的展开式中，下列说法正确的有（   ） A．含项的系数为 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数之和为32 D．所有项的系数之和为 【答案】BCD 【分析】先求出的展开式的通项，赋值可判断AD，所有项的二项式系数之和为可判断C，由二项式定理可判断B. 【详解】的展开式的通项为. 令，可得含项的系数为，故A错误； 第3项的二项式系数为，第4项的二项式系数为，两者相等，故B正确； 所有项的二项式系数之和为，故C正确； 令，可得所有项的系数之和为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 6．在二项式的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】利用通项公式求解可得. 【详解】由通项公式， 令，得， 可得项的系数为. 故答案为：. 7．的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】写出的展开式通项，结合乘积形式写出含的项，即可得结果. 【详解】由展开式通项为， 所以含的项为，则其系数为. 故答案为： 8．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 9．设，则 ． 【答案】17 【分析】利用二项式展开式的通项公式求常数项和的系数即可. 【详解】二项式 展开式的通项为， 当，即时，， 当，即时，， 所以， 故答案为：17 10．已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用组合数和古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意所选的3人中恰有1名男生2名女生的概率， 故答案为： 11．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 【答案】10 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 12．若，则 . 【答案】1或2023 【分析】由组合知识进行求解. 【详解】由于，故或，其他值不合要求. 故答案为：1或2023 13．已知，则 ． 【答案】3 【分析】根据题意结合组合数性质运算求解即可. 【详解】因为，则或，解得或， 且，所以. 故答案为：3. 14．关于的方程的解为 . 【答案】 【分析】根据组合数的性质列方程解得即可. 【详解】因为, 所以根据组合数的性质可得：或, 解得：或（舍去，因为）,经检验均符合题意. 故答案为：. 15．的二项展开式中的第3项的系数为 ． 【答案】80 【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以第3项系数为． 故答案为：80 16．的展开式中含x项的系数为 ． 【答案】 【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】的通项公式为， 令，得，所以含x项的系数为. 故答案为：. 四、解答题 17．已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)； (2)含的项； (3)各项系数和. 【答案】(1)6 (2) (3)729 【分析】（1）结合题意建立方程，再求解参数即可. （2）利用二项式定理求出展开式的通项，再求解所需项即可. （3）利用赋值法求解各项系数和即可. 【详解】（1）因为二项式系数的和为64， 所以，解得. （2）由（1）知，则二项式变为， 由二项式定理可得展开式的通项为， 令，得，故含的项为. （3）令，则各项系数和为. 18．已知，求x． 【答案】 【解析】略 19．在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求： (1)抽取的3件产品全部是一级品的概率； (2)抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用组合计数问题、古典概率公式列式计算即可. （2）利用互斥事件的概率公式，结合（1）的结论求出概率. 【详解】（1）记抽取的3件产品全部是一级品为事件A，则事件A的概率. （2）记抽取的3件产品中恰有1件是二级品为事件B，则事件的概率， 所以抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 艺体生专项训练7 排列组合与二项式定理 建议用时：40分钟 参考公式： 1. 排列：从个不同元素中选个（），按一定顺序排成一列，记作排列数：（规定） 2. 组合：从个不同元素中选个（），不考虑顺序组成一组，记作组合数： 3. 对称性：； 4. 特殊值：，，。 5. 二项式定理：（），右侧为展开式，共项； 6. 通项公式：第项（从0开始计数）（）。 7. 二项式系数之和：（令）； 8. 奇数项二项式系数之和=偶数项二项式系数之和： （令）； 9. 项的系数之和：令（若a、b含系数，需代入对应值，如的项的系数之和为）. 一、单选题 1．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 2．展开式中项的系数是（    ） A． B． C． D． 3．在的展开式中常数项是（    ） A． B． C． D． 4．展开式中的系数为（    ） A．14 B．20 C．25 D．28 二、多选题 5．在的展开式中，下列说法正确的有（   ） A．含项的系数为 B．第3项与第4项的二项式系数相等 C．所有项的二项式系数之和为32 D．所有项的系数之和为 三、填空题 6．在二项式的展开式中，的系数为 ． 7．的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 8．在的展开式中，的系数为 ． 9．设，则 ． 10．已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为 ． 11．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 12．若，则 . 13．已知，则 ． 14．关于的方程的解为 . 15．的二项展开式中的第3项的系数为 ． 16．的展开式中含x项的系数为 ． 四、解答题 17．已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)； (2)含的项； (3)各项系数和. 18．已知，求x． 19．在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求： (1)抽取的3件产品全部是一级品的概率； (2)抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $